2022-2023學(xué)年廣東省惠州市惠陽區(qū)鳳凰山學(xué)校八年級(jí)（下）寒假收心數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省惠州市惠陽區(qū)鳳凰山學(xué)校八年級(jí)（下）寒假收心數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．一只不透明的袋子里裝有4個(gè)黑球，1個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，則從中任意摸出1個(gè)球，摸到黑球的概率是（）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.12．由圓和正五邊形所組成的圖形如圖所示，那么這個(gè)圖形（）A．是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形 B．是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形 C．既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形 D．既不是中心對(duì)稱圖形也不是軸對(duì)稱圖形3．已知關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣8x+m＝0有一個(gè)根是x1＝3，則另一個(gè)根x2是（）A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．24．如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點(diǎn)D在劣弧AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），BD與OA交于點(diǎn)E．設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°5．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝70°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°6．如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是（）A．60° B．110° C．120° D．90°7．將函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到新的二次函數(shù)解析式為（）A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣38．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，點(diǎn)D在BC上，且CD＝2，點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PD為直徑作⊙O，點(diǎn)Q為直徑PD上方半圓的中點(diǎn)，連接AQ，則AQ的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．49．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A（﹣3，0），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．b2＞4ac B．2a+b＝0 C．a(chǎn)+b+c＝0 D．5a＜b10．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝2，且OA＝OC，則下列結(jié)論：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一個(gè)根為﹣其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．關(guān)于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．12．將拋物線y＝x2向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的解析式為．13．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師將如圖邊長(zhǎng)為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，AB為半徑的扇形（鐵絲的粗細(xì)忽略不計(jì)），則所得扇形DAB的面積是．14．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（2，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2+mx+c＞n的解集是．15．如圖，⊙P與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0），B（1，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．若∠ACB＝60°，則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為．16．如圖，已知拋物線y＝x2﹣7x+6與x軸的相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸的相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P，Q分別從A，O兩點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度沿AB，OC向B，C方向移動(dòng)，用t（秒）表示移動(dòng)時(shí)間，連接PQ，當(dāng)t為值時(shí)，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．17．如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，E是線段OC的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)G．若AB＝2，則GF＝．三、解答題：第18，19，20小題6分，第21，22，23小題8分，第24，25小題10分。18．已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣6），且經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣8），求二次函數(shù)的解析式．19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（3，4）．求此二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．20．經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，這三種可能性大小相同，現(xiàn)在兩輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口．請(qǐng)用“樹形圖”或“列表法”求這兩輛汽車都向左轉(zhuǎn)的概率．21．如圖，AB，CD為⊙O內(nèi)兩條相交的弦，交點(diǎn)為E，且AB＝CD，求證：AD∥BC．22．新冠病毒肆虐全球，我國(guó)的疫情很快得到了控制，并且研發(fā)出安全性、有效性均非常高的疫苗．2021年七月，國(guó)家發(fā)布通知，12～17歲未成年人也可接種新冠疫苗．隨著全國(guó)各地疫苗需求量的急劇增加，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，北京生物制藥廠現(xiàn)有1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是42萬支/天，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少2萬支/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)疫苗144萬支，在既增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？23．已知：如圖，AB，DE是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，且BE＝CE．求證：．24．（一）發(fā)現(xiàn)探究在△ABC中AB＝AC，點(diǎn)P在平面內(nèi)，連接AP并將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AQ，連接BQ．【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，如果點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，則線段BQ和線段PC的數(shù)量關(guān)系是；【探究猜想】如圖2，如果點(diǎn)P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．請(qǐng)僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明（或說明）；（二）拓展應(yīng)用【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是線段BC上的任意一點(diǎn)連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AQ，連接CQ，請(qǐng)直接寫出線段CQ長(zhǎng)度的最小值．25．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．BE、AD分別與過點(diǎn)C的直線垂直，且垂足分別為D，E．學(xué)習(xí)完第十二章后，張老師首先讓同學(xué)們完成問題1：如圖1，若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的長(zhǎng)；然后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△ABC的外部，BE、AD與直線CE的垂直關(guān)系不變，如圖2，猜想AD、DE、BE三者的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

參考答案一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．一只不透明的袋子里裝有4個(gè)黑球，1個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，則從中任意摸出1個(gè)球，摸到黑球的概率是（）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【分析】直接由概率公式求解即可．解：從中任意摸出1個(gè)球，摸到黑球的概率是＝0.8，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式，隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．2．由圓和正五邊形所組成的圖形如圖所示，那么這個(gè)圖形（）A．是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形 B．是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形 C．既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形 D．既不是中心對(duì)稱圖形也不是軸對(duì)稱圖形【分析】直接利用中心對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)而判斷得出答案．解：此圖形是軸對(duì)稱圖形但并不是中心對(duì)稱圖形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．3．已知關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣8x+m＝0有一個(gè)根是x1＝3，則另一個(gè)根x2是（）A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到3+x2＝4，然后解一次方程即可．解：設(shè)另一個(gè)根為x2，根據(jù)題意得x1+x2＝﹣＝4，即3+x2＝4，所以x2＝1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．4．如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點(diǎn)D在劣弧AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），BD與OA交于點(diǎn)E．設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用α表示∠CBD，進(jìn)而由圓心角與圓周角關(guān)系，用α表示∠COD，最后由角的和差關(guān)系得結(jié)果．解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是用α表示∠COD．5．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝70°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可．解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝70°，∴∠C＝110°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．6．如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是（）A．60° B．110° C．120° D．90°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A，再根據(jù)圓周角定理解答．解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圓周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．7．將函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到新的二次函數(shù)解析式為（）A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣3【分析】利用二次函數(shù)性質(zhì)得到二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），再利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)（2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），而拋物線開口方向相反，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出新拋物線的解析式．解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)（2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），所以新拋物線的解析式為y＝（x+2）2﹣3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，點(diǎn)D在BC上，且CD＝2，點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PD為直徑作⊙O，點(diǎn)Q為直徑PD上方半圓的中點(diǎn)，連接AQ，則AQ的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．4【分析】連接OQ，CQ，過點(diǎn)A作AT⊥CQ交CQ的延長(zhǎng)線于T，根據(jù)圓周角定義知∠ACQ＝45°，確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑，從而解決問題．解：如圖，連接OQ，CQ，過點(diǎn)A作AT⊥CQ交CQ的延長(zhǎng)線于T，∵，∴OQ⊥PD，∴∠QOD＝90°，∴∠QCD＝，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT＝45°，∵AT⊥CT，∴∠ATC＝90°，∵AC＝8，∴AT＝AC?sin45°＝4，∵AQ≥AT，∴AQ≥4，∴AQ的最小值為：4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，垂線段最短，三角函數(shù)等知識(shí)，根據(jù)圓周角定理確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．9．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A（﹣3，0），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．b2＞4ac B．2a+b＝0 C．a(chǎn)+b+c＝0 D．5a＜b【分析】根據(jù)當(dāng)b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，可對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性先求出拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），即x＝0時(shí)，y＝0，可對(duì)C進(jìn)行判斷；拋物線開口向下得到a＜0，又b＝2a，則5a＜2a，可對(duì)D進(jìn)行判斷．解：A、拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac＞0，所以A選項(xiàng)是正確的；B、因?yàn)閷?duì)稱軸為直線x＝﹣1，則﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，所以B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C、因?yàn)閽佄锞€點(diǎn)A（﹣3，0），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，則拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），于是有a+b+c＝0，所以C選項(xiàng)是正確的；D、因?yàn)閎＝2a，而a＜0，則5a＜2a，所以D選項(xiàng)是正確的．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．10．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝2，且OA＝OC，則下列結(jié)論：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一個(gè)根為﹣其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸及與y軸的交點(diǎn)可分別判斷出a、b、c的符號(hào)，從而可判斷①；由圖象可知當(dāng)x＝3時(shí)，y＞0，可判斷②；由OA＝OC，且OA＜1，可判斷③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c＝0，結(jié)合③可判斷④；從而可得出答案．解：由圖象開口向下，可知a＜0，與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，可知c＜0，又對(duì)稱軸方程為x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正確；由圖象可知當(dāng)x＝3時(shí)，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②錯(cuò)誤；由圖象可知OA＜1，∵OA＝OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正確；假設(shè)方程的一個(gè)根為x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，整理可得ac﹣b+1＝0，兩邊同時(shí)乘c可得ac2﹣bc+c＝0，即方程有一個(gè)根為x＝﹣c，由②可知﹣c＝OA，而當(dāng)x＝OA是方程的根，∴x＝﹣c是方程的根，即假設(shè)成立，故④正確；綜上可知正確的結(jié)論有三個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握?qǐng)D象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．特別是利用好題目中的OA＝OC，是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．關(guān)于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≥．【分析】分二次項(xiàng)系數(shù)為零及非零兩種情況考慮，當(dāng)（k﹣1）2＝0，即k＝1時(shí)，解一元一次方程可得出x＝﹣，進(jìn)而可得出k＝1符合題意；當(dāng)（k﹣1）2≠0，即k≠1時(shí)，利用根的判別式Δ≥0，即可求出k的取值范圍，綜上，此題得解．解：當(dāng)（k﹣1）2＝0，即k＝1時(shí)，原方程為3x+1＝0，解得：x＝﹣，∴k＝1符合題意；當(dāng)（k﹣1）2≠0，即k≠1時(shí)，∵關(guān)于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1≥0，解得：k≥，∴k≥且k≠1．綜上，k的取值范圍為k≥．故答案為：k≥．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，分二次項(xiàng)系數(shù)為零及非零兩種情況，找出k的值或k的取值范圍是解題的關(guān)鍵．12．將拋物線y＝x2向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的解析式為y＝x2﹣2．【分析】根據(jù)“上加下減”可得答案．解：將拋物線y＝x2向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的解析式為y＝x2﹣2，故答案為：y＝x2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．13．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師將如圖邊長(zhǎng)為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，AB為半徑的扇形（鐵絲的粗細(xì)忽略不計(jì)），則所得扇形DAB的面積是1．【分析】先求出弧長(zhǎng)BD＝CD+BC，再根據(jù)扇形面積公式：S＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)，R是扇形的半徑）計(jì)算即可．解：由題意的長(zhǎng)＝CD+BC＝1+1＝2，S扇形ABD＝??AB＝×2×1＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)和扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是記住扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)），求出的長(zhǎng)＝CD+BC＝2是解題的關(guān)鍵．14．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（2，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2+mx+c＞n的解集是﹣2＜x＜1．【分析】作直線y＝mx+n關(guān)于y軸的對(duì)稱直線CD：y＝﹣mx+n，點(diǎn)C、D是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，點(diǎn)C（1，p），D（﹣2，q），即可求解．解：作直線y＝mx+n關(guān)于y軸的對(duì)稱直線CD：y＝﹣mx+n，點(diǎn)C、D是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，點(diǎn)C（1，p），D（﹣2，q），由圖象可以看出，ax2+c＞n﹣mx的解集為：﹣2＜x＜1，故答案為：﹣2＜x＜1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)所代表的意義、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等．15．如圖，⊙P與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0），B（1，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．若∠ACB＝60°，則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為+2．【分析】過P點(diǎn)作PH⊥AB于H點(diǎn)，PD⊥OC于D點(diǎn)，連接PA、PB、PC，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH＝BH＝3，則OH＝2，再根據(jù)圓周角定理得到∠APB＝2∠ACB＝120°，所以∠APH＝60°，則利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出PH＝，PA＝2，接著利用四邊形PHOD為矩形得到OD＝，PD＝2，然后利用勾股定理計(jì)算出CD，從而得到OC的長(zhǎng)．解：過P點(diǎn)作PH⊥AB于H點(diǎn)，PD⊥OC于D點(diǎn)，連接PA、PB、PC，如圖，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴OA＝5，OB＝1，∵PH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝3，∴OH＝2，∵∠APB＝2∠ACB＝2×60°＝120°，∴∠APH＝60°，在Rt△PAH中，∵PH＝AH＝，∴PA＝2PH＝2，∵∠PHO＝∠PDO＝∠HOD＝90°，∴四邊形PHOD為矩形，∴OD＝PH＝，PD＝OH＝2，在Rt△PCD中，∵PC＝PA＝2，PD＝2，∴CD＝＝2，∴OC＝OD+CD＝+2，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為+2．故答案為：+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了圓周角定理．16．如圖，已知拋物線y＝x2﹣7x+6與x軸的相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸的相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P，Q分別從A，O兩點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度沿AB，OC向B，C方向移動(dòng)，用t（秒）表示移動(dòng)時(shí)間，連接PQ，當(dāng)t為或秒值時(shí)，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．【分析】先計(jì)算x＝0時(shí)的函數(shù)值得到C（0，6），解方程x2﹣7x+6＝0得B（1，0），A（6，0），所以O(shè)C＝6，OB＝1，OA＝6，則OQ＝t，OP＝6﹣t，由于∠POQ＝∠BOC，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)＝時(shí)，△OPQ∽△OBC，即＝；當(dāng)＝時(shí)，△OPQ∽△OCB，即＝，然后分別解方程即可．解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣7x+6＝6，則C（0，6），當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣7x+6＝0，解得x1＝1，x2＝6，∴B（1，0），A（6，0），∴OC＝6，OB＝1，OA＝6，∴OQ＝t，OP＝6﹣t，∵∠POQ＝∠BOC，∴當(dāng)＝時(shí)，△OPQ∽△OBC，即＝，解得t＝；當(dāng)＝時(shí)，△OPQ∽△OCB，即＝，解得t＝，綜上所述，當(dāng)t＝或秒時(shí)，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．故答案為：或秒．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題．17．如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，E是線段OC的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)G．若AB＝2，則GF＝．【分析】過點(diǎn)O作OH⊥BC，于點(diǎn)H，因?yàn)镋是線段OC的中點(diǎn)，所以根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CF：AD＝1：3，進(jìn)而可求出CF的長(zhǎng)，由正方形的性質(zhì)可知△BOC是等腰直角三角形，所以BH＝CH＝1，進(jìn)而可求出HF的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求出OF的長(zhǎng)，繼而求出GF的長(zhǎng)．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ADE∽△CFE，∵E是線段OC的中點(diǎn)，∴CE：AE＝CF：AD＝1：3，∵AB＝2，∴CF＝，過點(diǎn)O作OH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝1，∴HF＝1﹣FC＝＝，∵OH＝BC，∴OF＝＝，∴FG＝2OF＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是證明△ADE∽△CFE，根據(jù)E是線段OC的中點(diǎn)，得到CE：AC＝CF：AD＝1：3．三、解答題：第18，19，20小題6分，第21，22，23小題8分，第24，25小題10分。18．已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣6），且經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣8），求二次函數(shù)的解析式．【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出，拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2﹣6，再把（2，﹣8）代入，求出a的值，即可得出二次函數(shù)的解析式．解：設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入解析式得a＝﹣2，則拋物線的解析式為：y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，在已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，通常用頂點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)的解析式．19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（3，4）．求此二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】把A、B的坐標(biāo)代入y＝x2+mx+n，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一般式，化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．解：∵二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（3，4）；∴，解得：，∴y＝x2﹣2x+1，∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．20．經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，這三種可能性大小相同，現(xiàn)在兩輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口．請(qǐng)用“樹形圖”或“列表法”求這兩輛汽車都向左轉(zhuǎn)的概率．【分析】畫樹狀圖，共有9種可能的結(jié)果，其中這兩輛汽車都向左轉(zhuǎn)的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．解：畫樹狀圖如圖所示：共有9種可能的結(jié)果，其中這兩輛汽車都向左轉(zhuǎn)的結(jié)果有1種，∴這兩輛汽車都向左轉(zhuǎn)的概率為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了樹狀圖法求概率．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比求解．21．如圖，AB，CD為⊙O內(nèi)兩條相交的弦，交點(diǎn)為E，且AB＝CD，求證：AD∥BC．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系和平行線的判定定理即可得到結(jié)論．解：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠A＝∠B，∴AD∥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，平行線的判定，熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22．新冠病毒肆虐全球，我國(guó)的疫情很快得到了控制，并且研發(fā)出安全性、有效性均非常高的疫苗．2021年七月，國(guó)家發(fā)布通知，12～17歲未成年人也可接種新冠疫苗．隨著全國(guó)各地疫苗需求量的急劇增加，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，北京生物制藥廠現(xiàn)有1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是42萬支/天，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少2萬支/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)疫苗144萬支，在既增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？【分析】設(shè)應(yīng)該增加x條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（42﹣2x）萬支/天，根據(jù)要保證每天生產(chǎn)疫苗144萬支，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合要節(jié)省投入，即可得出應(yīng)該增加3條生產(chǎn)線．解：設(shè)應(yīng)該增加x條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（42﹣2x）萬支/天，依題意得：（x+1）（42﹣2x）＝144，整理得：x2﹣20x+51＝0，解得：x1＝3，x2＝17．又∴要節(jié)省投入，∴x＝3．答：應(yīng)該增加3條生產(chǎn)線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23．已知：如圖，AB，DE是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，且BE＝CE．求證：．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得出∴＝，＝，再求出答案即可．【解答】證明：∵圓心角∠BOE＝圓心角∠AOD，∴＝，∵BE＝CE，＝，∴＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，能熟記圓心角、弧、弦的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵，在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，如果其中一對(duì)量相等，那么其它兩對(duì)量也分別相等．24．（一）發(fā)現(xiàn)探究在△ABC中AB＝AC，點(diǎn)P在平面內(nèi)，連接AP并將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AQ，連接BQ．【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，如果點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，則線段BQ和線段PC的數(shù)量關(guān)系是BQ＝PC；【探究猜想】如圖2，如果點(diǎn)P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．請(qǐng)僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明（或說明）；（二）拓展應(yīng)用【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是線段BC上的任意一點(diǎn)連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AQ，連接CQ，請(qǐng)直接寫出線段CQ長(zhǎng)度的最小值．【分析】【發(fā)現(xiàn)問題】先判斷出∠BAQ＝∠CAP，進(jìn)而用SAS判斷出△BAQ≌△CAP，即可得出結(jié)論；【探究猜想】同（1）證明△BAQ≌△CAP（SAS）即可得出結(jié)論；【拓展應(yīng)用】在AB上取一點(diǎn)E，使AE＝AC＝2，連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，證明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CQ＝EP，當(dāng)EF⊥BC（點(diǎn)P和點(diǎn)F重合）時(shí)，EP最小，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：【發(fā)現(xiàn)問題】由旋轉(zhuǎn)知，AQ＝AP，∵∠PA