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文檔簡(jiǎn)介
習(xí)題五解答
1、用矩形公式、梯形公式、拋物線公式計(jì)算下列積分,并比較結(jié)果。
(1),(2)
(3),(4)
1*、用矩形公式、梯形公式、拋物線公式計(jì)算下列積分,并比較結(jié)果。
(1)
解:解:將區(qū)間[0,1]4等分,5個(gè)分點(diǎn)上的被積函數(shù)值列表如下(取2位小
數(shù))
x00.250.50.751
y00.060.120.160.20
⑴矩形法。
用矩形法公式計(jì)算(取2位小數(shù))
或者
(2)梯形法
用梯形法公式計(jì)算(取2位小數(shù)):
⑶拋物線法
用拋物線法公式計(jì)算(取2位小數(shù)):
2、用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分,由此計(jì)算In2(注:),精度要求為。
解:,
要求精度為,即誤差不超過(guò)。
將積分區(qū)間[4,8]n等份,則步長(zhǎng)
在本題中,復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)為
注意到
所以在[4,8]區(qū)間上,
則,
要使,需有。
3、用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分,問(wèn)將積分區(qū)間[a,b]分成多少等份,才能保證誤
差不超過(guò)e(不計(jì)舍入誤差)?
解:對(duì)于復(fù)合梯形公式來(lái)說(shuō),如果在積分區(qū)間上連續(xù),則其余項(xiàng)為
設(shè),
則
令,
得
即當(dāng)時(shí),能保證計(jì)算的精度要求。
4、已知飛機(jī)在高度H的上升速度v(H)如下:
H(km)0246810
v(km/s)50.046.040.032.222.510.0
求從地面(H=0km)上升到H=10km高空所需要的時(shí)間。(分別用復(fù)合梯形公式與
高階牛頓一柯特斯公式)
指出:
求給定函數(shù)的數(shù)值積分套用公式即可但須注意給出的數(shù)據(jù)表不是要求積分的函
數(shù)表,要求積分的函數(shù)表為
H(km)0246810
V(km/s)50.046.040.032.222.510.0
1/v
5、用龍貝格方法計(jì)算下列積分,要求誤差不超過(guò)10—5。
(1)(2)
解:(1)依次應(yīng)用龍貝格積分的四個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算:
計(jì)算結(jié)果列表如下:
00.7717433
10.72806990.7135121
20.71698280.71328700.7132720
30.71420020.71327260.71327170.7132717
所以。
6、分別用下列方法計(jì)算積分,并比較計(jì)算結(jié)果的精度(1=1.098612……):
⑴復(fù)合梯形法5=16);
⑵復(fù)合拋物線法(n=8);
⑶龍貝格方法,求至;
(4)三點(diǎn)高斯一勒讓德公式。
指出:
①直接套公式計(jì)算。
②計(jì)算結(jié)果的精度比較,通過(guò)各計(jì)算解和精確解比較,求出相應(yīng)的誤差,再比
較誤差大小的方法進(jìn)行。
③三點(diǎn)高斯一勒讓德公式為
當(dāng)積分區(qū)間不是[-1,1]而是[a,b]時(shí),為應(yīng)用高斯一勒讓德公式,需要作
變量代換,將[a,b]化為[-1,1]。
石瑞民《數(shù)值計(jì)算》中沒(méi)有給出三點(diǎn)高斯一勒讓德公式,但給出了3、4、5點(diǎn)
公式系數(shù)表。
7、試確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出
的求積公式具有的代數(shù)精度:
(1);
(2);
(3);
(4)。
解:(1)求積公式中有三個(gè)待定系數(shù),故令求積公式對(duì)f(x)=1,x,x2精確成
立,即
解之得,
所以,數(shù)值求積公式為,
而,
所以上述積分公式具有3次代數(shù)精度(實(shí)際上這是拋物線公式)。
(2)求積公式中有三個(gè)待定系數(shù),故令求積公式對(duì)f(x)=1,x,x2精確成立,
即
解之得,
所以,數(shù)值求積公式為,
而,
所以上述積分公式具有3次代數(shù)精度。
指出:
由于本題的節(jié)點(diǎn)實(shí)際上僅分布在半個(gè)積分區(qū)間,因此積分精度低。
⑶求積公式中有2個(gè)待定參數(shù),需要列兩個(gè)方程組成的方程組。
當(dāng)f(x)=1時(shí),有
因此需令求積公式對(duì)f(x)=x,x2精確成立,即
化簡(jiǎn)得
解之得
或
所以,數(shù)值求積公式為
或
對(duì)第一個(gè)積分公式,
當(dāng)時(shí),
所以上述積分公式具有2次代數(shù)精度。
指出:
求出的是兩個(gè)積分公式,不能認(rèn)定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)有大小順序規(guī)定而只取一個(gè),實(shí)際
上僅僅是兩個(gè)點(diǎn)必須是按求出的成對(duì)。
(4)求積公式中僅含有一個(gè)待定參數(shù)Co
令f(x)=1,有
令f(x)=x,有
令時(shí)公式準(zhǔn)確成立,則
則求積公式為
將代入求積公式,有
所以,求積公式具有2次代數(shù)精度。
指出:
可否認(rèn)為,或是否有必要認(rèn)為a和b是未知待定的?
8、試構(gòu)造高斯型求積公式,使之對(duì)于均能成立。
解:求積公式中有4個(gè)待定的未知數(shù),故令求積公式對(duì)f(x)=1,x,x2,x3精
確成立,即
從前兩式從解出(用矩陣方程形式)有
對(duì)后兩式有
故有
化簡(jiǎn)得
令
則上述方程組化為
解之得,
于是有
故所求的積分公式為
指出:
①注意方程組的解法。
②,與相對(duì)應(yīng)(由前兩個(gè)方程決定)。
③方程組中是一次的,而且前兩個(gè)方程中也是0次、1次的,因此從前兩個(gè)
方程中解出(用表示)代入后兩個(gè)方程中求就是比較容易想到的方法。而用
矩陣格式簡(jiǎn)化計(jì)算,用變量代換簡(jiǎn)化方程則是數(shù)學(xué)的技巧。
9、利用下表求x=0.6處的一階導(dǎo)數(shù)。
x0.40.50.60.70.8
f(x)1.58364941.79
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