新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)小專題三利用勾股定理其逆定理解決最短路徑問題課時(shí)作業(yè)

小專題(三)利用勾股定理及其逆定理解決最短路徑問題平面(或曲面)上的最短路線問題是數(shù)學(xué)中常有的一種最值問題,勾股定理及其逆定理是解決這種問題的一大利器.求最短路線問題,第一要把實(shí)質(zhì)問題轉(zhuǎn)變成含有直角三角形的數(shù)學(xué)模型

,再依據(jù)“兩點(diǎn)之間

,線段最短”的數(shù)學(xué)事實(shí)經(jīng)過勾股定理

(或逆定理

)得出最短路線.假如求曲面上的最短路線

,還要經(jīng)過轉(zhuǎn)變的方法先將曲面睜開獲得一個(gè)熟習(xí)的平面圖形

,而后再經(jīng)過平面圖形解決.種類1平面上的最短路徑問題1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)M在AC邊上,且AM=1,MC=4,動(dòng)點(diǎn)P在AB邊上,連結(jié)PC,PM,則PC+PM的最小值是(C)A.B.6C.D.72.如圖,在△ACB中,有一點(diǎn)P在AC上挪動(dòng),若AB=AC=5,BC=6,則AP+BP+CP的最小值為(D)A.4..8D.9.83.如圖,C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn),分別過點(diǎn)B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,連結(jié)AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=.(1)直接寫出AC+CE的值;(用含的代數(shù)式表示)(2)求AC+CE的最小值.解(1)AC+CE=.(2)如圖,連結(jié)AE交BD于點(diǎn)C1,此時(shí)AC+CE有最小值.平移DE至BF.則BF=DE=1,EF=BD=8,AF=AB+BF=5+1=6,AC+CE的最小值A(chǔ)E==10.4如圖,,兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè),,兩村到河的距離分別為AC=1m,3m,3.ABABBD=CD=m.此刻河畔CD上建一水廠向A,B兩村輸送自水,鋪設(shè)水管的花費(fèi)為20000元/m.(1)請(qǐng)你在河CD邊上作出水廠的地點(diǎn)O,使鋪設(shè)水管的花費(fèi)最省;(2)求出鋪設(shè)水管的總花費(fèi).答案圖解(1)O點(diǎn)如下圖.(2)由(1)可知A1B==5m,∴總花費(fèi)為20000×5=100000元.種類2曲面上的最短路徑問題5.如圖,一只螞蟻沿邊長(zhǎng)為

a的正方體表面從點(diǎn)

A

爬到點(diǎn)

B,則它走過的行程最短為

(D)A.a

B.(1+

)aC.3a

D.a6如圖,已知圓柱的底面直徑,高AB=3,小蟲在圓柱表面爬行,從C點(diǎn)爬到A點(diǎn),而后再.BC=π沿另一面爬回C點(diǎn),則小蟲爬行的最短行程為(D)A.3B.3C.6D.67.圖1為一個(gè)無蓋的正方體紙盒,現(xiàn)將其睜開成平面圖,如圖2.已知睜開圖中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)求該睜開圖中可畫出的最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度,并求出這樣的線段可畫幾條;(2)試比較立體圖中∠ABC與平面睜開圖中∠A'B'C'的大小關(guān)系.解(1)最長(zhǎng)線段如圖中的A'C',在Rt△A'C'D'中,∵C'D'=1,A'D'=3,由勾股定理得A'C'=.這樣的線段可畫4條(另三條用虛線標(biāo)出).(2)由題可知,∠ABC=90°.在平面睜開圖中,連結(jié)線段B'C'.由勾股定理可得A'B'=,B'C'=,A'C'=,A'B'2+B'C'2