數(shù)字信號(hào)處理-第2章(00001)課件

第2章.連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散處理2.1、數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的基本組成

大多數(shù)數(shù)字信號(hào)處理的應(yīng)用中，信號(hào)為來自不同模擬信號(hào)源，這些模擬信號(hào)(電壓或電流)通常為連續(xù)時(shí)間信號(hào)。

應(yīng)用數(shù)字信號(hào)處理(DSP)主要有三個(gè)原因：1)濾波：濾除信號(hào)中來自周圍環(huán)境的干擾或噪聲；2)檢測(cè)：檢測(cè)淹沒在噪聲中的特定信號(hào)（如雷達(dá)或聲納系統(tǒng)中），當(dāng)檢測(cè)到的信號(hào)超過給定的閾值則認(rèn)為目標(biāo)信號(hào)存在，反之認(rèn)為不存在；3)壓縮：當(dāng)信號(hào)轉(zhuǎn)換到另外一個(gè)域后，在變換域上更容易分辨信息的重要程度，對(duì)重要部分分配多的比特?cái)?shù)，次要部分分配盡可能少的比特?cái)?shù)，達(dá)到壓縮的目的(如DCT算法)。

在所有這些應(yīng)用中將面臨一個(gè)相同的問題：如何將連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換成適合計(jì)算機(jī)或DSP處理器處理的數(shù)據(jù)？模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)實(shí)現(xiàn)。如何將計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成適合模擬設(shè)備(如揚(yáng)聲器)輸出連續(xù)時(shí)間信號(hào)？數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)實(shí)現(xiàn)。

通常，信號(hào)在采樣前需要前置去混濾波；信號(hào)在輸出前需要后置

重構(gòu)濾波，即圓滑輸出。

如聲卡：

聲卡包含了數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的基本組成:

上述系統(tǒng)中存在兩類信號(hào)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)、y(t)；數(shù)字信號(hào)x(n)、y(n)。ADC不僅用于采樣，而且對(duì)采樣后的信號(hào)進(jìn)行量化處理（每個(gè)采樣點(diǎn)的值用有限比特?cái)?shù)表示，引入量化誤差）。

抽樣器

Ts

信號(hào)頻譜Ts周期性抽樣函數(shù)連續(xù)時(shí)間t

為周期函數(shù)，可用傅立葉級(jí)數(shù)表示：其中抽樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜沿頻率軸每間隔抽樣角頻率s重復(fù)出現(xiàn)一次。幅度為原來的1/Ts。如果信號(hào)是實(shí)帶限信號(hào)，且最高頻率不超過：則抽樣后序列的頻譜不會(huì)發(fā)生混疊(下圖黑色)。如果信號(hào)是實(shí)帶限信號(hào)，但最高頻率超過：則抽樣后序列的頻譜發(fā)生混疊！(下圖紅色)11/Ts例:抽樣不足導(dǎo)致的信號(hào)失真:在頻率域迭加,在空間域的失真。二、奈奎斯特抽樣頻率（Nyquistrate）

抽樣過程看似不可避免丟失了一些信息（如nTs<t<(n+1)Ts范圍）,是否可以根據(jù)抽樣后的離散時(shí)間序列恢復(fù)原始信號(hào)？奈奎斯特抽樣頻率：能夠再恢復(fù)出原始信號(hào)的最低抽樣頻率（使抽樣后的信號(hào)頻譜不發(fā)生混疊的最低抽樣頻率，即信號(hào)最高頻率的二倍）

滿足奈奎斯特抽樣頻率的抽樣信號(hào)可由理想低通濾波器恢復(fù)出原始信號(hào)。此后將推導(dǎo)這個(gè)過程。練習(xí)題：連續(xù)信號(hào),已知x(t)的最高頻率為f0，的最低采樣頻率等于（A）則在不發(fā)生頻譜混疊的情況下連續(xù)信號(hào)練習(xí)題：已知頻帶寬度有限信號(hào)和的最高頻率分別為和，其中，則對(duì)信號(hào)進(jìn)行無失真抽樣的最低抽樣頻率為（B）B.C. D.A.

△時(shí)域輸出：

由時(shí)域離散信號(hào)xa(nTs)恢復(fù)模擬信號(hào)的過程是抽樣點(diǎn)內(nèi)插的過程。理想低通濾波方法是用g(t)（sinc函數(shù)）作為內(nèi)插函數(shù)。但實(shí)際中是不可能得到理想低通濾波器的。（1）可采用有限項(xiàng)內(nèi)插逼近，如下式；（2）也可采用一階線性內(nèi)插函數(shù)做內(nèi)插；（3）更簡(jiǎn)單的是下面介紹的零階保持器（ZOH），是實(shí)際中常常使用的內(nèi)插方法。缺點(diǎn)：需要無窮項(xiàng)才能恢復(fù)出原始信號(hào)內(nèi)插時(shí)用到2M+1個(gè)采樣點(diǎn)線性內(nèi)插零階保持內(nèi)插時(shí)用到一個(gè)采樣點(diǎn)內(nèi)插時(shí)用到兩個(gè)采樣點(diǎn)

例設(shè)xa(t)為下面的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，信號(hào)的最高頻率為0.3Hz。圖a為抽樣頻率Fs=0.5Hz時(shí),時(shí)間區(qū)間[-96，96]上獲得抽樣離散時(shí)間信號(hào)x(n){n=-96,-95,…,0,…,95,96},內(nèi)插后的信號(hào)在時(shí)間區(qū)間[-4,4]的顯示；（采樣頻率不足）圖b為抽樣頻率Fs=0.55Hz時(shí),時(shí)間區(qū)間[-96，96]上獲得的抽樣離散時(shí)間信號(hào)x(n){n=-96,-95,…,0,…,95,96},內(nèi)插后的信號(hào)在時(shí)間區(qū)間[-4,4]的顯示；（采樣頻率不足）圖c為抽樣頻率Fs=0.6Hz時(shí),時(shí)間區(qū)間[-96，96]上獲得抽樣離散時(shí)間信號(hào)x(n){n=-96,-95,…,0,…,95,96},內(nèi)插后的信號(hào)在時(shí)間區(qū)間[-4,4]的顯示；圖a和圖b情況：由于不滿足抽樣定理，頻域混疊導(dǎo)致不能準(zhǔn)確恢復(fù)原始信號(hào)；圖c情況：滿足抽樣定理，能恢復(fù)原始信號(hào)。結(jié)論：只要滿足采樣定理，足夠多的有限采樣點(diǎn)內(nèi)插可足夠逼近原始信號(hào)！采樣率不足,導(dǎo)致頻域混疊,時(shí)域畸變時(shí)域:頻域:零階保持器為低通濾波器,與理想低通濾波器的頻率特性有較大區(qū)別:|Ω|>π/Ts區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時(shí)域上就是恢復(fù)出的模擬信號(hào)是臺(tái)階。因此，通常在DAC后需要加平滑低通濾波器濾除多余的高頻分量。零階保持器輸出的頻譜為零階保持器頻響H(jΩ)與相乘缺點(diǎn)：恢復(fù)出的模擬信號(hào)是臺(tái)階包含多余的高頻分量。可用重構(gòu)（平滑）濾波器去除高頻分量，使輸出波形變得圓滑。練習(xí)題：判斷如下說法是否正確：零階保持器是非理想低通濾波器，對(duì)滿足奈奎斯特采樣定理的采樣信號(hào)不能不失真恢復(fù)出原始模擬信號(hào)，其原因是濾波結(jié)果含有帶外高頻分量。（Yes）

數(shù)字系統(tǒng)中通常有三種有限字長(zhǎng)引起誤差的因素：A/D將模擬輸入信號(hào)xa(t)變?yōu)殡x散電平(數(shù)字信號(hào)x(n))時(shí)產(chǎn)生的量化效應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)(ai，bi等)用有限位二進(jìn)制數(shù)表示時(shí)產(chǎn)生的量化效應(yīng)數(shù)字運(yùn)算中，為限制結(jié)果數(shù)據(jù)位數(shù)而進(jìn)行尾數(shù)處理以及為防止溢出而壓縮信號(hào)電平的有限字長(zhǎng)效應(yīng)二進(jìn)制數(shù)的表示

定點(diǎn)表示：二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)在數(shù)碼中的位置是固定不變的，小數(shù)點(diǎn) 緊跟隨在符號(hào)位后(符號(hào)位0，1分別表示正、負(fù)數(shù))，數(shù)的本身只 有小數(shù)部分，稱為“尾數(shù)”。原碼:一個(gè)(b+1)位碼,其中位符號(hào)位，如x=0.101

表示x=+0.625;x=1.101表示x=-0.625.反碼:正數(shù)的反碼與原碼表示一樣,負(fù)數(shù)的反碼是將尾數(shù)中1變0,0變1，如x=-0.625(1.101

原碼)，反碼則為x=1.010高位低位

定點(diǎn)制的量化誤差兩種量化方式：截尾和舍入。字長(zhǎng)為(b+1)的寄存器，可表示的最小數(shù)q=2-b,如：0.0….01。因此，Vmax●

q=Vmax

●

2-b=Vmax

●

1/2b

稱為量化寬度或量化階，這里Vmax為目標(biāo)信號(hào)的最大范圍。量化誤差E=[x]-x這里[x]表示x的量化值。b=3（1）截尾誤差：對(duì)于正數(shù)，原、反、補(bǔ)碼形式相同?？偸切∮诨虻扔诹悖?dāng)上式全為1時(shí)，最大誤差b1=∞，無限精度對(duì)于負(fù)數(shù)，三種碼表示形式不相同，誤差也不一樣。負(fù)數(shù)的原碼：負(fù)數(shù)的反碼：負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼：補(bǔ)碼量化曲線原碼、反碼量化曲線（2）舍入誤差:對(duì)定點(diǎn)數(shù)x作舍入處理到b位，是通過尾數(shù)的b+1位上加1，然后截取到b位實(shí)現(xiàn)，舍入之后的量化間距：例如：b=2

x=0.0010[x]R=0.01x=0.1001[x]R=0.10對(duì)于原碼、反碼和補(bǔ)碼，誤差總是在之間。

ER=[x]R-x-q/2ERq/2。。。。。。舍入處理的量化曲線2、A/D變換的量化效應(yīng)●ADC的量化效應(yīng)：

ADC具有兩個(gè)功能。采樣：將模擬信號(hào)xa（t）轉(zhuǎn)換成離散序列；量化：將離散序列的每個(gè)采樣值轉(zhuǎn)換成b位二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)(尾數(shù))。量化過程將產(chǎn)生誤差！采樣器量化器（b位）A/D（采樣周期Ts或速率1/Ts,b位）無限精度有限精度采樣+e(n)等效量化

x(n)是一個(gè)序列，對(duì)整個(gè)量化過程應(yīng)作統(tǒng)計(jì)分析，量化誤差e(n)可假定：

e(n)平穩(wěn)隨機(jī)序列

e(n)與x(n)不相關(guān)

e(n)是白噪聲（自身不相關(guān)）

e(n)均勻等概率1432由前面分析，截尾和舍入兩種量化方式對(duì)于補(bǔ)碼有：-q0ePT(e)1/q1/qPR(e)-q/20q/2補(bǔ)碼截尾q=2-b補(bǔ)碼舍入e假定：Vmax=1補(bǔ)碼截尾時(shí)均值：表示誤差的均值補(bǔ)碼舍入時(shí)：兩種量化方式誤差均值不同，方差一樣，字長(zhǎng)b越大，q(=2-b)越小，量化噪聲越小。表示誤差的功率補(bǔ)碼截尾時(shí)方差：●ADC量化信噪比：信號(hào)功率（能量）與噪聲功率之比S/N，其dB表示為：例：x(n)在-1~+1之間均勻分布，且均值為0。A/D變換的SNR?類似舍入量化噪聲概率分布-11x(n)P

(x)1/q假定：Vmax=1在信號(hào)功率不變的情況下，字長(zhǎng)增加一位，SNR提高自6dB在量化字長(zhǎng)不變的情況下，（信號(hào)功率）越大，SNR越高12不同的信號(hào)其功率計(jì)算公式不同。當(dāng)信號(hào)為正弦波時(shí)，如何計(jì)算其功率？幅度為A、周期為T的正弦波信號(hào)的功率為：3、量化噪聲通過線性移不變系統(tǒng)x(n)+e(n)H(z)或h(n)系統(tǒng)輸出端輸出噪聲若e(n)舍入噪聲，均值為零。q=2-b假定系統(tǒng)因果、穩(wěn)定如果e(n)白色（互不相關(guān)），則H（z）的全部極點(diǎn)在單位園內(nèi)，積分c為單位園上圍線積分。已知h(n)已知H(z)已知H(ejω)帕斯瓦爾定理（DTFT的性質(zhì)）例：設(shè)有一（b=7）A/D變換器，它的輸出經(jīng)下列傳遞函數(shù)的IIR濾波器

H（z）=z/(z-0.999)此輸出濾波器的量化噪聲功率：根據(jù)留數(shù)定理可得：量化噪聲在輸出端放大了很多倍，此時(shí)應(yīng)盡可能減少ADC的量化噪聲。極點(diǎn)非?？拷鼏挝粓A。例：設(shè)有一A/D變換器，它的輸出經(jīng)下列系統(tǒng)函數(shù)的因果濾波器

H（z）=z/(z-0.8)此濾波器的沖激響應(yīng)為量化噪聲功率：量化噪聲在輸出端只有輸入端的2.78倍。極點(diǎn)離單位圓距離不同，對(duì)輸入噪聲的放大也不同例：若低通濾波器的帶寬為π/10且幅度為1，則可得輸出端量化噪聲功率只為輸入端的10%。4、A/D變換的采樣頻率與量化比特?cái)?shù)的關(guān)系假定所需要數(shù)字化的信號(hào)為x(t)，其帶寬為FB。若采樣頻率Fs>2FB，用帶寬為ωB=2π(FB/Fs)的數(shù)字濾波器對(duì)采樣后的信號(hào)進(jìn)行濾波，該濾波器能衰減量化噪聲。滿足耐奎斯特采樣定理ωB=2π(FB/Fs)假若采樣頻率Fs>2FB，則輸出方差變小了，。那么其方差可由比特?cái)?shù)b表示為式中取決于噪聲的概率密度分布。假定采樣頻率分別為Fs1和Fs2，量化比特?cái)?shù)分別為b1和b2，若要求得到的輸出量化噪聲相同，則由上式得到采樣頻率分別為Fs1和Fs2和量化比特?cái)?shù)分別為b1

和b2的關(guān)系為若Fs1<Fs2，則b1>b2。例：一帶寬為FB=4KHz的信號(hào)，采樣頻率分別為Fs1=8KHz，且采樣比特?cái)?shù)為b1=16比特。若采樣頻率Fs2=16Fs1=128KHz，則量化比特?cái)?shù)b2=14比特。

結(jié)論:如果加大采樣頻率(即增加每秒內(nèi)采樣的點(diǎn)數(shù))，則可以降低采樣精度(每個(gè)采樣點(diǎn)用較少的比特表示)而不失數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性(輸出的量化噪聲功率不變)。2.4、基于預(yù)測(cè)的采樣法：△和∑-△調(diào)制

上面介紹了信號(hào)數(shù)字化通常的方法，是否還存在其他高效的數(shù)字化方法？預(yù)測(cè)方法。

除白噪聲外，信號(hào)相鄰的兩個(gè)采樣x(n)和x(n-1)并不完全獨(dú)立。每個(gè)采樣點(diǎn)可表示為兩部分之和這里，表示基于n以前采樣值對(duì)x(n)的預(yù)測(cè)值，w(n)表示預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的誤差（也稱作殘差）。

預(yù)測(cè)器的形式取決于信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性。假定希望得到的預(yù)測(cè)器形式簡(jiǎn)單且需數(shù)字化的信號(hào)是慢變化的（相鄰兩個(gè)采樣間變化不大），則對(duì)x(n)最簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)僅取決于x(n-1)，即將其代入預(yù)測(cè)式，則結(jié)合上述兩個(gè)等式，可得殘差w(n)與預(yù)測(cè)器的z變換表達(dá)式因此，有同時(shí)有預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)值與預(yù)測(cè)誤差1.△調(diào)制

△調(diào)制中，誤差部分w(n)被量化為wq(n)，如下圖所示。x(n)按下式由誤差和信號(hào)間的關(guān)系重構(gòu)：即采樣離散時(shí)間積分器。但在實(shí)際中，采用積分器來重構(gòu)信號(hào)的方案并不可行，因?yàn)榉e分器在單位圓上z=-1處有一個(gè)極點(diǎn)，使得系統(tǒng)不滿足BIBO穩(wěn)定性。2.∑-△調(diào)制若量化預(yù)測(cè)值，量化后的結(jié)果為，如下圖所示。信號(hào)的重構(gòu)采用低通濾波器來實(shí)現(xiàn)，該濾波器必須能夠讓所有的信號(hào)頻率成分通過，該濾波器帶寬2πFB/Fs，其中Fs為采樣頻率。該方法對(duì)量化噪聲有很好的抑制作用，即便在僅使用1比特量化器情況下也能獲得不錯(cuò)的性能。當(dāng)量化器僅有1比特精度時(shí)，假設(shè)輸出信號(hào)為x(n)的最大或最小值。不失一般性，假設(shè)