新教材高中數學第二章平面解析幾何6雙曲線及其方程2雙曲線的幾何性質學案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE8雙曲線的幾何性質課標解讀課標要求素養(yǎng)要求1.了解雙曲線的簡單幾何性質.2.通過雙曲線的學習，進一不體會數形結合的思想.1.直觀想象——能依據雙曲線的方程和圖形研究其幾何性質.2.數學運算——能利用雙曲線的簡單幾何性質求其方程，或根據雙曲線的方程求其簡單幾何性質.自主學習·必備知識教材研習教材原句1.雙曲線的幾何性質標準方程xy圖形性質焦點F1(-c，0)F1(0,-c)焦距|范圍①x≤-a或x≥ay≥a或y≤-a對稱性對稱軸：②x軸、y軸，對稱中心：③坐標原點頂點A1(-a,0)A1(0,-a)軸長實軸長=④2a，虛軸長=⑤2b離心率e漸近線y=±y=±2.等軸雙曲線實軸長與虛軸長相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，它的漸進線方程是⑥y=±x，離心率為2.自主思考1.雙曲線y2答案：提示y軸.2.雙曲線x2答案：提示e=3.等軸雙曲線的漸進線方程與雙曲線的方程有關嗎？答案：提示沒有關系，所有等軸雙曲線的漸進方程都是y=±x.名師點睛1.對雙曲線漸近線的四點說明（1）隨著x和y趨向于無窮大，雙曲線將無限地與漸近線接近，但永遠沒有交點．（2）由漸近線方程可確定a與b或b與a的比值，但無法確定焦點位置．（3）由雙曲線的標準方程求它的漸近線方程的方法：把雙曲線標準方程中等號右邊的1改成0，然后變形．（4）e=ca=a2+b22.等軸雙曲線的性質（1）①漸近線方程為y=±x；②漸近線互相垂直；③離心率e=（2）等軸雙曲線可以設為x2-y2=λ(λ≠0)，當λ＞0時，焦點在x互動探究·關鍵能力探究點一雙曲線的幾何性質精講精練例（1）（2021山東濟寧高二期中）點M為雙曲線y22-x2A.1B.2C.2D.2（2）求雙曲線x2答案：（1）B解析：（1）設M(x,y)，則|OM|=x∵點M在雙曲線y2∴x2=∴|OM|=y∴|OM|的最小值是2.答案：（2）將方程x2-3y∴a2=4∴a=2，b=23，∴c=∴雙曲線的實軸長2a=4，虛軸長2b=43焦點坐標為(0,-4),(0,4)，頂點坐標為(0,-2),(0,2)，漸近線方程為y=±33x解題感悟遷移應用1.（2021山東威海高二期中）若雙曲線C:y2a2-x2A.4B.230C.12D.答案：B解析：∵雙曲線C與雙曲線D有相同的漸近線，∴可設雙曲線C的方程為x2將(2,6)代入可得λ=1-6=-5，∴雙曲線C的方程為y230-x220=12.（多選）（2020山師附中高二月考）關于雙曲線C1:xA.它們有相同的漸近線B.它們有相同的頂點C.它們的離心率不相等D.它們的焦距相等答案：C;D解析：雙曲線C1的漸近線方程為y=±43x，雙曲線C2的漸近線方程為y=±34x，故A中說法錯誤；雙曲線雙曲線C1的離心率e1=c1a1雙曲線C1的焦距2c1=10，雙曲線探究點二由雙曲線的性質求方程精講精練例（1）已知雙曲線的漸近線方程為y=±2A.xB.x24C.xD.x216（2）若雙曲線過點(3,92)，離心率答案：（1）D（2）y解析：（1）解法一：當雙曲線的焦點在x軸上時，雙曲線的方程可設為x2由ba=222a=8當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的方程可設為y2由ba=222a=8所以雙曲線的方程為x216-解法二：因為雙曲線的漸近線方程為y=±22x，所以設雙曲線的方程為x因為雙曲線的實軸長為8，所以當λ＞0時，22λ=8，解得λ=8，所以雙曲線的方程為當λ＜0時，2-λ=8，解得λ=-16，所以雙曲線的方程為所以雙曲線的方程為x216-（2）由e2=109，得c2a2所以所求雙曲線的方程為x29k-把(3,92)代入①，得k=-161，與把(3,92)代入②，得k=9，故所求雙曲線的方程為解題感悟由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程常用待定系數法.（1）當焦點位置明確時，直接設出雙曲線的標準方程即可；當焦點位置不明確時，應注意分類討論，也可以不分類討論，直接把雙曲線方程設成mx（2）當雙曲線的漸近線方程為y=±ba遷移應用1.（2020江西臨川一中高二期中）已知雙曲線的漸近線方程為y=±2x，且雙曲線過點P(1,3)，則該雙曲線的標準方程為()A.x24C.x21答案：B解析：當雙曲線的焦點在x軸上時，設雙曲線的方程為x2則漸近線方程為y=±bax所以雙曲線的方程為x2a2-y所以雙曲線的方程為x2當雙曲線的焦點在y軸上時，設雙曲線的方程為y2則漸近線方程為y=±abx所以雙曲線的方程為y24b所以該雙曲線的標準方程為x22.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦點坐標為(2,0)，直線A.x2-C.x22答案：A解析：由題意可知雙曲線C的漸近線方程為bx±ay=0，c=2，將x=2代入雙曲線方程，可得y=±b2a則點P到兩條漸近線的距離之和為2b+，∵a2+b2因此雙曲線C的方程為x2探究點三雙曲線幾何性質的應用精講精練例（1）（2021陜西寶雞高二期末）若雙曲線y25-x2A.(0,5)B.(5,10)C.(0,15)D.(-15,0)（2）（2021山東棗莊高二期中）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)，A，B是雙曲線C上關于原點對稱的兩點，P是雙曲線A.2B.3C.2D.5答案：（1）C（2）B解析：（1）∵雙曲線的方程為y25-∴e∵e∈(1,2)，∴∴1<5+m5<4，∴0＜m＜15（2）根據題意，設點A(m,n)，P(k,t)，則B(-m,-n)，m2a2-n2b2=1，k解題感悟求雙曲線離心率的常見方法：（1）依據條件求出a，c，再計算e=（2）依據條件建立參數a，b，c的關系式，一種方法是消去b轉化成關于離心率e的方程求解；另一種方法是消去c轉化成含ba的方程，求出ba后，利用遷移應用1.（2020山東濟南高二期末）設雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞b＞0)的半焦距為c，直線lA.2B.2或233C.2答案：D解析：易知直線l的方程為xa+y∴原點到直線l的距離為|-ab|a∴4ab=3c2，即16a2∴16a2c解得e=233或e=2，∵0＜b＜a2.（2021廣東珠海斗門第一中學高二月考）已知橢圓C:x216+yA.22B.23C.4D.6答案：B解析：因為橢圓C:x216所以雙曲線C':x24-y評價檢測·素養(yǎng)提升1.（2021天津河東高二期末）雙曲線4xA.y=±32