圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想

圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想《圓錐曲線與方程》一章蘊(yùn)含了許多數(shù)學(xué)思想，同學(xué)們?cè)谡莆掌浠A(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，還應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想的提煉、總結(jié)．下面舉例介紹，以供同學(xué)們參考．一、函數(shù)與方程思想在解析幾何里，有不少問(wèn)題中某些元素處于運(yùn)動(dòng)變化之中，存在著相互聯(lián)系、相互制約的量，它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，從而可用函數(shù)的思想方法來(lái)解決；對(duì)于直線和曲線、曲線和曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，用方程的理論加以解決．例1直線和雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)和線段的中點(diǎn)，求直線在y軸上的截距b的取值范圍．解：由（）消去y，得，①∵直線m與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程①有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根．∴解得．設(shè)，則設(shè)與y軸交于，由三點(diǎn)共線，不難得出，．設(shè)，∴在上為減函數(shù)，且，∴或，∴或，即在y軸上的截距的取值范圍為．二、分類討論思想分類討論能使我們?nèi)婵紤]問(wèn)題，使解題過(guò)程縝密、嚴(yán)謹(jǐn)，分類討論要注意做到有根據(jù)、不重復(fù)、不遺漏．例2當(dāng)m變化時(shí)，討論方程表示曲線的形狀．解：（1）當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線：．（2）當(dāng)時(shí)，方程表示兩條平行于x軸的直線：．（3）當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓：．（4）當(dāng)時(shí)，方程表示圓：．（5）當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓：．（6）當(dāng)時(shí)，方程表示兩條平行于y軸的直線：．（7）當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線：．三、整體思想整體思想是指從問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，實(shí)施整體變形，整體運(yùn)算的思想．注意這種思想的靈活應(yīng)用，?？墒乖S多常規(guī)解法比較麻煩的問(wèn)題得到非常簡(jiǎn)潔合理的解決．例3已知橢圓，A、Ｂ是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的中垂線與x軸交于點(diǎn)，求證：．證明：設(shè)的中點(diǎn)為，則，，由，得，即AB的中垂線的斜率為．∴的中垂線方程為，令，得，∵，∴．解決圓錐曲線問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法彼此并不是孤立的，有時(shí)需將它們結(jié)合起來(lái)，