高等數(shù)學全套課件(同濟五版)第三章 習題課_第1頁
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文檔簡介

習題課洛必達法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點,函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導數(shù)的應用一、主要內(nèi)容1、羅爾中值定理2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理4、洛必達法則關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型.注意：洛必達法則的使用條件.5、泰勒中值定理常用函數(shù)的麥克勞林公式Fermat定理中值定理揭示了導數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，是導數(shù)應用的理論基礎，是利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的有效工具。是溝通導數(shù)的局部性質(zhì)與函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)的重要橋梁。6、導數(shù)的應用(1)函數(shù)單調(diào)性的判定法(2)函數(shù)的極值及其求法極值必要條件、第一、第二充分條件求極值的步驟:(3)最大值、最小值問題(4)曲線的凹凸與拐點(5)函數(shù)圖形的描繪(6)弧微分曲率曲率圓例1解二、典型例題這就驗證了命題的正確性.例2Darboux定理:證首先假定不妨設如右圖所示oyxab由假設知由右方鄰近，有由左側(cè)鄰近，有由Fermat

定理,得其次，取介于之間的任意數(shù)

C為明確起見，不妨設引進輔助函數(shù)由上述已證知例3證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一實根[分析]如令則的符號不易判別不便使用介值定理用Rolle定理來證證令則且故由Rolle定理知即在(0,1)內(nèi)有一實根例4證滿足Rolle定理的條件例5解例6解例7例8證由介值定理,（1）（2）注意到由（1）,（2）有（3）（4）（3）+（4）,得例9問方程有幾個實根解同時也是最大值分三種情況討論①由于方程有兩個實根，分別位于②方程僅有一個實根，即③方程無實根①②③例10證（1）（2）（1）–（2）,則有例11解若兩曲線滿足題設條件,必在該點處具有相同的一階導數(shù)和二階導數(shù),于是有解此方程組得故所求作拋物線的方程為曲率圓的方程為兩曲線在點處的曲率圓的圓心為例12解奇函數(shù)列表如下:極大值拐點極小值作圖例13Rolle定理的推廣形式①證由Rolle定理知②證一則由題設知故由①知而證二若則結(jié)論顯然成立下設不妨設有必存在最大值M即故由Fermat

定理知③證一類似于②證一，作變換證二作變換證三若則結(jié)論顯然成立下設不妨設有必存在最小值m即故由Fermat定理知④證明與③類似例14證不妨設由Lagrange定理，有得注這個結(jié)論其實就是Jensen不等式(n=2的情況)其幾何意

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