數(shù)值計算課后習題五答案

習題五解答

1、用矩形公式、梯形公式、拋物線公式計算下列積分，并比較結果。

(1),(2)

(3),(4)

1*、用矩形公式、梯形公式、拋物線公式計算下列積分，并比較結果。

(1)

解：解：將區(qū)間[0,1]4等分，5個分點上的被積函數(shù)值列表如下(取2位小

數(shù))

x00.250.50.751

y00.060.120.160.20

⑴矩形法。

用矩形法公式計算(取2位小數(shù))

或者

(2)梯形法

用梯形法公式計算(取2位小數(shù))：

⑶拋物線法

用拋物線法公式計算(取2位小數(shù))：

2、用復化梯形公式計算積分，由此計算In2(注：)，精度要求為。

解：，

要求精度為，即誤差不超過。

將積分區(qū)間［4,8］n等份，則步長

在本題中，復化梯形公式的余項為

注意到

所以在［4,8］區(qū)間上，

則，

要使，需有。

3、用復合梯形公式計算積分，問將積分區(qū)間［a,b］分成多少等份，才能保證誤

差不超過e(不計舍入誤差)？

解：對于復合梯形公式來說，如果在積分區(qū)間上連續(xù)，則其余項為

設，

則

令，

得

即當時，能保證計算的精度要求。

4、已知飛機在高度H的上升速度v(H)如下：

H(km)0246810

v(km/s)50.046.040.032.222.510.0

求從地面(H=0km)上升到H=10km高空所需要的時間。(分別用復合梯形公式與

高階牛頓一柯特斯公式)

指出：

求給定函數(shù)的數(shù)值積分套用公式即可但須注意給出的數(shù)據(jù)表不是要求積分的函

數(shù)表，要求積分的函數(shù)表為

H(km)0246810

V(km/s)50.046.040.032.222.510.0

1/v

5、用龍貝格方法計算下列積分，要求誤差不超過10—5。

(1)(2)

解：(1)依次應用龍貝格積分的四個公式進行計算：

計算結果列表如下:

00.7717433

10.72806990.7135121

20.71698280.71328700.7132720

30.71420020.71327260.71327170.7132717

所以。

6、分別用下列方法計算積分,并比較計算結果的精度(1=1.098612……)：

⑴復合梯形法5=16)；

⑵復合拋物線法(n=8)；

⑶龍貝格方法，求至；

(4)三點高斯一勒讓德公式。

指出：

①直接套公式計算。

②計算結果的精度比較，通過各計算解和精確解比較，求出相應的誤差，再比

較誤差大小的方法進行。

③三點高斯一勒讓德公式為

當積分區(qū)間不是［-1,1］而是［a,b］時，為應用高斯一勒讓德公式，需要作

變量代換，將［a,b］化為［-1,1］。

石瑞民《數(shù)值計算》中沒有給出三點高斯一勒讓德公式，但給出了3、4、5點

公式系數(shù)表。

7、試確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構造出

的求積公式具有的代數(shù)精度：

(1);

(2)；

(3)；

(4)。

解：(1)求積公式中有三個待定系數(shù)，故令求積公式對f(x)=1,x,x2精確成

立,即

解之得，

所以，數(shù)值求積公式為，

而，

所以上述積分公式具有3次代數(shù)精度(實際上這是拋物線公式)。

(2)求積公式中有三個待定系數(shù)，故令求積公式對f(x)=1,x,x2精確成立，

即

解之得，

所以，數(shù)值求積公式為，

而，

所以上述積分公式具有3次代數(shù)精度。

指出：

由于本題的節(jié)點實際上僅分布在半個積分區(qū)間，因此積分精度低。

⑶求積公式中有2個待定參數(shù)，需要列兩個方程組成的方程組。

當f(x)=1時，有

因此需令求積公式對f(x)=x,x2精確成立，即

化簡得

解之得

或

所以，數(shù)值求積公式為

或

對第一個積分公式，

當時，

所以上述積分公式具有2次代數(shù)精度。

指出：

求出的是兩個積分公式，不能認定兩個節(jié)點有大小順序規(guī)定而只取一個，實際

上僅僅是兩個點必須是按求出的成對。

(4)求積公式中僅含有一個待定參數(shù)Co

令f(x)=1,有

令f(x)=x,有

令時公式準確成立，則

則求積公式為

將代入求積公式，有

所以，求積公式具有2次代數(shù)精度。

指出：

可否認為，或是否有必要認為a和b是未知待定的？

8、試構造高斯型求積公式，使之對于均能成立。

解：求積公式中有4個待定的未知數(shù)，故令求積公式對f(x)=1,x,x2,x3精

確成立，即

從前兩式從解出(用矩陣方程形式)有

對后兩式有

故有

化簡得

令

則上述方程組化為

解之得，

于是有

故所求的積分公式為

指出：

①注意方程組的解法。

②，與相對應（由前兩個方程決定）。

③方程組中是一次的，而且前兩個方程中也是0次、1次的，因此從前兩個

方程中解出（用表示）代入后兩個方程中求就是比較容易想到的方法。而用

矩陣格式簡化計算，用變量代換簡化方程則是數(shù)學的技巧。

9、利用下表求x=0.6處的一階導數(shù)。

x0.40.50.60.70.8

f（x）1.58364941.79