線段的定比分點(diǎn)問題解法探究

一般地，我們解答直線與圓錐曲線問題， 已經(jīng)形成一種習(xí)慣， 利用一元二次方程的判別式研究范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系研究有關(guān)參數(shù)的關(guān)系 ，還美其名曰“設(shè)而不求”，事實(shí)上，“設(shè)而求”也可能比“設(shè)而不求”更加簡單， 避開了一元二次方程的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系研究有關(guān)參數(shù)的關(guān)系，也許另有一種更好的解法等待著你去探究，不信請看下面的例題：例1、已知橢圓方程為x2y21，過定點(diǎn)P(0,2)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)2uuruurA、B（在A、P之間），且滿足PBPA，求的取值范圍.解析1：設(shè)AB的方程為 y kx 2，A(x1,y1),B(x2,y2)，則uuruuruuvuuvx2x1,PA(x1,y12)，PB(x2,y22)，由PBPA，得2(y12).y2x2y21,2k2264k224(12k2)00，得由2得(1)x8k60.又ykx2,k23.2由根與系數(shù)關(guān)系，xx28k，xx6.12k2122k211把x2x1代入xx8k有x(1)8k2，（1）112k2112k2把x2x1代入x1x216有x1216，（2）2k22k2由（1）、（2）可以消去 x1得到含有 ,k的關(guān)系式，這個(gè)過程比較復(fù)雜，這個(gè)關(guān)系式是32k2(1)2，或者變?yōu)?13(12k2)(1)2，由k23，可3(12k2)32k21632k221以求得311，于是建立了關(guān)于的不等式(1)21，又01，解得32k2168811.3當(dāng)AB沒有斜率時(shí)，111.，所以33解析2：構(gòu)造1x2x1(x1x2)2，如此可以直接把x1x28k，x1x2x1x212k2x1x26代入得到132k22322，由解法1知：12k3(12k2)213(k22)k23，可以求得2110，又01，解得11.當(dāng)AB沒有斜率時(shí)，233111.，所以33解析3：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則uuruuruuruurx2x1,PA(x1,y12)，PB(x2,y22)，由PBPA，得2(y12).y22x12y21,xy2121又A(x1,y1),B(x2,y2)在上，所以2x2221.2y2事實(shí)上僅用以上這四個(gè)等式就可以求出 與x1,y1,x2,y2中任意一個(gè)的關(guān)系 .2x221y11,(1)2(x1)2(y22)21.(2)21(1)2(2)得：(y1)2(y122)221，(22)(2y122)21，注意到01，所以4(y11)1，解得535311，y1，注意到1y11，所以11，解得3，又0443所以11.3解法評價(jià)：解法1與解法2都是利用一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系，是解析幾何常用的方法，但是用這種方法必須對直線方程進(jìn)行討論，還應(yīng)注意，有些時(shí)候僅僅使用其中的根與系數(shù)的關(guān)系而沒有用根的判別式， 但是由于根與系數(shù)的關(guān)系是從整體上建立有關(guān)系數(shù)的關(guān)系的，所以無法保證實(shí)數(shù)根的存在性，因此一定要檢驗(yàn)判別式大于零.解法3全面利用向量共線所得到兩個(gè)關(guān)系式（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系都利用了，而解法1、2實(shí)際上只用了橫坐標(biāo)的關(guān)系），通過巧妙的解方程，最終把看成常數(shù)，y1看成未知數(shù)，用表示y1，進(jìn)一步利用y1的范圍限定的范圍.對于這個(gè)題目來說，解法3優(yōu)于解法1、2，因?yàn)檫@種解法避開了分類討論（這是共線向量的作用），避開了根的判別式（另用了變量的范圍，范圍，也是圓錐曲線中建立不等式的常用方法，在變量易用參數(shù)關(guān)系表示的情況下比用判別式簡單）.解法3雖然沒有用整體思想（這里指解法1、2中對x1x2與x1x2的整體代入變形），但是計(jì)算量并不大，比解法1、2還要小，而且由于沒有新的參數(shù)k，使得字母較少，變形的目標(biāo)更加明確 .因此我們解答直線與圓錐曲線的問題時(shí)，不要過分依賴一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系， 當(dāng)解方程組比較簡單時(shí)， 不妨直接求出有關(guān)未知數(shù)的解，然后利用未知數(shù)的取值范圍建立不等式 .例2、如圖1，已知橢圓長軸端點(diǎn)為 A、B，弦EF與AB交于點(diǎn)D，原點(diǎn)O為橢圓3中心，且uuur uuurOD 1，2DE DF 0， FDO .求橢圓長軸長的取值范圍 .4解：設(shè)橢圓方程為x2y21（ab0），設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)，由a2b2uuuruuur2DEDF0得：2(x11,y1)+(x21,y2)=(0,0)，即2x1x230,2y1y20x12y121x22y221.，又2b2，2b2aa聯(lián)立四個(gè)等式先消去x2,y2(2x13)4y121，有：b2a2再聯(lián)立x12y121消去y1可以解得x1a23.a2b24又因?yàn)閍x1a，于是aa23a，即a24a30，4解得1a3（1）又因?yàn)镕DO，所以EF得方程為yx1，由x1a234，44a21x12y121得：得y1，把(x1,y1)代入a2b24a2321(a21211，()a2)b244(a23)2(a21)216，又a2b2，所以(a23)2(a21)216，a2b2a2a2去分母整理得：a46a250，解得1a25（2）由（1）（2）的1 a 5，所以2 2a 2 5，即橢圓長軸長的取值范圍是 (2,2 5).此題有關(guān)資料多用根與系數(shù)的關(guān)系建立 a,b之間的一個(gè)