教學(xué)設(shè)計(jì) 《雞兔同籠》教學(xué)預(yù)案

教學(xué)過(guò)程：（一）歷史激趣，導(dǎo)入新課導(dǎo)語(yǔ)：今天老師給同學(xué)們帶來(lái)了一部1500年前的數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》，里面記載著許多有趣的數(shù)學(xué)名題，其中有這樣一道題請(qǐng)看：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，這是一個(gè)什么問(wèn)題？（雞兔同籠問(wèn)題）這節(jié)課我們就來(lái)研究中國(guó)歷史上著名的數(shù)學(xué)趣題“雞兔同籠”。【教師板書課題：雞兔同籠】（二）自主探究，梳理解法1．理解題意。誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，這道題目是什么意思？(對(duì)“雉”“足”“何”進(jìn)行解釋。這道題目是說(shuō)，現(xiàn)在有一些野雞和兔子，關(guān)在同一只籠子里，從上面看，共有35個(gè)頭；從下面看，共有94只腳。問(wèn)有多少只野雞、多少只兔子？)（出示：）（請(qǐng)一名同學(xué)讀題）2、化繁為簡(jiǎn)為了研究的方便，我們可以先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，老師把題中的數(shù)據(jù)稍稍改小了點(diǎn)兒。（出示：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭；從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？）我們看看被關(guān)在同一個(gè)籠子里的雞和兔給我們帶來(lái)了哪些信息？（生回答，挖掘隱含條件）很好！還隱藏著兩個(gè)條件，同樣是讀懂了，可是懂的水平不一樣了！3、自主探究會(huì)做嗎？老師相信大家會(huì)有自己的解決辦法，下面請(qǐng)同學(xué)們自己先想一想你打算怎么做，然后把你的想法和你左右的同伴交流一下。4、交流匯報(bào)誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)，你是怎么想的？（生匯報(bào)，師抓典型解法隨機(jī)板書的。）（1）列舉法（學(xué)生說(shuō)明列表的方法：學(xué)生1匯報(bào)：可以用列表的方法做，我先假設(shè)有1只雞，7只兔，那腳總數(shù)就是30只，而實(shí)際是26只腳，這顯然是不對(duì)的。再假設(shè)有2只雞，6只兔，這樣一個(gè)一個(gè)去試，把結(jié)果列成表格，最后得出3只雞、5只兔。）（2）方程法他是這樣一個(gè)一個(gè)去試的，誰(shuí)還有不同的做法？（可以用方程去做）5、賞析解法還有不同的想法嗎？剛才同學(xué)們運(yùn)用自己的智慧探討了“雞兔同籠”問(wèn)題的解法，其實(shí)關(guān)于這類問(wèn)題，還有很多有趣的解法，請(qǐng)大家自由點(diǎn)擊“奇思妙想”去感受一下其他的方法，看看這么多方法中你能理解哪種？（學(xué)生點(diǎn)擊賞析）6、理解匯報(bào)同學(xué)們欣賞完了嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你理解了哪種方法？（1）列舉法（可有幾名同學(xué)匯報(bào)不同的列舉方法：逐次列舉、跳躍式列舉、取中列舉，可用電腦展示）雞只數(shù)兔只數(shù)腳總數(shù)

（學(xué)生說(shuō)明列表的方法及步驟：學(xué)生1匯報(bào)：我先假設(shè)有8只兔這樣一共就有32條腿，顯然不對(duì)，再減去一只兔，加上一個(gè)雞，這樣一個(gè)一個(gè)地試，把結(jié)果列成表格，最后得出3只雞、5只兔。學(xué)生2匯報(bào)：我得出的結(jié)果也是只3雞、5只兔，但我們不是一個(gè)一個(gè)地試，這樣太麻煩了，我們是2個(gè)2個(gè)地試。學(xué)生3匯報(bào)：我是先按雞兔各一半來(lái)算的，因?yàn)殡u、兔共8只，我們先假設(shè)雞、兔各4只，這樣共有24條腿，比26條腿少2條，說(shuō)明假設(shè)的兔少了1只，雞多了1只，于是兔只有5只，雞有3只。）你們看，他們這是什么方法呀？（列表法）他們是用列舉的方法湊的，湊也是一種方法，我們可以稱它叫列舉法?！編煱鍟毫信e法】為了快速地算出雞和兔的只數(shù)，列舉的時(shí)候可以找一下竅門。（2）畫圖法（請(qǐng)兩名同學(xué)匯報(bào)，可利用電腦演示）

（學(xué)生說(shuō)畫圖方法及步驟：第一種：

①先畫8個(gè)頭。

②每個(gè)頭下畫上兩條腿。數(shù)一數(shù)，共有16條腿，比題中給出的腿數(shù)少26-16=10條腿。③給一些雞添上兩條腿，叫它變成兔．邊添腿邊數(shù)，湊夠26條腿。每把一只雞添上兩條腿，它就變成了兔，顯然添10條腿就變出來(lái)5只兔．這樣就得出答案，籠中有5只兔和3只雞。第二種：

①先畫8個(gè)頭。

②每個(gè)頭下畫上四條腿。數(shù)一數(shù)，共有32條腿，比題中給出的腿數(shù)多32-26=6條腿。③給一些兔去掉兩條腿，叫它變成雞．邊去腿邊數(shù)，達(dá)到26條腿。每把一只兔去掉兩條腿，它就變成了雞，顯然添6條腿就變出來(lái)3只雞．這樣就得出答案，籠中有3只雞和5只兔。）看懂了嗎？你能給這種方法也取個(gè)名字嗎？（可能有：添腳法、雞變兔法、畫圖法…）大家的說(shuō)法都有道理，有的是從形式上看的，有的是從內(nèi)涵上分析的，咱們就稱它叫圖畫法吧?！編煱鍟寒媹D法】圖畫也可以成為一種解題的方法。現(xiàn)在我們長(zhǎng)大了，懂的知識(shí)多了，這些很直觀的解題方法反而容易被我們給忽視了。（3）假設(shè)法現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們理一理這種方法的思路，再把它用算式表示出來(lái)，可以嗎？（這里是讓學(xué)生根據(jù)畫圖法寫算式，還是單獨(dú)匯報(bào)這種方法？）（展示第一個(gè)學(xué)生做法）【師板書：8×2=16（只）26-16=10（只）10÷(4-2)=5（只）8-5=3（只）】說(shuō)說(shuō)你是怎么想的？（重點(diǎn)理解10和10÷(4-2)的意思）（生說(shuō)思考過(guò)程：先假設(shè)全是雞就有16只腳，而現(xiàn)在有26只腳，還少10只腳，就說(shuō)明還有一些兔子被算成了雞，而每只兔子算成雞就少兩只腳，一共少10只腳，那兔就有10÷2=5(只),雞就有3只。）不但會(huì)做，而且講得很清楚！哪些同學(xué)是這么做的？剛才我們假設(shè)全是雞了，還有別的思路嗎？（展示第二個(gè)學(xué)生做法）【師板書：8×4=32（只）32－26=6（只）6÷（4－2）=3（只）8－3=5（只）】師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)他又是怎么想的？（重點(diǎn)理解32－26=6（只）6÷（4－2）=3（只））（生說(shuō)思考過(guò)程：同樣如果8只都是兔，則一共只有32條腿這樣就比26條腿多6條腿，這是因?yàn)閷?shí)際每只雞比每只兔子少2條腿。一共多了6條腿，于是雞就有6÷2=3(只),兔就有5只）誰(shuí)能為這兩種方法也取個(gè)名字？【師板書：假設(shè)法】從畫圖法和假設(shè)法中，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？（找出畫圖與算術(shù)法的聯(lián)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想。如：這個(gè)圖里面的添腳法，其實(shí)就是算術(shù)方法的思路，都是假設(shè)的，只是表示的方法不同）大家同意他的說(shuō)法嗎？在他的發(fā)言中隱含了一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合?！景鍟簲?shù)形結(jié)合】（4）方程法誰(shuí)還有不同的做法？【師板書：方程法解：設(shè)兔有X只，則雞有（8－X）只。4X+2×（8－X）=26】大家能理解這種方法嗎？誰(shuí)能再說(shuō)說(shuō)他是怎么想的？（生：他用的是方程解法，4X代表兔的腳數(shù)，2×（8－X）代表雞的腳數(shù)，加起來(lái)就應(yīng)該是一共的腳數(shù)26只。）用方程還有不同的列法嗎？還可以設(shè)雞為X只，那么方程怎么列呢？（找學(xué)生說(shuō)，教師寫2X+4×（8－X）=22）比較一下兩個(gè)方程，哪個(gè)容易解答呢？方程是很重要的解題方法，我們列方程時(shí)，盡量設(shè)腳多的為X，這樣方便解答。（5）介紹古人的抬腳法：腳數(shù)÷2－頭數(shù)＝兔數(shù)頭數(shù)－兔數(shù)＝雞數(shù)這種方法是什么道理，你能給大家講講嗎？（生說(shuō)道理并電腦演示：在匈牙利出生的美國(guó)教授波利亞，他講了一個(gè)很有趣的故事解釋了這種解法的道理。有一天雞和兔在草地上玩，雞突發(fā)奇想對(duì)兔子說(shuō)：“我會(huì)金雞獨(dú)立！”說(shuō)著就將一只腳提起來(lái)。兔子也不甘示弱：“我也會(huì)！”于是，兔子也將兩條前腿提起來(lái)。這時(shí)草地上的總腳數(shù)是不是只剩下原來(lái)的一半了？94÷2＝47（只）這時(shí)草地上的腳數(shù)是不是還比雞兔的總只數(shù)多一些呢？47－35=12（只）為什么會(huì)多？不就是因?yàn)槊恐煌米佑袃芍荒_嗎？這樣總共多了幾只腳就有幾只兔子，12÷（2－1）=12（只）而剩下的就是雞了。35－12＝23（只））你發(fā)現(xiàn)的這種方法很奇妙，你的故事講的不僅生動(dòng)，而且清楚，看來(lái)我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有時(shí)還真需要點(diǎn)數(shù)學(xué)家的本領(lǐng)——“奇思妙想”！【板書：奇思妙想】7、比較梳理現(xiàn)在我們學(xué)會(huì)用不同的方法來(lái)解答，會(huì)的水平不一樣了！比較一下這些不同的解法，你比較喜歡哪種方法？能說(shuō)說(shuō)你的理由嗎？（師點(diǎn)擊奇思妙想中的算法，把幾種方法定格，讓學(xué)生回憶）（突出假設(shè)法和方程法）（生可能說(shuō)：喜歡方程解法，因?yàn)榉匠添樦}目的意思想起來(lái)比較方便。喜歡畫圖的方法，因?yàn)楫媹D既有趣又方便，還特別好懂。喜歡算術(shù)方法，能訓(xùn)練我們的思維，算術(shù)方法和畫圖的方法其實(shí)是同一個(gè)意思。數(shù)字小，我就選作圖法，列舉法；數(shù)字大，我就選算術(shù)方法或者方程。）看來(lái)不同的解法各有各的特點(diǎn)，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別，我們應(yīng)該根據(jù)需要靈活地選用。8、解決名題現(xiàn)在我們了解這么多有趣的解法，你能用適合的方法來(lái)解答“孫子算經(jīng)”里的問(wèn)題嗎？（師點(diǎn)擊數(shù)學(xué)名著中孫子算經(jīng)里的題）交流訂正，學(xué)生匯報(bào)自己的算法。到底對(duì)不對(duì)呢？我們可以帶進(jìn)原題當(dāng)中去驗(yàn)算一下。（學(xué)生檢驗(yàn)，確認(rèn)結(jié)果正確）（三）舉一反三，建構(gòu)模型日本人對(duì)雞兔同籠問(wèn)題也有研究，日本人又稱它叫“龜鶴問(wèn)題”。（師點(diǎn)擊數(shù)學(xué)模型：龜鶴問(wèn)題）日本人說(shuō)的“龜鶴”和我們說(shuō)的“雞兔”有聯(lián)系嗎？（生說(shuō)師點(diǎn)擊電腦龜變兔，鶴變雞：龜就相當(dāng)于兔，都是四只腳；鶴就相當(dāng)于雞，都是兩只腳）。假如我們不叫它雞兔同籠，也不叫龜鶴問(wèn)題，是不是還可以給它取個(gè)其它的名字呢？（鴨貓問(wèn)題。豬鵝問(wèn)題。馬鷹問(wèn)題。）抓住了本質(zhì)的東西！看來(lái)這里的雞不僅僅代表雞，這里的兔也不僅僅是指兔?。ò鍟航o雞兔加上紅色“”號(hào)）生活中有類似雞兔同籠的問(wèn)題嗎？我們先來(lái)看這樣一道題。（點(diǎn)擊在線測(cè)試做二分硬幣的題）請(qǐng)同學(xué)們默讀題目，想一想這道題與我們今天講的雞兔同籠問(wèn)題有聯(lián)系嗎？（二分硬幣相當(dāng)于雞兩只腳，五分硬幣相當(dāng)于兔五只腳，7枚相當(dāng)于頭數(shù)，二角九分相當(dāng)于總腳數(shù)。）大家同意他的說(shuō)法嗎？我們也學(xué)會(huì)“奇思妙想”了，終于把兔子給“整成”了五條腿?？磥?lái)我們的雞兔同籠問(wèn)題不僅包括4只腳的兔子，還可以是5只腳的怪兔。即使再出現(xiàn)3只腳的雞，我們也不會(huì)覺(jué)得奇怪了。趕快把這道題解決掉吧。（四）應(yīng)用方法，解決問(wèn)題看來(lái)生活中確實(shí)有類似雞兔同籠的問(wèn)題，下面就讓我們帶上一雙“數(shù)學(xué)的眼睛”關(guān)注生活，再次到我們身邊去看一看……【板書：關(guān)注生活】請(qǐng)同學(xué)們點(diǎn)擊在線測(cè)試，喜歡哪里就到哪里去看一看，并任選一道題進(jìn)行解答。（生點(diǎn)擊在線測(cè)試：1、動(dòng)物世界（龜鶴問(wèn)題、人狗問(wèn)題、松鼠采蘑菇）2、體育館3、兒童公園4、校園一角）學(xué)生解答，匯報(bào)：1、龜鶴問(wèn)題（有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條，龜、鶴各有幾只？）2、人狗問(wèn)題（一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩隊(duì)并成一隊(duì)走。數(shù)頭一共是十二，數(shù)腳一共四十二。）3、松鼠采蘑菇（小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20個(gè)，雨天每天可以采12個(gè)。6天后共采集蘑菇88個(gè)。求晴天有多少天？雨天呢？）4、體育館（12張乒乓球臺(tái)上同時(shí)有34人正進(jìn)行乒乓球比賽，正在進(jìn)行單打和雙打比賽的球臺(tái)各有幾張？）這個(gè)問(wèn)題和我們今天探索的問(wèn)題有聯(lián)系嗎？（差不多，單打就可以看成雞有兩只腳，雙打就可以看成兔有4只腳，12張球臺(tái)就是共有12只動(dòng)物，34人就是共有34只腳，問(wèn)有幾桌單打就是有幾只雞，有幾桌雙打就是有幾只兔子。）同意他的意見(jiàn)嗎？你是怎么做的？5、兒童公園（有38個(gè)同學(xué)去游樂(lè)園劃船，共租了8條船，每條船都坐滿了。大船每條乘6人，小船每條乘4人。大小船各租了幾條？）6、校園一角（第三實(shí)驗(yàn)小學(xué)“環(huán)保衛(wèi)士”小分隊(duì)12人參加植樹活動(dòng)。男生每人栽3