高考第一輪復習變量間的相關關系與獨立檢驗課件

第5課時變量間的相關關系回歸分析及獨立性檢驗

1.會作兩個相關變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量的相關關系.2.了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程.3.了解獨立檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法簡單應用.4.了解假設檢驗的基本思想、方法簡單應用.5.會求回歸方程，并能進行回歸分析、(3)正相關在散點圖中，點散布在從

到

的區(qū)域．對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關．

基礎知識梳理左上角右下角1．兩個變量的線性相關（1）相關關系自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系,則稱這兩個變量具有

.注意：相關關系是一種不確定性關系相關關系（2）散點圖在平面直角坐標系中,表示具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形叫做.散點圖①0≤r≤1；②當r>0時,表示兩個變量正相關；當r<0時,表示兩個變量負相關；｜r｜越近于1,表明兩個變量的線性相關性越強:｜r｜越近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.一般的｜r｜∈[0.75,1],表明兩個變量有較強線性相關性越強；｜r｜∈（0.25，0.75],表明兩個變量相關性一般∈；|r|∈[0,0.3),表明兩個變量相關性較弱。（7）相關性判定①散點圖法；②相關系數法相關系數具有性質：思考？相關關系與函數關系有什么異同點？【思考·提示】相同點：兩者均是指兩個變量的關系．不同點：①函數關系是一種確定的關系，相關關系是一種非確定的關系．②函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系．2．回歸模型(1)最小二乘法：求回歸直線使得樣本數據的點到回歸直線的

的方法叫做最小二乘法．距離的平方和最小(2)回歸方程具有線性相關關系的兩個變量的一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程為：其中a，b是待定參數．稱為樣本點的中心。回歸方程一定過樣本中心點(4)建立回歸模型的基本步驟①確定研究對象,明確解釋變量與預報變量;②畫出解釋變量與預報變量的散點圖;③由經驗確定回歸方程的類型;④估計回歸方程中的參數;⑤對回歸模型進行進行殘差分析,若存在異常，則檢驗數據是否有誤，或模型是否合適。

（5）隨機誤差產生的原因①用回歸模型近似真實模型差異產生誤差；②忽略了某些因素的影響；③觀測誤差。

上面三項誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。3．回歸分析(1)回歸分析對具有

的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．相關關系（2）殘差分析

①回歸模型中隨機誤差的估計值（其中）叫相應點（xi,yi)的殘差。

②殘差圖在直角坐標系中，以樣本編號或解釋變量為橫坐標，殘差為縱軸坐標作出的圖像叫殘差圖。③殘差分析若殘差點比較均勻的分布在橫軸附近很窄的區(qū)域內，說明回歸模型擬合較好，若個別點離橫軸較遠，需要檢查數據收集是否有誤差，若取樣有誤差作出修行正，并對回歸模型進行修改，否則，分析其他原因.(3)擬合效果分析①總體偏差平方和②殘差平方和③回歸平方和用R2來刻畫回歸的效果,R2

,表示

.越大擬合效果越好④相關指數⑤方差估計用來刻畫回歸效果，值越小，表明擬合效果越好.（3）二維條形圖(4)三維柱狀圖 將分類變量X取值x1,x2與Y的取值y1，y2的取值用條形圖表示出來，可以估計滿足條件X＝x1的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例，也可以估計滿足條件X＝x2的個體中具有Y＝y(tǒng)2的個體所占的比例.“兩個比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大．”在坐標系中作出分類變量X、Y取值的柱形圖，主對角線上兩個柱形高度的乘積ad與副對角線上的兩個柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大．通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關系，但是這種判斷無法精確地給出所得結論的可靠程度．基礎知識梳理(5)獨立性檢驗用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度．具體步驟是：①根據實際問題需要的可信程度確定臨界值k0；②利用公式K2＝，由觀測數據計算得到隨機變量K2的觀測值k；③如果k＞k0，就以(1－P(K2≥k0))×100%的把握認為“X與Y有關系”；否則就說樣本觀測數據沒有提供“X與Y有關系”的充分證據．利用K2來確定在多大程度可以認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗.1．在對兩個變量x，y進行線性回歸分析時有下列步驟：①對所求出的回歸方程作出解釋；②收集數據(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求線性回歸方程；④求相關系數；⑤根據所搜集的數據繪制散點圖．如果根據可靠性要求能夠作出變量x，y具有線性相關結論，則在下列操作順序中正確的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①

C．②④③①⑤D．②⑤④③① 答案：D3．(2009·寧夏、海南)對變量x，y有觀測數據(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u、v有觀測數據(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)．由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關解析：由圖(1)可知，各點整體呈遞減趨勢，x與y負相關，由圖(2)可知，各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關．答案：C4．下面是一個2×2列聯(lián)表

則表中a、b處的值分別為() A．94,96B．52,50C．52,54D．54,52 答案：C

y1y2總計x1a2173x222527總計b46判斷兩個變量正相關還是負相關，有三種方法：1．利用散點圖；2．利用相關系數r的符號；當r＞0時，正相關；r＜0時，負相關；3．在已知兩變量線性相關時，也可以利用回歸方程＝a＋bx.當b＞0時，＝a＋bx是增函數，兩變量是正相關，當b＜0時，＝a＋bx是減函數，兩變量是負相關．思維點撥：用施化肥量x作為橫軸，產量y為縱軸可作出散點圖，由散點圖即可分析是否具有線性相關關系．解答：(1)散點圖如右圖所示， (2)由散點圖知，各組數據對應點大致都在一條直線附近，所以施化肥量x與產量y具有線性相關關系.

對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析時，首先要作出散點圖，然后進行相關性檢驗，在確認具有線性相關關系后，再求其回歸直線．

【例2】一臺機器使用時間較長，但還可以使用．它按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產有缺點零件的多少，隨機器運轉的速度而變化，下表為抽樣試驗結果：轉速x(轉/秒)1614128每小時生產有缺點的零件數y(件)11985(1)對變量y與x進行相關性檢驗；(2)如果y與x有線性相關關系，求回歸直線方程；(3)若實際生產中，允許每小時的產品中有缺點的零件最多為10個，那么，機器的運轉速度應控制在什么范圍內？(2)＝0.7286x－0.8571.(3)要使≤10?0.7286x－0.8571≤10，所以x≤14.9013.所以機器的轉速應控制在14.9013轉/秒以下．解答：思維點撥：利用相關系數r進行線性相關檢驗(也可利用散點圖)．如果線性相關，再求回歸直線方程并加以判斷．所謂獨立性檢驗，就是根據采集樣本的數據，先利用三維柱形圖和二維條形圖粗略判斷兩個分類變量是否有關系，再利用公式計算K2的值，比較它與臨界值的大小關系，來判斷事件X與Y是否有關的問題．變式3.在對人們休閑方式的一次調查中，共調查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動． (1)根據以上數據建立一個2×2列聯(lián)表； (2)畫出二維條形圖；(3)檢驗休閑方式是否與性別有關，可靠性有多大．解答：(1)2×2列聯(lián)表如圖：休閑方式性別看電視運動合計女432770男213354合計6460124(2)二維條形圖如圖：(3)假設休閑方式與性別無關，則K2＝≈6.201＞5.024，所以有理由認為休閑方式與性別無關是不合理的，即我們有97.5%的把握認為休閑方式與性別有關．【方法規(guī)律】

1．求回歸方程，關鍵在于正確求出系數a，b，由于a，b的計算量大，計算時應仔細謹慎，分層進行，避免因計算而產生錯誤．(注意回歸直線方程中一次項系數為b，常數項為a，這與一次函數的習慣表示不同)．2．回歸分析是處理變量相關關系的一種數學方法．主要解決：①確定特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數學表達式；②根據一組觀察值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；③求出回歸直線方程．3．獨立性檢驗是一種假設檢驗，在對總體的估計中，通過抽取樣本，構造合適的隨機變量，對假設的正確性進行判斷.

為了分析某個高三學生的學習狀態(tài)，對其下一階段的學習提供指導性建議．現(xiàn)對他前7次考試的數學成績x、物理成績y進行分析．下面是該生7次考試的成績.數學888311792108100112物理949110896104101106(1)他的數學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明；(2)已知該生的物理成績y與數學成績x是線性相關的，若該生的物理成績達到115分，請你估計他的數學成績大約是多少？并請你根據物理成績與數學成績的相關性，給出該生在學習數學、物理上的合理建議.【答題模板】(2)由于x與y之間具有線性相關關系，根據回歸系數公式得到b＝＝0.5，a＝100－0.5×100＝50，∴線性回歸方程為＝0.5x＋50.當y＝115時，x＝130.建議：進一步加強對數學的學習，提高數學成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進一步提高．

【分析點評】1.