由一道高考試題引發(fā)的思考-絕對(duì)值不等式的解法探究 教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGEPAGE1本文屬于廣東省教育科學(xué)規(guī)劃課題《高中數(shù)學(xué)探究式學(xué)習(xí)模式的實(shí)驗(yàn)研究》（課題批準(zhǔn)號(hào)為2013YQJK093)階段性成果。由一道高考試題引發(fā)的思考絕對(duì)值不等式的解法探究廣州增城區(qū)增城中學(xué)高中部（511300）肖海英問(wèn)題再現(xiàn)(2014年高考廣東卷第9小題)不等式的解集是。地位分析不等式的解法是高中數(shù)學(xué)人教版選修4-5的一個(gè)重要內(nèi)容，隨著近幾年廣東省高考考綱對(duì)不等式的要求由原來(lái)的選做題變?yōu)楸乜純?nèi)容，不等式的地位也隨著提高，筆者查閱了近5年的廣東高考理科數(shù)學(xué)試卷，不等式每年至少必考一題，其分?jǐn)?shù)分布如下：2010201120122013201426分10分10分5分5分而絕對(duì)值不等式作為一種重要的不等式類型在高考考查中頻頻出現(xiàn)，其中2011年（不等式的解集是）、2012年（不等式的解集為_(kāi)_____）、2014年(不等式的解集是)都是第9題，作為填空題的第一道題，命題的本意屬于送分題，是學(xué)生必須快速、準(zhǔn)確的拿下的一道題，它起到穩(wěn)定學(xué)生情緒的積極作用，對(duì)提高學(xué)生后部分答題的自信心有很大幫助,最優(yōu)的方法將節(jié)省很多時(shí)間。其余省份高考也有很多考查絕對(duì)值不等式的解法，如2014年湖南高考數(shù)學(xué)理科卷第11題。其中2010年絕對(duì)值不等式出現(xiàn)在第21題，作為壓軸題考查。因此作為一線教師，隨著課標(biāo)對(duì)不等式解法要求的提高，對(duì)絕對(duì)值不等式的解法進(jìn)行探究非常必要，以下筆者將從幾種典型的絕對(duì)值不等式類型出發(fā)，從不同的數(shù)學(xué)思想與方法多方面去探究絕對(duì)值不等式的解法。筆者希望通過(guò)此文拋磚引玉，能引起廣大師生對(duì)絕對(duì)值不等式解法的關(guān)注與重視。（三）深入探究絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式稱為絕對(duì)值不等式。解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào)，化成普通的不等式，而其主要的依據(jù)是絕對(duì)值的幾何意義。含有絕對(duì)值的不等式有以下兩種基本的類型：第一種類型：設(shè)為正數(shù)，不等式的解集是，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于的點(diǎn)的集合，如圖1-1所示。圖1-1第二種類型：設(shè)為正數(shù)。不等式的解集是，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于的點(diǎn)的集合，如圖1-2所示。圖1-2如果給定的不等式符合以上基本類型，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。但實(shí)際考試中考查的不等式大多是變形后的一些絕對(duì)值不等式，高中階段的要求一般不超過(guò)帶兩個(gè)絕對(duì)值的不等式，筆者通過(guò)探究歸納出了變形后的幾種主要類型。探究一、和型不等式的解法問(wèn)題1、解下列不等式：（1）（2)解（1）方法1：直接用公式原不等式可化為：，解之得，所以原不等式的解集為。方法2：利用幾何意義原不等式可化為：，不等式的解即為數(shù)軸上到坐標(biāo)為的點(diǎn)的距離不超過(guò)的點(diǎn)的集合，由圖1-3可得不等式的解集為。圖1-3解（2）方法1：直接用公式原不等式可化為：，解之得，所以原不等式的解集為。方法2：利用幾何意義原不等式可化為：，不等式的解即為數(shù)軸上到坐標(biāo)為的點(diǎn)的距離大于的點(diǎn)的集合，由圖1-4可得不等式的解集為。圖1-4方法剖析：在和型不等式的解法中，方法一是直接利用公式求解，屬于通性通法；法二是利用絕對(duì)值的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想由圖象直接求解，此法非常適合快速解答選擇題與填空題。變式探究：解不等式解方法1：直接用公式原不等式可化為：，即，解之得，所以原不等式的解集為。方法2：函數(shù)與方程分別做出函數(shù)的圖象，不等式的解即為函數(shù)的圖象落在函數(shù)圖象下方部分時(shí)的的取值構(gòu)成的集合，只需通過(guò)方程組與分別解出函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、，如圖1-5所示，由圖可得不等式的解集為。圖1-5方法剖析：和型不等式可推廣到和型不等式，方法一仍然適用，關(guān)鍵是整體意識(shí)；方法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想，利用圖象直接求解。本題中由圖1-5也可以快速得出不等式的解集為。探究二、和型不等式的解法問(wèn)題2：(2014年高考廣東卷第9小題)不等式的解集是。解方法1：絕對(duì)值的幾何意義這是個(gè)含2個(gè)絕對(duì)值的比較復(fù)雜的不等式，從絕對(duì)值的幾何意義上來(lái)分析該不等式的解集就是數(shù)軸上到坐標(biāo)分別為的點(diǎn)的距離之和不小于的點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成的集合，如圖1-6所示，由圖可得不等式的解集為。圖1-6方法2：零點(diǎn)分割法當(dāng)時(shí)，原不等式可以化為，解得，即不等式組的解集是。當(dāng)時(shí)，原不等式可以化為，即，矛盾。所以不等式組的解集是。當(dāng)時(shí)，原不等式可以化為，解得，即不等式組的解集是。綜上所述，原不等式的解集是。方法3：構(gòu)造函數(shù)原不等式可化為，構(gòu)造函數(shù)，即作出函數(shù)圖象如圖1-7所示，由圖可得函數(shù)的零點(diǎn)是。由圖可知，當(dāng)時(shí)，有即，原不等式的解集是。方法剖析：圖1-7方法一利用了絕對(duì)值的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，優(yōu)點(diǎn)是直觀簡(jiǎn)潔，適合快速解答選擇、填空題。缺點(diǎn)是只適應(yīng)于兩絕對(duì)值中系數(shù)可化為1的和型不等式的解，如不等式，此法就不適用。方法二利用的解（零點(diǎn)），將數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間，然后在此三個(gè)區(qū)間上將原不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式而解之。體現(xiàn)了分類討論思想，屬于通性通法，適合絕對(duì)值不等式的普遍類型。方法三通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用圖象直觀求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想。此法不僅適合絕對(duì)值不等式的解，也可推廣到其余類型的不等式，屬于通性通法。探究三、帶參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題問(wèn)題3、（2014年高考湖南卷11）若不等式的解集為，則=．解：方法1：直接用公式原不等式可化為，即，當(dāng)時(shí)，可化為，所以，無(wú)解。當(dāng)時(shí)，顯然不合題意。當(dāng)時(shí)，可化為，所以，解之得。方法2：函數(shù)與方程思想不等式的解集為，所以為不等式對(duì)應(yīng)的方程的解，令，解之得。方法剖析：這是一個(gè)含參問(wèn)題，方法一利用公式直接求解，但需要分類討論。方法二利用函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系（不等式的解的端點(diǎn)為對(duì)應(yīng)方程的根），直接將解的端點(diǎn)代入方程求解，避免了分類討論，快速而簡(jiǎn)潔，特別適合選擇、填空題的快速解答。（四）教學(xué)反思筆者在該內(nèi)容的教學(xué)實(shí)踐中，通過(guò)課堂上引導(dǎo)學(xué)生對(duì)絕對(duì)值不等式的解法進(jìn)行深