建筑結(jié)構(gòu)抗震原理多自由度體系地震反應(yīng)

工程抗震原理

PrinciplesofSeismicEngineering土木工程專業(yè)本科專業(yè)課

主要內(nèi)容工程結(jié)構(gòu)抗震原理2/322第一章工程抗震基礎(chǔ)知識(shí)第二章場(chǎng)地與地基基礎(chǔ)抗震原理第三章建筑結(jié)構(gòu)抗震原理第六章橋梁結(jié)構(gòu)抗震原理第七章工程結(jié)構(gòu)減震控制原理第三章建筑結(jié)構(gòu)抗震原理§1概述§2單自由度體系地震反應(yīng)分析§3單自由度體系水平地震作用§4多自由度體系地震反應(yīng)分析§5地震分析振型分解反應(yīng)譜法§6水平地震作用的底部剪力法§7考慮扭轉(zhuǎn)的水平地震作用§8結(jié)構(gòu)豎向地震作用§9建筑結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算§10結(jié)構(gòu)自振周期和頻率的實(shí)用計(jì)算方法§11工程結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的時(shí)程分析方法§12地基與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用效應(yīng)§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析4.1動(dòng)力方程的建立實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是沿結(jié)構(gòu)幾何形狀連續(xù)分布的，因此，嚴(yán)格地說，其動(dòng)力自由度應(yīng)該是無限的。但是，采用無限自由度模型，一方面計(jì)算過于復(fù)雜；另一方面也沒這種必要，因?yàn)?，選用有限多自由度模型的計(jì)算結(jié)果已能充分滿足一般工程設(shè)計(jì)的精度要求。因此，在研究和應(yīng)用中，一般通過結(jié)構(gòu)的離散化方法，將無限自由度體系轉(zhuǎn)化為有限自由度體系?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論可知，結(jié)構(gòu)離散化的基本方法有廣義坐標(biāo)法、有限元法和集中質(zhì)量法。集中質(zhì)量法是最早提出、也是最簡單的方法。這一方法人為地將質(zhì)量集中于一些點(diǎn)處，與之相對(duì)應(yīng)，結(jié)構(gòu)的剛度特性、阻尼特性、荷載特征則被集中于質(zhì)量的平移自由度方向。集中質(zhì)量法所帶來的計(jì)算便利是顯而易見的，但是，對(duì)于動(dòng)力問題，不適當(dāng)?shù)丶匈|(zhì)量也可能導(dǎo)致較大的計(jì)算誤差。因此，對(duì)集中質(zhì)量法應(yīng)附加動(dòng)能等效原則，即集中前后體系的動(dòng)能不發(fā)生顯著變化?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析定義影響系數(shù)αij是由j坐標(biāo)單位物理量在i坐標(biāo)方向上引起的力，其具體含義可以是剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、質(zhì)量等。對(duì)于一般多自由度體系，假定任意時(shí)刻t，j坐標(biāo)方向的位移（相對(duì)于平衡位置）為uj，相應(yīng)的速度、加速度分別為

、

。則在此時(shí)刻，所有j坐標(biāo)處的物理量（包括i坐標(biāo)處）與相應(yīng)于坐標(biāo)i處的影響系數(shù)乘積之和即為i坐標(biāo)方向所受到的力，即：§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析慣性力：其中mij—質(zhì)量，對(duì)于集

中質(zhì)量法，i≠j時(shí)mij=0；恢復(fù)力：kij—?jiǎng)偠认禂?shù)；

n—?jiǎng)恿ψ杂啥葦?shù);阻尼力:cij—阻尼系數(shù)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，上述各力之和

即等于i坐標(biāo)處作用的外力pi(t)，即：8/180§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析全部n個(gè)坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程可用矩陣形式表示為式中，[M]、[C]和[K]—分別為結(jié)構(gòu)離散體系的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，對(duì)于集中質(zhì)量法，[M]為對(duì)角矩陣；{uj}、{}和{}—分別為結(jié)構(gòu)離散體系的位移向量、速度向量和加速度向量；{P}—?jiǎng)油饬ο蛄??！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析圖示多自由度彈性體系在水平地震運(yùn)動(dòng)作用下的變形情況。這時(shí)，體系上并無動(dòng)外力p(t)作用，僅有地震引起的地面運(yùn)動(dòng)

。此時(shí)，i質(zhì)點(diǎn)的慣性力為：§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析注意到彈性力力和阻尼力僅僅與相對(duì)位移移和相對(duì)速度度有關(guān)，因此此，由達(dá)朗貝貝爾原理可得得水平地震運(yùn)運(yùn)動(dòng)作用下的的運(yùn)動(dòng)方程為為：寫成矩陣形式式為：式中，{I}—慣性力指示示向量，§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析4.2地震反應(yīng)分析析的振型疊加加法1.振型與自振頻頻率求解彈性體系的自振頻率和振振型稱為自振特性分析。由于體系的固有頻率和相應(yīng)的振型都僅取決于體體系自身的性性質(zhì)，而與時(shí)時(shí)間無關(guān)，所所以從廣義的的觀點(diǎn)，自振振特性分析的的基本手段是是變量分離法法，即把時(shí)間因素與與結(jié)構(gòu)位置因因素分離后，利用特征方程程具有非零解解的充分必要要條件求取自振頻率及相應(yīng)的振型?！?多自由度體系系地震反應(yīng)分分析無阻尼多自由度彈性體系的自由振動(dòng)方程程為：設(shè)結(jié)構(gòu)作簡諧振動(dòng)，其位移反應(yīng)應(yīng)為：式中，ω—自振頻率；；θ—初始相位角;{?}—僅與位置坐標(biāo)標(biāo)有關(guān)的向量量?？梢缘玫教卣髡鞣匠蹋焊鶕?jù)線性代數(shù)數(shù)的知識(shí)，特征方程存在在非零解的充要條件是是系數(shù)行列式等等于零，即得到頻率方程：§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析對(duì)于穩(wěn)定結(jié)構(gòu)構(gòu)體系，其質(zhì)質(zhì)量矩陣和剛剛度矩陣具有有實(shí)對(duì)稱性和和正定性，所所以，相應(yīng)的的頻率方程的根根都是正實(shí)根根。對(duì)于處于隨遇平衡狀態(tài)態(tài)或不穩(wěn)定狀態(tài)的結(jié)構(gòu)體體系，頻率方方程會(huì)出現(xiàn)等等于零的重根或虛根。一般地，地震震工程中遇到到的結(jié)構(gòu)體系系多為穩(wěn)定體體系。§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析根據(jù)特征方程：對(duì)應(yīng)于頻率方方程中的每一個(gè)根，都存在特征征方程的一個(gè)個(gè)非零解{?j}，稱為振型向量，或叫特征向量，或叫模態(tài)向量。由于特征方程程的齊次性，該非零解是不定定的，即振型向量幅值值是任意的，但形狀是唯一的。因此，振型定定義為結(jié)構(gòu)位移形狀保持持不變的振動(dòng)形式。。根據(jù)可知，若結(jié)構(gòu)構(gòu)體系按某一一振型振動(dòng)，，則體系的所有質(zhì)點(diǎn)將按按同一頻率作作簡諧振動(dòng)?！?多自由度體系系地震反應(yīng)分分析為了對(duì)不同頻頻率的振型進(jìn)進(jìn)行形狀上的的比較，需要要將其化為無無量綱形式，，這種轉(zhuǎn)化過過程稱為振型的規(guī)格化化。振型規(guī)格化的的方法可采用用下述三種方方法之一：(1)特定坐標(biāo)的規(guī)規(guī)格化方法：：指定振型向向量中某一坐標(biāo)值為為1，其它元素按按比例確定；(2)最大位移值的規(guī)規(guī)格化方法：：將振型向量量各元素分別除除以其中的最最大值；§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析(3)正交規(guī)格化方方法：令其中對(duì)于[M]為對(duì)角質(zhì)量矩矩陣時(shí)，可簡簡寫為：式中，?ji—j振型向量第i坐標(biāo)處的值；Mj—j振型的廣義質(zhì)量。?！?多自由度體系地震震反應(yīng)分析2.振型的正交性根據(jù)特征方程：分別對(duì)振型i、j列出運(yùn)動(dòng)方程：左式(a)兩邊乘以向量{?j}的轉(zhuǎn)置{?j}T，右式兩邊乘以向量{?i}的轉(zhuǎn)置{?i}T，則有：左式不變，而對(duì)右右式進(jìn)行轉(zhuǎn)置運(yùn)算算可得18/180§4多自由度體系地震震反應(yīng)分析將右式減去左式，，可得：若ωj≠ωi，則有：同時(shí)有：分別稱為振型對(duì)質(zhì)質(zhì)量矩陣的正交性性和振型對(duì)剛度矩矩陣的正交性?！?多自由度體系地震震反應(yīng)分析振型對(duì)質(zhì)量矩陣的正交性的物理意義義是：某一振型在振振動(dòng)過程中所引起起的慣性力在其它它振型上所作的功功為零。這說明某一個(gè)振型型的動(dòng)能不會(huì)轉(zhuǎn)移移到其它振型上去去，或者說體系按按某一振型作自由由振動(dòng)時(shí)不會(huì)激起起該體系其它振型型的振動(dòng)。振型對(duì)剛度矩陣正交性的物理意義義是，體系按某一振振型振動(dòng)時(shí)，它的的位能不會(huì)轉(zhuǎn)移到到其它振型上去。?！?多自由度體系地震震反應(yīng)分析振型的兩兩正交特特性說明它們具備備作為一類線性空間間基底的基本條件件。事實(shí)上，由振型向向量所張成的線性性空間正是一般動(dòng)動(dòng)力反應(yīng)空間，在在這空間的任一點(diǎn)點(diǎn)表示一個(gè)特定的的動(dòng)力反應(yīng)，并且且這一點(diǎn)的坐標(biāo)值值可由關(guān)于基底（（振型）的廣義坐坐標(biāo)給出?！?多自由度體系地震震反應(yīng)分析3.正交阻尼若無外部能量輸入入，則任何原來振振動(dòng)的物理系統(tǒng)都都會(huì)隨著時(shí)間的增增長趨于靜止，這是因?yàn)橄到y(tǒng)的能能量會(huì)因?yàn)槟承┰蚨纳?。產(chǎn)生振動(dòng)系統(tǒng)能量量耗散的原因稱為為阻尼。目前，關(guān)于結(jié)構(gòu)振振動(dòng)的耗能機(jī)理并并不十分清楚，已已經(jīng)提出的許多材材料阻尼的數(shù)學(xué)模模型，每一種模型型都有其適應(yīng)范圍圍和局限性。由于結(jié)構(gòu)構(gòu)的阻尼尼機(jī)制十十分復(fù)雜雜，工程程上常采采用簡單單的正交交阻尼模模型。§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析目前工程程上廣泛應(yīng)用用的是瑞瑞雷阻尼尼模型，，其數(shù)學(xué)學(xué)表達(dá)式式為：式中，α0、α1—瑞雷阻阻尼系數(shù)數(shù)。由于振型型向量對(duì)對(duì)質(zhì)量矩矩陣和剛剛度矩陣陣具有正正交性，，因此，，對(duì)于瑞瑞雷阻尼尼模型，，也有：：即振型對(duì)對(duì)阻尼矩矩陣也具具有正交交性。利用上述述正交性性條件，，并注意意到：§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析其中：為為第j振型的廣廣義質(zhì)量量；為第j振型的廣廣義剛度度；為第j振型的廣廣義阻尼尼；為第j振型阻尼尼比。因此有：：若已知任任意兩階階振型的的阻尼比，則則可定出出阻尼系系數(shù)：§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析4.求解地震震反應(yīng)的的振型分分解法§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析4.求解地震震反應(yīng)的的振型分分解法一組正交交向量可可以作為為線性空空間的一一組基底底，這些些基的適適當(dāng)線性性組合構(gòu)構(gòu)成空間間的點(diǎn)。。根據(jù)這一一觀點(diǎn)，，線性結(jié)結(jié)構(gòu)的動(dòng)動(dòng)力反應(yīng)應(yīng)必然是是其振型型向量所所張成的的線性空空間中的的點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)的規(guī)跡跡則反映映動(dòng)力反反應(yīng)的時(shí)時(shí)程變化化過程。。為簡單明明了地說說明問題題，先考慮兩兩個(gè)自由由度的體體系?！?多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析將質(zhì)點(diǎn)m1和m2在水平向向地震作作用下任任一時(shí)刻刻的位移移u1(t)和u2(t)用兩個(gè)振振型的線線性組合合表示：：其中，第第一振型型向量，第二振振型向量量。這實(shí)際上是是一個(gè)坐坐標(biāo)變換換式，原原來的變變量u1(t)和u2(t)為幾何坐坐標(biāo)，而而新的坐坐標(biāo)q1(t)和q2(t)可稱為廣廣義坐標(biāo)標(biāo)。由于體系系的振型型是唯一一確定的的，因此此，當(dāng)q1(t)和q2(t)確定后，，質(zhì)點(diǎn)的的位移u1(t)和u2(t)也將隨之之確定。。§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析對(duì)此也可以這這樣理解解：體系的位位移可看看作是由由各振型型向量乘乘以相應(yīng)應(yīng)的組合合系數(shù)q1(t)和q2(t)后疊加而而成的。。換句話講講，這種種方法是是將實(shí)際際位移按按振型加加以分解解，故稱稱為振型型分解法法。另外，由由于q1(t)和q2(t)是隨時(shí)間間變化的的，因此此，同一一振型在在不同時(shí)時(shí)刻對(duì)總總位移““貢獻(xiàn)””的大小小是不一一樣的。。§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析對(duì)于一般般的多自自由度線線彈性體體系，有：式中，為為位位移向量量；為廣義坐坐標(biāo)向量量；為振型矩矩陣，其中{?j}為體系的的第j個(gè)振型向向量。將上式兩邊分別前乘乘{(lán)?j}T[M]，利用振振型關(guān)于于質(zhì)量矩矩陣的正正交性及及上式，可導(dǎo)導(dǎo)出廣義義坐標(biāo)與與一般位位移反應(yīng)應(yīng)的關(guān)系系。一般用于決定定各振型型的初始始條件。。§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析在水平地地震作用用下，多多自由度度彈性體體系的運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程程為：為應(yīng)用振振型分解解法，一一般采用用瑞雷阻阻尼模型型。將：代入，并前乘振振型向量量的轉(zhuǎn)置置{?j}T，利用振振型向量量對(duì)質(zhì)量量矩陣、、阻尼矩矩陣和剛剛度矩陣陣的正交交性，可可得：注意到§4多自由度度體系地地震反應(yīng)應(yīng)分析則上式可可轉(zhuǎn)化為：其中稱為第j振型的振振型參與與系數(shù)。。利用有阻阻尼體系系的Duhamel積分公式式：廣義坐標(biāo)標(biāo)qj(t)可表示為為(假定初始始條