數(shù)字信號處理-第2章(00001)課件

第2章.連續(xù)時間信號的離散處理2.1、數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成

大多數(shù)數(shù)字信號處理的應用中，信號為來自不同模擬信號源，這些模擬信號(電壓或電流)通常為連續(xù)時間信號。

應用數(shù)字信號處理(DSP)主要有三個原因：1)濾波：濾除信號中來自周圍環(huán)境的干擾或噪聲；2)檢測：檢測淹沒在噪聲中的特定信號（如雷達或聲納系統(tǒng)中），當檢測到的信號超過給定的閾值則認為目標信號存在，反之認為不存在；3)壓縮：當信號轉(zhuǎn)換到另外一個域后，在變換域上更容易分辨信息的重要程度，對重要部分分配多的比特數(shù)，次要部分分配盡可能少的比特數(shù)，達到壓縮的目的(如DCT算法)。

在所有這些應用中將面臨一個相同的問題：如何將連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換成適合計算機或DSP處理器處理的數(shù)據(jù)？模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)實現(xiàn)。如何將計算機數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成適合模擬設(shè)備(如揚聲器)輸出連續(xù)時間信號？數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)實現(xiàn)。

通常，信號在采樣前需要前置去混濾波；信號在輸出前需要后置

重構(gòu)濾波，即圓滑輸出。

如聲卡：

聲卡包含了數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成:

上述系統(tǒng)中存在兩類信號：連續(xù)時間信號x(t)、y(t)；數(shù)字信號x(n)、y(n)。ADC不僅用于采樣，而且對采樣后的信號進行量化處理（每個采樣點的值用有限比特數(shù)表示，引入量化誤差）。

抽樣器

Ts

信號頻譜Ts周期性抽樣函數(shù)連續(xù)時間t

為周期函數(shù)，可用傅立葉級數(shù)表示：其中抽樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿頻率軸每間隔抽樣角頻率s重復出現(xiàn)一次。幅度為原來的1/Ts。如果信號是實帶限信號，且最高頻率不超過：則抽樣后序列的頻譜不會發(fā)生混疊(下圖黑色)。如果信號是實帶限信號，但最高頻率超過：則抽樣后序列的頻譜發(fā)生混疊！(下圖紅色)11/Ts例:抽樣不足導致的信號失真:在頻率域迭加,在空間域的失真。二、奈奎斯特抽樣頻率（Nyquistrate）

抽樣過程看似不可避免丟失了一些信息（如nTs<t<(n+1)Ts范圍）,是否可以根據(jù)抽樣后的離散時間序列恢復原始信號？奈奎斯特抽樣頻率：能夠再恢復出原始信號的最低抽樣頻率（使抽樣后的信號頻譜不發(fā)生混疊的最低抽樣頻率，即信號最高頻率的二倍）

滿足奈奎斯特抽樣頻率的抽樣信號可由理想低通濾波器恢復出原始信號。此后將推導這個過程。練習題：連續(xù)信號,已知x(t)的最高頻率為f0，的最低采樣頻率等于（A）則在不發(fā)生頻譜混疊的情況下連續(xù)信號練習題：已知頻帶寬度有限信號和的最高頻率分別為和，其中，則對信號進行無失真抽樣的最低抽樣頻率為（B）B.C. D.A.

△時域輸出：

由時域離散信號xa(nTs)恢復模擬信號的過程是抽樣點內(nèi)插的過程。理想低通濾波方法是用g(t)（sinc函數(shù)）作為內(nèi)插函數(shù)。但實際中是不可能得到理想低通濾波器的。（1）可采用有限項內(nèi)插逼近，如下式；（2）也可采用一階線性內(nèi)插函數(shù)做內(nèi)插；（3）更簡單的是下面介紹的零階保持器（ZOH），是實際中常常使用的內(nèi)插方法。缺點：需要無窮項才能恢復出原始信號內(nèi)插時用到2M+1個采樣點線性內(nèi)插零階保持內(nèi)插時用到一個采樣點內(nèi)插時用到兩個采樣點

例設(shè)xa(t)為下面的連續(xù)時間信號，信號的最高頻率為0.3Hz。圖a為抽樣頻率Fs=0.5Hz時,時間區(qū)間[-96，96]上獲得抽樣離散時間信號x(n){n=-96,-95,…,0,…,95,96},內(nèi)插后的信號在時間區(qū)間[-4,4]的顯示；（采樣頻率不足）圖b為抽樣頻率Fs=0.55Hz時,時間區(qū)間[-96，96]上獲得的抽樣離散時間信號x(n){n=-96,-95,…,0,…,95,96},內(nèi)插后的信號在時間區(qū)間[-4,4]的顯示；（采樣頻率不足）圖c為抽樣頻率Fs=0.6Hz時,時間區(qū)間[-96，96]上獲得抽樣離散時間信號x(n){n=-96,-95,…,0,…,95,96},內(nèi)插后的信號在時間區(qū)間[-4,4]的顯示；圖a和圖b情況：由于不滿足抽樣定理，頻域混疊導致不能準確恢復原始信號；圖c情況：滿足抽樣定理，能恢復原始信號。結(jié)論：只要滿足采樣定理，足夠多的有限采樣點內(nèi)插可足夠逼近原始信號！采樣率不足,導致頻域混疊,時域畸變時域:頻域:零階保持器為低通濾波器,與理想低通濾波器的頻率特性有較大區(qū)別:|Ω|>π/Ts區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時域上就是恢復出的模擬信號是臺階。因此，通常在DAC后需要加平滑低通濾波器濾除多余的高頻分量。零階保持器輸出的頻譜為零階保持器頻響H(jΩ)與相乘缺點：恢復出的模擬信號是臺階包含多余的高頻分量?？捎弥貥?gòu)（平滑）濾波器去除高頻分量，使輸出波形變得圓滑。練習題：判斷如下說法是否正確：零階保持器是非理想低通濾波器，對滿足奈奎斯特采樣定理的采樣信號不能不失真恢復出原始模擬信號，其原因是濾波結(jié)果含有帶外高頻分量。（Yes）

數(shù)字系統(tǒng)中通常有三種有限字長引起誤差的因素：A/D將模擬輸入信號xa(t)變?yōu)殡x散電平(數(shù)字信號x(n))時產(chǎn)生的量化效應系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)(ai，bi等)用有限位二進制數(shù)表示時產(chǎn)生的量化效應數(shù)字運算中，為限制結(jié)果數(shù)據(jù)位數(shù)而進行尾數(shù)處理以及為防止溢出而壓縮信號電平的有限字長效應二進制數(shù)的表示

定點表示：二進制小數(shù)點在數(shù)碼中的位置是固定不變的，小數(shù)點 緊跟隨在符號位后(符號位0，1分別表示正、負數(shù))，數(shù)的本身只 有小數(shù)部分，稱為“尾數(shù)”。原碼:一個(b+1)位碼,其中位符號位，如x=0.101

表示x=+0.625;x=1.101表示x=-0.625.反碼:正數(shù)的反碼與原碼表示一樣,負數(shù)的反碼是將尾數(shù)中1變0,0變1，如x=-0.625(1.101

原碼)，反碼則為x=1.010高位低位

定點制的量化誤差兩種量化方式：截尾和舍入。字長為(b+1)的寄存器，可表示的最小數(shù)q=2-b,如：0.0….01。因此，Vmax●

q=Vmax

●

2-b=Vmax

●

1/2b

稱為量化寬度或量化階，這里Vmax為目標信號的最大范圍。量化誤差E=[x]-x這里[x]表示x的量化值。b=3（1）截尾誤差：對于正數(shù)，原、反、補碼形式相同?？偸切∮诨虻扔诹?，當上式全為1時，最大誤差b1=∞，無限精度對于負數(shù)，三種碼表示形式不相同，誤差也不一樣。負數(shù)的原碼：負數(shù)的反碼：負數(shù)的補碼：補碼量化曲線原碼、反碼量化曲線（2）舍入誤差:對定點數(shù)x作舍入處理到b位，是通過尾數(shù)的b+1位上加1，然后截取到b位實現(xiàn)，舍入之后的量化間距：例如：b=2

x=0.0010[x]R=0.01x=0.1001[x]R=0.10對于原碼、反碼和補碼，誤差總是在之間。

ER=[x]R-x-q/2ERq/2。。。。。。舍入處理的量化曲線2、A/D變換的量化效應●ADC的量化效應：

ADC具有兩個功能。采樣：將模擬信號xa（t）轉(zhuǎn)換成離散序列；量化：將離散序列的每個采樣值轉(zhuǎn)換成b位二進制數(shù)字信號(尾數(shù))。量化過程將產(chǎn)生誤差！采樣器量化器（b位）A/D（采樣周期Ts或速率1/Ts,b位）無限精度有限精度采樣+e(n)等效量化

x(n)是一個序列，對整個量化過程應作統(tǒng)計分析，量化誤差e(n)可假定：

e(n)平穩(wěn)隨機序列

e(n)與x(n)不相關(guān)

e(n)是白噪聲（自身不相關(guān)）

e(n)均勻等概率1432由前面分析，截尾和舍入兩種量化方式對于補碼有：-q0ePT(e)1/q1/qPR(e)-q/20q/2補碼截尾q=2-b補碼舍入e假定：Vmax=1補碼截尾時均值：表示誤差的均值補碼舍入時：兩種量化方式誤差均值不同，方差一樣，字長b越大，q(=2-b)越小，量化噪聲越小。表示誤差的功率補碼截尾時方差：●ADC量化信噪比：信號功率（能量）與噪聲功率之比S/N，其dB表示為：例：x(n)在-1~+1之間均勻分布，且均值為0。A/D變換的SNR?類似舍入量化噪聲概率分布-11x(n)P

(x)1/q假定：Vmax=1在信號功率不變的情況下，字長增加一位，SNR提高自6dB在量化字長不變的情況下，（信號功率）越大，SNR越高12不同的信號其功率計算公式不同。當信號為正弦波時，如何計算其功率？幅度為A、周期為T的正弦波信號的功率為：3、量化噪聲通過線性移不變系統(tǒng)x(n)+e(n)H(z)或h(n)系統(tǒng)輸出端輸出噪聲若e(n)舍入噪聲，均值為零。q=2-b假定系統(tǒng)因果、穩(wěn)定如果e(n)白色（互不相關(guān)），則H（z）的全部極點在單位園內(nèi)，積分c為單位園上圍線積分。已知h(n)已知H(z)已知H(ejω)帕斯瓦爾定理（DTFT的性質(zhì)）例：設(shè)有一（b=7）A/D變換器，它的輸出經(jīng)下列傳遞函數(shù)的IIR濾波器

H（z）=z/(z-0.999)此輸出濾波器的量化噪聲功率：根據(jù)留數(shù)定理可得：量化噪聲在輸出端放大了很多倍，此時應盡可能減少ADC的量化噪聲。極點非?？拷鼏挝粓A。例：設(shè)有一A/D變換器，它的輸出經(jīng)下列系統(tǒng)函數(shù)的因果濾波器

H（z）=z/(z-0.8)此濾波器的沖激響應為量化噪聲功率：量化噪聲在輸出端只有輸入端的2.78倍。極點離單位圓距離不同，對輸入噪聲的放大也不同例：若低通濾波器的帶寬為π/10且幅度為1，則可得輸出端量化噪聲功率只為輸入端的10%。4、A/D變換的采樣頻率與量化比特數(shù)的關(guān)系假定所需要數(shù)字化的信號為x(t)，其帶寬為FB。若采樣頻率Fs>2FB，用帶寬為ωB=2π(FB/Fs)的數(shù)字濾波器對采樣后的信號進行濾波，該濾波器能衰減量化噪聲。滿足耐奎斯特采樣定理ωB=2π(FB/Fs)假若采樣頻率Fs>2FB，則輸出方差變小了，。那么其方差可由比特數(shù)b表示為式中取決于噪聲的概率密度分布。假定采樣頻率分別為Fs1和Fs2，量化比特數(shù)分別為b1和b2，若要求得到的輸出量化噪聲相同，則由上式得到采樣頻率分別為Fs1和Fs2和量化比特數(shù)分別為b1

和b2的關(guān)系為若Fs1<Fs2，則b1>b2。例：一帶寬為FB=4KHz的信號，采樣頻率分別為Fs1=8KHz，且采樣比特數(shù)為b1=16比特。若采樣頻率Fs2=16Fs1=128KHz，則量化比特數(shù)b2=14比特。

結(jié)論:如果加大采樣頻率(即增加每秒內(nèi)采樣的點數(shù))，則可以降低采樣精度(每個采樣點用較少的比特表示)而不失數(shù)據(jù)的準確性(輸出的量化噪聲功率不變)。2.4、基于預測的采樣法：△和∑-△調(diào)制

上面介紹了信號數(shù)字化通常的方法，是否還存在其他高效的數(shù)字化方法？預測方法。

除白噪聲外，信號相鄰的兩個采樣x(n)和x(n-1)并不完全獨立。每個采樣點可表示為兩部分之和這里，表示基于n以前采樣值對x(n)的預測值，w(n)表示預測值與真實值之間的誤差（也稱作殘差）。

預測器的形式取決于信號的統(tǒng)計特性。假定希望得到的預測器形式簡單且需數(shù)字化的信號是慢變化的（相鄰兩個采樣間變化不大），則對x(n)最簡單的預測僅取決于x(n-1)，即將其代入預測式，則結(jié)合上述兩個等式，可得殘差w(n)與預測器的z變換表達式因此，有同時有預測預測值與預測誤差1.△調(diào)制

△調(diào)制中，誤差部分w(n)被量化為wq(n)，如下圖所示。x(n)按下式由誤差和信號間的關(guān)系重構(gòu)：即采樣離散時間積分器。但在實際中，采用積分器來重構(gòu)信號的方案并不可行，因為積分器在單位圓上z=-1處有一個極點，使得系統(tǒng)不滿足BIBO穩(wěn)定性。2.∑-△調(diào)制若量化預測值，量化后的結(jié)果為，如下圖所示。信號的重構(gòu)采用低通濾波器來實現(xiàn)，該濾波器必須能夠讓所有的信號頻率成分通過，該濾波器帶寬2πFB/Fs，其中Fs為采樣頻率。該方法對量化噪聲有很好的抑制作用，即便在僅使用1比特量化器情況下也能獲得不錯的性能。當量化器僅有1比特精度時，假設(shè)輸出信號為x(n)的最大或最小值。不失一般性，假設(shè)