新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語2集合間的基本關(guān)系課件新人教A版必修第一冊

學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時要學(xué)會借助圖形解決抽象問題,逐步形成直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

學(xué)習(xí)時還應(yīng)注意以下幾點:1.理解集合之間包含與相等的含義,理解子集、真子集的概念;在具體情境中,了

解空集的含義.2.能識別給定集合的子集,掌握列舉有限集的所有子集的方法.3.能用符號和Venn圖表示集合間的關(guān)系.1.2集合間的基本關(guān)系1|子集、集合相等、真子集

概念圖示性質(zhì)子集一般地,對于兩個集合A,B,如果集合A中①任意一個

元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的②

子集

,記作③

A?B

(或④

B?A

),讀作“A包含于B”(或“B包含A”)

任何一個集合是它本身的子集,即A⑤

?

A;對于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A⑥

?

C概念圖示性質(zhì)集合相等一般地,如果集合A的⑦任何一

元素都是集合B的元素,同時集合B的⑧任何一個

元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等,記作⑨

A=B

A?B,且B?A?A=B;A=B,且B=C,則A=C真子集如果集合⑩

A?B

,但存在元素x∈B,且

x?A

,就稱集合A是集合B的真子集,記作A?B(或B?A)

A?B,且B?C,則A?C;A?B,且A≠B,則A?B續(xù)表2|空集定義

不含任何元素

的集合叫做空集符號

?

規(guī)定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集在數(shù)學(xué)中,經(jīng)常用平面上封閉曲線的

內(nèi)部

代表集合,這種圖稱為Venn圖.Venn圖可以直觀地表示集合間的關(guān)系.常見數(shù)集間的關(guān)系如圖所示.

3|

Venn圖1.?和{?}表示的意義相同.

(

?)2.任何集合都有子集和真子集.

(

?)提示:空集沒有真子集.3.若a∈A,則{a}?A.

(

?)提示:當(dāng)A中僅含一個元素a時,A={a},{a}不是A的真子集.4.已知集合B?A,如果元素a?A,那么元素a?B.

(√)5.任何一個集合都至少有2個子集.

(

?)判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1|集合間關(guān)系的判斷判斷集合間關(guān)系的方法1.列舉法:對于能用列舉法表示的集合,先用列舉法將兩個(或多個)集合表示出來,

再通過對比兩個(或多個)集合中的元素來判斷其關(guān)系.2.元素特征法:弄清集合中元素的限制條件,再利用限制條件來判斷集合間的關(guān)

系.即若x是集合A中的元素,則x滿足集合A中的限制條件,由限制條件推斷x是否滿

足集合B中的限制條件,若能推出則A是B的子集,否則A不是B的子集;同理可判斷

B是不是A的子集.3.圖示法:利用數(shù)軸或Venn圖表示集合,可直觀地判斷兩個(或多個)集合間的關(guān)系.0,{0},?,{?}之間的關(guān)系(1)?不含任何元素,所以0不是它的元素.(2){0}表示只含有一個元素0的集合,所以0∈{0}.(3){?}并不是空集,{?}中有一個元素,這個元素就是?,即?∈{?}.又因為?是

任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以??{?}.判斷下列集合的關(guān)系:(1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0};(2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4};(3)A={x|x是文學(xué)作品},B={x|x是散文},C={x|x是敘事散文};(4)M=

x

x=m+

,m∈Z

,N=

x

x=

-

,n∈Z

,P=

x

x=

+

,k∈Z

.思路點撥(1)先確定集合B中的元素,再與集合A中的元素對比.(2)先確定集合A,B,再用數(shù)軸表示,即可得結(jié)果.(3)利用Venn圖表示集合A,B,C間的關(guān)系,即可得結(jié)果.(4)先分析集合M,N,P的元素特征(也可用列舉法),再判斷集合M,N,P的關(guān)系.解析

(1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A.(2)A={x|0<2x-1<1}=

,B={x|1<3x+1<4}={x|0<x<1},用數(shù)軸表示集合A,B,如圖所示,由圖可知A?B.

(3)畫出Venn圖,可知C?B?A.(4)解法一:元素特征法.M=

=

=

,N=

=

=

,P=

=

,∴M?N=P.解法二:列舉法.M=

,N=

,P=

,∴M?N=P.2|已知集合間的關(guān)系求參數(shù)已知集合A={3,1},B={m,1},若集合A,B相等,則可由集合間的關(guān)系得到集合的

元素之間的關(guān)系,進(jìn)而可以求出參數(shù)m的值為3.問題1.已知集合A={2,-1},B={m2-m,-1},若A=B,如何求實數(shù)m的值?提示:由A=B得m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.2.已知集合A={x|1≤x≤2},集合B={x|1≤x≤a,a≥1},若A?B,如何求a的取值范圍?提示:若A?B,畫出數(shù)軸:

則由數(shù)軸可知a>2.3.在問題2中,將條件改為“B?A”,又如何求a的取值范圍?提示:若B?A,畫出數(shù)軸:

則由數(shù)軸可知1≤a≤2.根據(jù)集合間的關(guān)系,求參數(shù)的值或取值范圍的方法1.若集合是用列舉法表示的,則根據(jù)集合間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為方程(組)求解,同時注意

考慮元素的互異性;若集合是用不等式描述的,則利用數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求

解,同時還要注意驗證端點值的取舍.2.涉及“A?B”或“A?B”的問題,若集合A中含有參數(shù),通常要分A=?和A≠?

兩種情況進(jìn)行討論,其中A=?的情況容易被忽略,應(yīng)引起足夠的重視.求滿足下列條件的實數(shù)a的值或取值范圍:(1)已知集合M={a-3,2a-1,a2+1},N={-2,4a-3,3a-1},M=N;(2)已知集合M={x|ax+2=0},N={x|x2-5x+6=0},M?N;(3)已知集合M={x|-3<x<4},N={x|2a-1<x<a+3},N?M;(4)(2020山東濟(jì)寧高一上期中)已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=

0},N?M.思路點撥分別根據(jù)集合間的關(guān)系列出關(guān)系式,求出a的值或取值范圍.解析

(1)因為M=N,a2+1>0,所以a-3=-2或2a-1=-2.當(dāng)a-3=-2,即a=1時,M={-2,1,2},N={-2,1,2},滿足M=N;當(dāng)2a-1=-2,即a=-

時,M=

,N=

,不滿足M=N,舍去.故實數(shù)a的值為1.(2)由題意知N={2,3}.①當(dāng)M=?時,a=0,滿足M?N.②當(dāng)M≠?,即a≠0時,M=

.因為M?N,所以-

=2或-

=3,即a=-1或a=-

.綜上所述,a的取值范圍為

.(3)①當(dāng)N=?,即2a-1≥a+3時,a≥4,滿足N?M.②當(dāng)N≠?時,因為N?M,所以

或

解得-1≤a≤1.綜上所述,a的取值范圍是{a|-1≤a≤1或a≥4}.(4)因為M={x|x2-3x+2=0}={1,2},N?M,所以N=?或{1}或{2}或{1,2}.①當(dāng)N=?時,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,解得a<-3.②當(dāng)N={1}時,

無解.③當(dāng)N={2}時,

解得a=-3.④當(dāng)N={1,2}時,

無解.綜上所述,a的取值范圍是{a|a≤-3}.3|探究已知集合的子集個數(shù)如果一個集合有n(n∈N*)個元素,那么如何研究它的子集個數(shù)?問題1.已知集合A={a,b,c},集合A有幾個子集?提示:集合A有8個子集.2.已知集合A={a,b,c},如何寫出集合A的所有子集?提示:對于有限集的子集,通常按子集中元素個數(shù)的多少及集合中元素的先后順

序來寫.3.已知集合A={a,b,c},集合A的真子集有幾個?非空真子集有幾個?提示:集合A的真子集有23-1=7個,非空真子集有23-2=6個.

1.假設(shè)集合A中含有n(n∈N*)個元素,則:(1)A的子集個數(shù)是2n;(2)A的非空子集個數(shù)是2n-1;(3)A的真子集個數(shù)是2n-1;(4)A的非空真子集個數(shù)是2n-2.2.設(shè)有限集合A,B中分別含有m個,n個元素(m,n∈N*,m≤n),且A?C?B,則符合條

件的有限集C的個數(shù)為2n-m.3.求給定集合的子集的兩個注意點:(1)按子集中元素個數(shù)的多少,以一定的順序來寫;(2)在寫子集時要注意空集和集合本身也是該集合的子集.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},存在非空集合C,使C中每個元素都加上

2就變成了A的一個子集,且C