chap2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型課件

§2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

§2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2.1控制系統(tǒng)的分析方法§2.2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§3.3線性離散系統(tǒng)§2.1控制系統(tǒng)的分析方法對控制系統(tǒng)的研究經(jīng)歷了經(jīng)典控制論和現(xiàn)代控制論兩個階段經(jīng)典控制論：以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，屬于輸入輸出分析法，又稱外部描述法現(xiàn)代控制論建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上，它為控制系統(tǒng)分析和設(shè)計提供了更精確、更完備的數(shù)學(xué)模型。是一種內(nèi)部描述法，現(xiàn)代控制理論建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上，它為控制系統(tǒng)分析和設(shè)計提供了更精確、更完備的數(shù)學(xué)模型。是一種內(nèi)部描述法，不僅研究輸入輸出的關(guān)系，同時還以系統(tǒng)內(nèi)部變量為研究對象。更適合于時變系統(tǒng)和多變量系統(tǒng)。而經(jīng)典控制理論適合于分析定常系統(tǒng)和單輸入輸出系統(tǒng)?？捎酶话愕妮斎牒瘮?shù)代替特殊的、典型的輸入函數(shù)來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)設(shè)計。本質(zhì)上是在時域上研究問題。經(jīng)典控制理論是一種復(fù)頻域的分析方法。本章規(guī)劃在《控制工程基礎(chǔ)》課程中，主要介紹了線性連續(xù)定常系統(tǒng)的兩種分析方法—時域分析法和頻域響應(yīng)法。本課程進(jìn)行簡單的回顧和復(fù)習(xí)。本章主要以狀態(tài)空間分析法和線性離散系統(tǒng)的介紹為主?！?系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2.1控制系統(tǒng)的分析方法§2.2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§3.3線性離散系統(tǒng)一、經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)之上，也稱輸入輸出描述法。其輸入和輸出的微分方程為：其中為微分算子（1）在初始條件為0時，與上述微分方程對應(yīng)的傳遞函數(shù)為：（2）系統(tǒng)的頻率特性為：令（3）由(1),(2),(3)式可得三種數(shù)學(xué)模型的關(guān)系：傅氏變換對拉氏變換對這三種數(shù)學(xué)模型雖然形式不同，但都表達(dá)了系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律。應(yīng)用最多的為傳遞函數(shù)二、傳遞函數(shù)與方塊圖1.傳遞函數(shù)的定義和推導(dǎo)2.系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)3.系統(tǒng)分析中圖解描述－方塊圖1.傳遞函數(shù)的定義和推導(dǎo)推導(dǎo)傳遞函數(shù)的步驟：列出系統(tǒng)的微分方程假設(shè)系統(tǒng)的所有初始條件為零，取微分方程的拉氏變換求輸出量與輸入量拉氏變換之比。傳遞函數(shù)：初始條件為零時輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比傳遞函數(shù)應(yīng)用說明：前提為零初始條件。對非零初始條件的系統(tǒng)，該方法便不能表征系統(tǒng)的動態(tài)特性。系統(tǒng)內(nèi)部往往有多種變量，而傳遞函數(shù)只反映輸入量與輸出量之間的關(guān)系，不能表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部其它變量的情況。傳遞函數(shù)的上述缺陷在狀態(tài)空間方法中得以彌補(bǔ)例1.2：求圖1－8電樞控制式直流電機(jī)的傳遞函數(shù)電樞控制式直流電機(jī)的激磁繞組電流if

恒定不變，僅改變加于電樞的電壓ei來控制其運(yùn)行方式。電樞上的控制電壓(輸入)電樞繞組電阻電樞繞組電感激磁繞組電流電樞電流電動機(jī)軸角位移（輸出）電動機(jī)軸總的轉(zhuǎn)動慣量電動機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)電樞繞組中的反電動勢電磁轉(zhuǎn)矩解：根據(jù)克?；舴蚨?，得到電壓平衡方程：電樞轉(zhuǎn)動時，在電樞繞組中將感應(yīng)出反電動勢eb，由于激磁電流if不變，所以激磁磁通也為常數(shù)。則eb與電機(jī)角速度成正比，即又磁通一定時，電磁轉(zhuǎn)矩與電樞電流成正比，即該電磁轉(zhuǎn)矩用以驅(qū)動負(fù)載，并克服摩擦力矩，所以則將eb，ia表達(dá)式帶入電壓平衡方程，得到假設(shè)初始條件為零，對上式進(jìn)行拉氏變換有一般La很小，可忽略不計，則有式中增益常數(shù)時間常數(shù)含有1/S因子，所以該電機(jī)可以看作積分環(huán)節(jié)t=t0處的單位脈沖函數(shù)為：系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h(t)即所以系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為傳遞函數(shù)的拉氏反變換而由于卷積與系統(tǒng)任意輸入的響應(yīng)若已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)，則通過求卷積就可以求得系統(tǒng)對其它任何輸入函數(shù)的響應(yīng)便可確定。尤其在信號以曲線形式表達(dá)或不能應(yīng)用拉氏變換的情況。上述理論推導(dǎo)：輸入信號為u(t)，如圖1-11所示。傳遞函數(shù)為H則輸入信號可以表示為單位脈沖信號的疊加則輸出信號可以線性算子表示為當(dāng)時，上述和式可以用積分表示系統(tǒng)對輸入函數(shù)的響應(yīng)，即為該函數(shù)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積。若卷積可以直接計算，則無需進(jìn)行拉氏變換。這便是卷積的意義。系統(tǒng)的互聯(lián)串聯(lián)、并聯(lián)、復(fù)雜系統(tǒng)互聯(lián)、反饋聯(lián)接系統(tǒng)方塊圖方塊圖：blockdiagram包含了系統(tǒng)各個組成部分的傳遞函數(shù)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、信號流向等不僅可以表達(dá)系統(tǒng)的輸入輸出變量之間的因果關(guān)系，而且描述了系統(tǒng)內(nèi)部對信號進(jìn)行的運(yùn)算是復(fù)雜系統(tǒng)的一種非常有效的描述方式電路系統(tǒng)的方塊圖分析方塊圖的等效變換串聯(lián)規(guī)則并聯(lián)規(guī)則反饋規(guī)則分支點(diǎn)移動規(guī)則綜合點(diǎn)移動規(guī)則綜合點(diǎn)交換規(guī)則串聯(lián)規(guī)則、并聯(lián)規(guī)則和

反饋規(guī)則分支點(diǎn)移動規(guī)則綜合點(diǎn)移動規(guī)則綜合點(diǎn)交換規(guī)則二階RC電路方塊圖的簡化上節(jié)課內(nèi)容回顧介紹了系統(tǒng)的分類，經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的特點(diǎn)。復(fù)習(xí)了傳遞函數(shù)和方框圖，要求掌握具體物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)和方塊圖的繪制。討論建立系統(tǒng)微分方程數(shù)學(xué)模型后，若已知系統(tǒng)的輸入，是否可以唯一確定系統(tǒng)的輸出？已知§2.2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型二、傳遞函數(shù)與方塊圖三、狀態(tài)空間模型四、狀態(tài)空間分析法三、狀態(tài)空間模型1、基本概念2、狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程）3、由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式4、由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達(dá)式5、狀態(tài)變量的非唯一性6、傳遞矩陣1、基本概念狀態(tài)狀態(tài)變量狀態(tài)向量狀態(tài)空間(1)狀態(tài)：是確定系統(tǒng)運(yùn)動狀況最少數(shù)目的一組變量。只要知道了這組變量在時的值，以及時的系統(tǒng)的輸入，那么系統(tǒng)在時的運(yùn)動狀況就可以完全確定。系統(tǒng)在時初始條件的總和就是系統(tǒng)在時的狀態(tài)右圖系統(tǒng)的微分方程為其拉氏變換為系統(tǒng)在t=0時的狀態(tài)可以由確定如果，則系統(tǒng)在t時的狀態(tài)x(t)和v(t)就可以被確定，所以可以作為上圖系統(tǒng)的狀態(tài)（2)系統(tǒng)響應(yīng)和系統(tǒng)狀態(tài)之間的關(guān)系對于圖1-12單輸入輸出系統(tǒng)，有記為則在時而的取值時任意的，所以在任意時刻t，系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)完全可以由該瞬時的系統(tǒng)狀態(tài){x(t)}和該瞬時的系統(tǒng)輸入u(t)確定右圖的電路網(wǎng)絡(luò)中，如果已知輸入電壓u(t)電容上的電壓x1和電感中的電流x2，試用這兩個變量表示網(wǎng)絡(luò)中所有變量在任意時刻t，網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)由該瞬電時容電壓x1和電感中的電流x2確定，因此，x1和x2可以作為該網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)（3)狀態(tài)變量構(gòu)成控制系統(tǒng)狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量。狀態(tài)變量并非唯一狀態(tài)變量不一定選在物理上能觀能控在最優(yōu)控制中，通常選用物理上能觀能控的狀態(tài)變量（4)狀態(tài)向量如果完全描述一個系統(tǒng)的動態(tài)行為需要n個狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…xn(t)，那么這n個狀態(tài)變量所組成的n維向量x(t)，就叫做狀態(tài)向量。（5)狀態(tài)空間所有狀態(tài)向量x(t)張成的空間稱為狀態(tài)空間系統(tǒng)的任意狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一個點(diǎn)表示如果狀態(tài)向量是n維的，則張成的狀態(tài)空間稱為n維狀態(tài)空間。三、狀態(tài)空間模型1、基本概念2、狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程）3、由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式4、由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達(dá)式5、狀態(tài)變量的非唯一性6、傳遞矩陣（1）單輸入輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間的表達(dá)式例1.4：如果圖1-7的R-C振蕩電路的的電流、電容電壓以及時的輸入電壓已知，則網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)可以完全確定。故可作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量（1）取狀態(tài)變量（2）帶入回路方程有（3）2、狀態(tài)空間表達(dá)式綜合(1)(2)(3)式有（4）輸出量（5）將(4)(5)寫為矩陣形式：（6）（7）式(6)為狀態(tài)方程:表示輸入量和狀態(tài)變量的關(guān)系式(7)為輸出方程:表示輸出量和狀態(tài)變量的關(guān)系這兩個公式聯(lián)合起來就是狀態(tài)空間表達(dá)式例1.5：用右圖所示質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)，如果有一外力u(輸入)在t0時刻作用于系統(tǒng)，當(dāng)質(zhì)量m在t0時刻的位置和速度已知時，其將來的位置y(輸出)即唯一確定。求其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)動態(tài)方程為把狀態(tài)變量帶入有寫為矩陣形式，得到狀態(tài)空間表達(dá)式：上節(jié)課內(nèi)容回顧及重點(diǎn)介紹了單輸入輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間的基本概念及狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程），要求掌握單輸入輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的求解。步驟：建立系統(tǒng)微分方程確定合適的狀態(tài)向量列出狀態(tài)方程和輸出方程難點(diǎn)：確定合適的狀態(tài)變量第二次課

第二次作業(yè)：2.2,2.3三、狀態(tài)空間模型1、基本概念2、狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程）3、由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式4、由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達(dá)式5、狀態(tài)變量的非唯一性6、傳遞矩陣下圖為多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)。其輸入和輸出為向量：n階系統(tǒng)有n個狀態(tài)變量其狀態(tài)向量：（2）多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間的表達(dá)式控制向量其狀態(tài)空間表達(dá)式可寫為：對于多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)，A，B,C,D均為常數(shù)矩陣，它們由系統(tǒng)的性質(zhì)確定。若已知初始狀態(tài)變量和輸入，則可通過解狀態(tài)方程求出狀態(tài)變量。再利用輸出方程就可以確定系統(tǒng)輸出可見，單輸入單輸出系統(tǒng)是多輸入輸出系統(tǒng)的特例，即p=m=1式中：狀態(tài)矩陣（系統(tǒng)矩陣）輸入矩陣輸出矩陣前饋矩陣在線性時變系統(tǒng)中，其系數(shù)矩陣是與時間有關(guān)的變量，一個n階系統(tǒng)狀態(tài)空間的表達(dá)式為：式中：（3）多輸入多輸出線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間的表達(dá)式上述系統(tǒng)的方框圖為：三、狀態(tài)空間模型1、基本概念2、狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程）3、由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式4、由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達(dá)式5、狀態(tài)變量的非唯一性6、傳遞矩陣(1)：用下面的微分方程描述的系統(tǒng)，輸入為u,輸出為y已知系統(tǒng)的初始條件求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（1）解：取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為（2）帶入(1)有：（3）綜合(2)(3)將原三階微分方程(1)變換為3個一階微分方程（4）輸出量（5）3、由系統(tǒng)微分方程列寫狀態(tài)空間表達(dá)式：將(4)(5)寫為矩陣形式，得到狀態(tài)空間表達(dá)式：（6）（7）系統(tǒng)輸入量引起系統(tǒng)內(nèi)部的變化—狀態(tài)方程系統(tǒng)內(nèi)部的變化引起系統(tǒng)輸出量的變化—輸出方程通過以上兩個例子可以看出，用狀態(tài)變量描述一個系統(tǒng)時，把輸入輸出間的關(guān)系分為兩段加以描述：該方法可深入到系統(tǒng)內(nèi)部，故稱為內(nèi)部描述法。若已知系統(tǒng)的初始條件則可完全確定系統(tǒng)在時刻的狀態(tài)。(2)對于一個不含控制量u的微分的n階單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)（1）由于不含控制量的微分,取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：（2）式(1)的n階微分方程可寫為n個1階微分方程（3）輸出量（4）3、由系統(tǒng)微分方程列寫狀態(tài)空間表達(dá)式：寫為矩陣形式，得到狀態(tài)方程：（5）式中：（6）輸出方程為：式中：即n階單輸入輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：狀態(tài)方程輸出方程(3)對于一個含控制量u的微分的n階單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)（1）求其狀態(tài)空間表達(dá)式則可以將式(1)寫為n個1階微分方程分析：如果仍然取狀態(tài)變量為：上述一階微分方程含有控制量的各階微分項，若控制量為階躍函數(shù)，則其微分為脈沖函數(shù)，導(dǎo)致使上述狀態(tài)軌跡產(chǎn)生無窮大的跳躍。所以該狀態(tài)變量不能確定系統(tǒng)狀態(tài)。對于上述系統(tǒng)，正確的狀態(tài)變量選擇原則是，狀態(tài)方程中的任何一個微分方程和輸出方程都不能含有控制量的微分項。（3）則狀態(tài)方程為：根據(jù)上述分析，可以假設(shè)狀態(tài)向量：（2）把式(3)第n個方程，消去狀態(tài)變量（5）（4）輸出方程為：與式(1)比較（1）與微分方程(1）比較，利用待定系數(shù)法，可知系統(tǒng)的狀態(tài)方程矩陣形式為（6）式中：輸出方程為（7）式中：例1.6設(shè)控制系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為求該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：由運(yùn)動微分方程可知取狀態(tài)向量為：則狀態(tài)方程為：根據(jù)上面的推導(dǎo)可以計算出h0,h1,h2所以，狀態(tài)方程為：輸出方程為：三、狀態(tài)空間模型1、基本概念2、狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程）3、由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式4、由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達(dá)式5、狀態(tài)變量的非唯一性6、傳遞矩陣出發(fā)點(diǎn)：方框圖形象地描述了系統(tǒng)信號流向及各物理量之間地關(guān)系，所以很多系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通常由方框圖表示。對于簡單系統(tǒng)的方框圖，可以求出系統(tǒng)變換傳遞函數(shù)，然后利用拉氏反變換求出系統(tǒng)微分方程，再寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。對于復(fù)雜系統(tǒng)，求取變換傳遞函數(shù)并不是輕而易舉的事。利用方框圖直接求解狀態(tài)空間表達(dá)式要比較簡單。規(guī)則和步驟：1、寫出各方框單元的傳遞函數(shù)，并用拉氏反變換求出其微分方程。2、以各方框單元的輸出變量和系統(tǒng)總輸出變量的一階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量。以各求和節(jié)點(diǎn)的輸出為中間變量，寫出狀態(tài)方程3、列出各求和節(jié)點(diǎn)方程，在狀態(tài)方程中消去中間變量。得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。4、由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達(dá)式例：寫出右圖某順饋控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式(2)指定狀態(tài)變量和中間變量，代入微分方程，寫出狀態(tài)方程解:(1)各方框單元的傳遞函數(shù)和微分方程為狀態(tài)變量X中間變量狀態(tài)方程(1)(3)列出各求和節(jié)點(diǎn)方程，在狀態(tài)方程(1)中消去中間變量(2)求和節(jié)點(diǎn)方程將式(2)代入式(1),得到狀態(tài)方程為：即輸出方程方程為：三、狀態(tài)空間模型1、基本概念2、狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程）3、由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式4、由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達(dá)式5、狀態(tài)變量的非唯一性6、傳遞矩陣?yán)?.7：與例1.4不同，選取如下變量為狀態(tài)變量：（1）又因（4）把(2)(3)代入(4)得：（5）所以（3）則（2）所以（6）5、狀態(tài)變量的非唯一性（7）聯(lián)合式(3)(6)得系統(tǒng)狀態(tài)方程為：輸出方程為（8）與例1.4選取狀態(tài)變量為時得到得狀態(tài)方程和輸出方式比較上述兩組狀態(tài)變量都能描述該RLC網(wǎng)絡(luò)，因此狀態(tài)變量不是唯一的。用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)時，狀態(tài)空間表達(dá)式與所選的狀態(tài)變量有關(guān)。即同一系統(tǒng)可以有不同的狀態(tài)空間表達(dá)式假設(shè)一個n階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：設(shè)Q是任意的非奇異n×n階矩陣，并定義：式中那么，若以為狀態(tài)變量,系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：證明：對取導(dǎo)數(shù)，有將狀態(tài)方程帶入，得到再根據(jù)輸出方程，可得狀態(tài)變量的非唯一性的理論證明—狀態(tài)變換狀態(tài)變換的幾點(diǎn)結(jié)論變換稱為狀態(tài)變換。對同一系統(tǒng)，采用不同的非奇異矩陣Q進(jìn)行狀態(tài)變換就可以得到不同的狀態(tài)向量。狀態(tài)向量不是唯一的。不同的狀態(tài)向量對應(yīng)不同的狀態(tài)方程。狀態(tài)變換的目的是從不同的角度觀測系統(tǒng)（相當(dāng)于狀態(tài)空間的坐標(biāo)系的變換）。狀態(tài)變換不影響系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)、能控性和能觀性等系統(tǒng)基本性質(zhì)。三、狀態(tài)空間模型1、基本概念2、狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程）3、由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式4、由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達(dá)式5、狀態(tài)變量的非唯一性6、傳遞矩陣對n階子系統(tǒng)，若輸入為p維向量為U(t)，輸出為m維向量Y(t）,在初始條件為零時，存在m×p維矩陣G(s),使（1）定義將上式寫為矩陣形式有：其中Gij(s)為yi(s)對uj(s)的傳遞函數(shù)。當(dāng)p=m=1時，傳遞矩陣G(s)成為單輸入輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)因此，傳遞矩陣G(s)也叫廣義傳遞函數(shù)。6、傳遞矩陣則G(s)定義為該系統(tǒng)的傳遞矩陣。如圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)，已知則所以如果非奇異，則所以圖1－18閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣為（2）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣假設(shè)一個n階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：在初始條件為零時進(jìn)行拉氏變換：所以則可得傳遞矩陣為（3）由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞矩陣解：(分析）用方框圖簡化方法求傳遞函數(shù)比較復(fù)雜。先建立狀態(tài)空間表達(dá)式，然后求出傳遞矩陣。對于此單輸入輸出系統(tǒng)，傳遞矩陣與傳遞函數(shù)是等價的。例1.8求圖1-19系統(tǒng)的傳遞函數(shù)從系統(tǒng)機(jī)構(gòu)可知，x1,x2為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量，其狀態(tài)方程和輸出方程分別為：寫為矩陣形式：由系統(tǒng)傳遞矩陣公式，有因為系統(tǒng)為單輸入單輸出，則上式傳遞矩陣就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)伴隨矩陣§2.2控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型二、傳遞函數(shù)與方塊圖三、狀態(tài)空間模型四、狀態(tài)空間分析法五、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化四、狀態(tài)空間分析法1、求解狀態(tài)方程（求系統(tǒng)的時間響應(yīng)）2、系統(tǒng)的能控性和能觀性分析。3、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析?；臼侄问蔷€性代數(shù)方法1、求解狀態(tài)方程狀態(tài)空間分析法的基本任務(wù)就是通過求解狀態(tài)方程，得到系統(tǒng)在時域內(nèi)的時間響應(yīng)函數(shù)。線性非齊次方程：強(qiáng)迫響應(yīng)線性齊次方程：自由響應(yīng)上述方程的求解方法有矩陣指數(shù)法、拉氏變換法和一般法。本節(jié)重點(diǎn)介紹拉氏變換法。由于齊次方程為非齊次方程的特例，所以下面以非齊次方程為例講解狀態(tài)方程的解法用拉氏變換法求解非齊次求解狀態(tài)方程設(shè)非齊次狀態(tài)方程為：（1）式(1)兩邊同時取拉氏變換：（2）則：（3）式(3)兩邊同時取拉氏反變換,得到狀態(tài)方程的解：（4）利用拉氏變換的卷積定理由于式(4)的計算比較復(fù)雜，可進(jìn)行如下簡化：定義：為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣（5）有：（6）關(guān)鍵是計算轉(zhuǎn)移矩陣將式(5)(6)帶入(4)，得到：（7）狀態(tài)方程解的幾點(diǎn)說明：(1)對線性齊次狀態(tài)方程：其解為式(7)中B=[0]時的值(2)轉(zhuǎn)移矩陣的含義：，它包含自由響應(yīng)的全部信息(3)系統(tǒng)的輸出：根據(jù)輸出方程(4)當(dāng)狀態(tài)方程的解為：已知解:(1)求轉(zhuǎn)移矩陣?yán)?.9求下面系統(tǒng)狀態(tài)方程的解（系統(tǒng)的時間響應(yīng)）(2)系統(tǒng)的響應(yīng)為(1)能控性定義：若對系統(tǒng)在t0時刻的任意狀態(tài)X(t0),都存在一個有限的時間區(qū)間[t0,tf](tf>t0)和定義在[t0,tf]上的適當(dāng)?shù)目刂屏縐(t),使得X(tf)=0,則稱系統(tǒng)在t0時刻是可控的。如果系統(tǒng)在有定義的時間區(qū)間上的每一時刻都可控，則稱系統(tǒng)為具有完全可控性。假設(shè)一個n階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：狀態(tài)方程的解為：物理意義：系統(tǒng)的每個狀態(tài)變量都受到控制變量的影響而改變。即在有限的時間內(nèi)，控制變量能夠使?fàn)顟B(tài)變量從任意的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。完全可控性充分必要條件：下面2、系統(tǒng)的能控性和能觀性分析(2)能觀性定義：在有限時間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)，若已知矩陣A,B,C,D和系統(tǒng)在[t0,tf]上的U(t)和Y(t),

X(t0)能夠唯一確定，則稱系統(tǒng)在t0時刻是可觀測的。如果系統(tǒng)在有定義的時間區(qū)間上的每一時刻都可觀測的，則稱系統(tǒng)為具有完全能觀性。物理意義：若系統(tǒng)的每個狀態(tài)變量都對輸出的分量有影響，即任一狀態(tài)變量在系統(tǒng)的輸出中都能觀測到，則稱系統(tǒng)具有能觀性。充分必要條件：下面能控性表示系統(tǒng)的控制變量和狀態(tài)變量的關(guān)系。能觀性表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量和系統(tǒng)輸出的關(guān)系。例1.10判斷下面系統(tǒng)的能控性和能觀性解:因為所以則系統(tǒng)能控又因為所以則系統(tǒng)不能觀3、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析假設(shè)一個n階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：則系統(tǒng)的特征方程為：其特征值為：穩(wěn)定性的充分必要條件：所有特征值位于s平面的左半平面連續(xù)系統(tǒng)分析過程框圖第三次作業(yè)2-4,2-5,2-6補(bǔ)充作業(yè)：2-A:對于線性定常系統(tǒng)，試證明狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的傳遞矩陣。2-B:系統(tǒng)狀態(tài)方程為已知當(dāng)u(t)為單位階躍函數(shù)，求系統(tǒng)的時間響應(yīng)。2－C試判斷下面系統(tǒng)的能控性上節(jié)課內(nèi)容回顧及重點(diǎn)（一）介紹了多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式，重點(diǎn)是狀態(tài)變量的選取。難點(diǎn)是微分方程中含有控制量微分。由方框圖直接寫狀態(tài)空間表達(dá)式。關(guān)鍵是把方框圖劃分為各方框單元進(jìn)行討論。以各方框單元的輸出變量和系統(tǒng)總輸出變量的一階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量。以各求和節(jié)點(diǎn)的輸出為中間變量，寫出狀態(tài)方程和求和節(jié)點(diǎn)方程。狀態(tài)變換及狀態(tài)變量的非唯一性（了解）上節(jié)課內(nèi)容回顧及重點(diǎn)（二）傳遞矩陣的定義及計算。關(guān)鍵是求特征矩陣的逆矩陣：(sI-A)-1狀態(tài)空間分析法：求解狀態(tài)方程：關(guān)鍵是轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)=L-1[(sI-A)-1]能觀性和能控性分析穩(wěn)定性分析§2.2控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型二、傳遞函數(shù)與方塊圖三、狀態(tài)空間模型四、狀態(tài)空間分析法五、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化(只介紹基本概念)五、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化1、非線性系統(tǒng)的定義和特點(diǎn)2、單變量非線性系統(tǒng)的線性化3、多變量非線性系統(tǒng)的線性化定義：用非線性方程表示的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，如：特點(diǎn)：不滿足疊加原理。非線性系統(tǒng)廣泛存在。代表性曲線有：難點(diǎn)：對包含非線性問題的求解過程非常復(fù)雜。解決方案：1、總體思想是將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)求解。2、前提是系統(tǒng)在某個工作點(diǎn)附近一個很小的領(lǐng)域內(nèi)近似線性。3、將非線性函數(shù)在工作點(diǎn)附近利用泰勒級數(shù)展開，并且保留其線性項，得到線性模型。1、非線性系統(tǒng)的定義和特點(diǎn)假設(shè)非線性系統(tǒng)的輸入量為x(t)，輸出量為y(t),且滿足關(guān)系：如果系統(tǒng)在給的某一額定工作狀態(tài)的附件作微小變化時，那么在該點(diǎn)上的泰勒級數(shù)為式中導(dǎo)數(shù),可忽略高階項，有即式中2、單變量非線性系統(tǒng)的線性化附近的線性化模型非線性系統(tǒng)在工作點(diǎn)假設(shè)非線性系統(tǒng)的輸入量為x1(t)，x2(t)，輸出量為y(t),且滿足關(guān)系：在某一額定工作點(diǎn)展開為泰勒級數(shù)：式中偏導(dǎo)數(shù)是在上計算,忽略高階項，有式中在工作點(diǎn)附近的線性化模型非線性系統(tǒng)自學(xué)課本p22例1-12，更正見教材3、多變量非線性系統(tǒng)的線性化§2.3線性離散系統(tǒng)一、離散信號和離散系統(tǒng)二、信號的采樣和恢復(fù)三、Z變換四、脈沖傳遞函數(shù)五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析六、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法一、離散信號和離散系統(tǒng)1、連續(xù)信號和離散信號的定義2、幾個典型的離散信號3、離散信號的基本運(yùn)算4、離散系統(tǒng)基本概念及表示方法5、離散系統(tǒng)主要參數(shù)6、離散系統(tǒng)的分析與綜合1、連續(xù)信號和離散信號的定義連續(xù)信號：若t是定義在時間軸上的連續(xù)變量，那么x(t)，為連續(xù)時間信號，又稱模擬信號。其中Ts表示相鄰兩點(diǎn)間的時間間隔，即抽樣周期。若把Ts歸一化為1，則x(nTs)簡記為x(n),（離散時間序列）數(shù)字信號：用有限的數(shù)位表示的離散信號（把離散信號幅值數(shù)字化，即幅值和時間都離散）。離散信號：若t在時間軸的離散點(diǎn)上取值，則x(t)稱為離散時間信，記為：也可以記為x*(t)A/D轉(zhuǎn)換D/A轉(zhuǎn)換目前，在信號處理中，把離散信號和數(shù)字信號作為兩個相同的概念。將A/D板插入計算機(jī)的總線，配置相應(yīng)的軟件，可以實(shí)現(xiàn)采樣過程。A/D板的技術(shù)指標(biāo)：字長和最大抽樣速度。對5V的TTL信號，用8位字長的A/D板，分辨率位5/28=20mV。用12位字長的的A/D板，分辨率位5/212=1.2mV。提高16倍。A/D板的字長越長，抽樣速度越快，價格越高。A/D板簡要說明：用數(shù)字方法處理連續(xù)信號的過程(2)單位階躍序列2、幾個典型的離散信號(1)單位抽樣信號及單位抽樣序列(3)正弦序列其中，(4)復(fù)正弦序列(5)指數(shù)序列(1)延遲延遲在數(shù)字電路中由移位寄存器實(shí)現(xiàn)(2)相乘與相加相同時刻的值相加或相乘(3)離散信號卷積離散信號的一種有用的表達(dá)方式3、離散信號的基本運(yùn)算離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)最大的區(qū)別在于所處理的信號是離散信號。常見的離散系統(tǒng)有純離散系統(tǒng)和混合離散系統(tǒng)。(1)純離散系統(tǒng)：輸入和輸出都是離散信號例如：下圖的三點(diǎn)加權(quán)平均器。步進(jìn)電機(jī)開環(huán)控制也是一個純離散系統(tǒng)，給一個脈沖走一步。4、離散系統(tǒng)的基本概念及表示方法為了進(jìn)行分析，表示成方塊圖：用采樣器代替A/D用保持器代替D/A簡化：把保持器和被控對象連續(xù)部分合并G(s)=H(s)G0(s)在簡化后，為了分割離散部分和連續(xù)部分，此處加入一個采樣開關(guān)(2)混合離散系統(tǒng)：系統(tǒng)同時包含離散信號和連續(xù)信號開環(huán)離散控制系統(tǒng)：離散連續(xù)連續(xù)其控制信號、反饋信號經(jīng)過采樣器離散化，得到離散的偏差信號。閉環(huán)離散控制系統(tǒng)：如果數(shù)字控制器環(huán)節(jié)為1，則上圖可表示為：簡化(5)移不變性同時滿足線性和移不變性的系統(tǒng)稱為線性移不變系統(tǒng)，即LSI系統(tǒng)(LinearShiftInvariant)(4)線性：滿足疊加原理h(n)的Z變換(1)單位抽樣響應(yīng)h(n)：若輸入x(n)=δ(n)，則輸出y(n)=h(n)(2)頻域響應(yīng)：(3)脈沖傳遞函數(shù)：(6)因果性(Causality)：一個LSI系統(tǒng)任一時刻的輸出只決定于現(xiàn)在時刻和過去時刻的輸入。(7)穩(wěn)定性：一個LSI系統(tǒng)的輸入和輸出都有界。h(n)的離散傅氏變換5、離散系統(tǒng)主要參數(shù)求線性移不變性穩(wěn)定性物理可實(shí)現(xiàn)性系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的描述給定分析：綜合：給定系統(tǒng)的特性指標(biāo)，來設(shè)計滿足要求的系統(tǒng)離散系統(tǒng)的研究內(nèi)容就是分析和綜合6、離散系統(tǒng)的分析與綜合§2.3線性離散系統(tǒng)一、離散信號和離散系統(tǒng)二、信號的采樣和恢復(fù)三、Z變換四、脈沖傳遞函數(shù)五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析六、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法二、信號的采樣和恢復(fù)1、采樣過程2、采樣定理3、信號的恢復(fù)定義：將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為離散序列的過程稱為采樣。連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣后，變成斷續(xù)的脈沖序列fk(t)實(shí)現(xiàn)采樣的裝置，稱為采樣開關(guān)或采樣器。1、采樣過程若定義理想采樣器的輸出為：(1)則理想采樣器相當(dāng)于下圖所示的調(diào)制器：(2)則實(shí)際采樣器可以表示為理想采樣器和倍乘器串聯(lián)而成。為分析簡便，我們將倍乘器乘數(shù)ε與采樣后面的系統(tǒng)歸并在一起，而把理想采樣器的輸出f*(t)作為實(shí)際采樣器的輸出，所以：F(t)的因果性問題：1、f*(t)是否包含了f(t)的全部信息？即采樣的失真問題。2、如何由f*(t)完全恢復(fù)出f(t)？思路：比較f(t)和f*(t)的傅氏變換，然后找出區(qū)別和規(guī)律。把f(t)的采樣信號f*(t)也視為連續(xù)信號，其傅氏變換記為：式(2)單位脈沖序列的傅氏變換記為根據(jù)傅氏變換的頻域卷積定理和式(1)，有(3)對于有限帶寬連續(xù)信號f(t)，其最高頻率分量為Ωm，其傅氏變換為：推導(dǎo)：見圖a2、采樣定理式(3)中關(guān)鍵是求單位脈沖序列的傅氏變換Δ(jΩ)為了求周期信號的傅氏變換，應(yīng)該將其展開為Fourier級數(shù)(4)(5)式(4)(5)中考慮到式(5)積分在一個周期內(nèi)進(jìn)行，將式(2)代入式(5)有(6)將式(6)代入(4)有(7)式(7)的傅氏變換為(8)由式(8)可知，周期為Ts的單位脈沖序列的傅氏變換也是脈沖序列，其周期為Ωs=1/

Ts將式(8)代入(3)有(9)見圖c

單位脈沖函數(shù)的篩選性質(zhì)見圖b由式(9)和圖c可見，采樣信號的傅氏變換為連續(xù)信號傅氏變換在頻率軸上的周期延拓，延拓周期為Ωs=1/

Ts采樣信號及其傅氏變換在圖c中，如果Ωs=<2Ωm

叫則采樣序列出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象。

若有限帶寬信號f(t)的最高頻率為Ωm，如果保證抽樣頻率Ωs≥2Ωm，或Ts≤π/Ωm那么f*(t)中保留了f(t)的全部信息。結(jié)論：采樣定理由圖c可見，在滿足采樣定理的前提下，利用紅色虛線所表示截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以由f*(t)完全恢復(fù)出f(t)。最低采樣頻率Ωs=2Ωm

叫Nyquist采樣頻率。補(bǔ)充說明：

(1)采樣定理由Nyquist和Shannon分別于1928年和1949年提出從·，所以也叫做Nyquist采樣定理或Shannon采樣定理。(2)若信號不是帶寬有限信號，那么在采樣前需要進(jìn)行抗混濾波(anti-aliasing)，即濾去頻率高于Ωs/2的頻率分量。對具體信號采樣頻率的確定方法：如果采頻太低，信號損失多；如果采頻太高，則數(shù)據(jù)量增大，實(shí)現(xiàn)困難。一般取Ωs=(3～4)Ωm

定義：將采樣得到的離散序列再恢復(fù)為連續(xù)信號的過程。信號恢復(fù)一般由保持器來完成。(1)零階保持器把采樣時刻nT的采樣值不變的保持到下一采樣時刻(n+1)T，因此其輸出xh(t)是一個階梯信號。為了書寫方便，以后用T替代Ts表示采樣周期。在不混淆的情況下，離散頻域變量ω也和連續(xù)頻域變量Ω可以不加區(qū)分。（實(shí)際上，ω=ΩT）3、信號的恢復(fù)根據(jù)前面的推導(dǎo)可知，保持器的輸入離散信號為：兩邊取拉氏變換：而保持器的輸出離散信號為：兩邊取拉氏變換：(1)(2)由式(1)(2)得零階保持器得傳遞函數(shù)為：(3)其頻率特性為：(4)所以：(5)由式(5)知零階保持器的幅頻和相頻特性如下圖所示：(1)由幅頻特性可知,零階保持器是一種低通濾波器，它除了允許采樣信號的主要頻譜分量通過外，高頻分量也從旁瓣不同程度地泄漏。因此，x(t)與xh(t)不完全相同。(2)由相頻特性可知,零階保持器具有線性相位，在(1)一階保持器是一種按照線性規(guī)律外推的保持器。其外推規(guī)律為：一階保持器的信號恢復(fù)見右上圖：可見它的信號恢復(fù)畸變要小些：可以推導(dǎo)出一階保持器的傳遞函數(shù)和頻率特性：一階保持器的頻率特性見右下圖，其中虛線為零階保持器的特性，可見一階保持器更容易讓高頻通過，此外，該保持器相位滯后更大。因此，一階保持器反映比較遲鈍，不利于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而且實(shí)現(xiàn)起來復(fù)雜，應(yīng)用較少?！?.3線性離散系統(tǒng)一、離散信號和離散系統(tǒng)二、信號的采樣和恢復(fù)三、Z變換四、脈沖傳遞函數(shù)五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析六、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法三、Z變換1、Z變換的定義2、Z變換的性質(zhì)3、常見函數(shù)的Z變換3、Z變換的計算方法（自學(xué)）4、Z反變換及計算方法（自學(xué)）連續(xù)時間系統(tǒng)：微分方程(時域)線性代數(shù)方程(頻域或復(fù)頻域)拉氏變換離散時間系統(tǒng)：差分方程(時域)線性代數(shù)方程(Z域)Z變換1、Z變換的定義由上節(jié)的分析可知：兩邊取拉氏變換：若令則那么稱X(z)為x*(t)的Z變換，表示為Z[x*(t)]關(guān)于z的函數(shù)1、Z變換實(shí)際上可以看作數(shù)拉氏變換的一種變形。關(guān)于Z變換的幾點(diǎn)說明：2、Z變換中，X(z)是采樣脈沖序列x*(t)的Z變換，只考慮采樣時刻的信號值。而在采樣時刻，x(t)的值就是x(kT)，所以從這個意義上講，X(z)即是x*(t)的Z變換，可以寫為x(t)和x(kT)的Z變換，即：(1)線性:ZT(2)時域位移:ZTZT(3)比例:ZT(4)z域微分：ZT(5)z域位移：ZT(6)時域卷積：ZT(7)初值定理：(8)終值定理：2、Z變換的性質(zhì)x(t),y(t)為因果序列見書中表p30表1-1，要求掌握下面幾個重要函數(shù)的Z變換及其推導(dǎo)過程。其它函數(shù)的Z變換可以查表。解：當(dāng)n=0時，有(1)求和(2)求解：用級數(shù)相加法3、常見函數(shù)的Z變換(3)解1:用級數(shù)相加法解2:用Z變換的z域位移性質(zhì)(4)解:(5)解:歐拉公式根據(jù)Z變換的線性性質(zhì)則實(shí)部和虛部分別為(6)解1:用留數(shù)計算法設(shè)x(t)的拉氏變換X(s)有n個極點(diǎn)則x(t)的Z變換X(z)可以表示為：本題中3、Z變換的計算方法（自學(xué)）級數(shù)求和法部分分式法留數(shù)計算法利用Z變換性質(zhì)法具體內(nèi)容見：王積偉，吳振順，控制工程基礎(chǔ)，高等教育出版社，2001P213~2214、Z反變換及計算方法（自學(xué)）長除法部分分式法留數(shù)計算法作業(yè)2－D證明Z變換的時域位移性質(zhì)，即2－E求單位脈沖序列的Z變換§2.3線性離散系統(tǒng)一、離散信號和離散系統(tǒng)二、信號的采樣和恢復(fù)三、Z變換四、脈沖傳遞函數(shù)五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析六、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法四、脈沖傳遞函數(shù)1、脈沖傳遞函數(shù)定義2、脈沖傳遞函數(shù)計算3、離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)4、離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1、脈沖傳遞函數(shù)定義

脈沖傳遞函數(shù)是描述線性離散系統(tǒng)特性的重要手段。類所以線性連續(xù)系統(tǒng)中的傳遞函數(shù)。在線性移不變系統(tǒng)(LSI)中，在初始狀態(tài)為零的條件下，環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的輸出脈沖序列的Z變換之比稱為該環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，記為：注：由于物理系統(tǒng)的輸出通常是連續(xù)量，而Z變換定義的原函數(shù)是離散信號，所以在上圖系統(tǒng)輸出的末尾加一個虛設(shè)的同步采樣開關(guān)，用來得到y(tǒng)*(t)。則2、脈沖傳遞函數(shù)計算思路：根據(jù)LSI離散系統(tǒng)連續(xù)部分的單位沖擊響應(yīng)h(t)或傳遞函數(shù)G(s)來計算系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。上一頁LSI離散系統(tǒng)的輸入離散序列f*(t)可表示為：(1)設(shè)上述LSI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(t)，根據(jù)LSI系統(tǒng)的線性和移不變性，其輸入和輸出有如下對應(yīng)關(guān)系：所以，當(dāng)輸入為式(1)時，系統(tǒng)連續(xù)部分的輸出為：(2)連續(xù)部分的輸出結(jié)果虛設(shè)的采樣開關(guān)后，得到如下離散信號：對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，當(dāng)t<0時，h(t)=0，所以(2)式(2)為離散序列的卷積和，所以(3）根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義則G(z)為h(kT)的Z變換，即所以，可以由LSI系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)G(s)或單位脈沖響應(yīng)h(t)求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)則G(z)，步驟為：步驟一：由G(s)求h(t)，即步驟二：確定h(kT)，即步驟三：求h(kT)，的Z變換，即對于常見函數(shù)或信號，可以通過查Z變換表，由G(s)直接獲得G(z)：例1.13設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解：為了查表直接得出G(z)，首先將G(s)分解為部分分式之和。本例中，G(s)可分解為如下部分分式。查Z變換表：3、離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)例1.14求如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的脈沖傳遞函數(shù)（1）輸入端僅有一個采樣器解：用定義求解，即先求連續(xù)部分傳遞函數(shù)G(s)，再求G(z)該系統(tǒng)的微分方程為：利用拉氏變換可得傳遞函數(shù)為：（2）當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)之間有采樣器分割方法：將兩個環(huán)節(jié)視為離散系統(tǒng)串聯(lián)，分別求出各環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)，再將其相乘，得到系統(tǒng)總的脈沖傳遞函數(shù)。（3）當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)之間沒有采樣器分割方法：先求連續(xù)部分的傳遞函數(shù)，再求開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)：則開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：應(yīng)當(dāng)注意：例1.15若求(2)、(3)兩種情況下的脈沖傳遞函數(shù)。解:a)若有采樣分割b)若無采樣分割（4）帶零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的求法解：圖中連續(xù)部分的傳遞函數(shù)：設(shè)由拉氏變換和Z變換的平移定理4、離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)由于采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中的位置有多種可能性，因此，閉環(huán)采樣系統(tǒng)沒有唯一的結(jié)構(gòu)形式，以下列舉幾個常見的閉環(huán)采樣系統(tǒng)，并推導(dǎo)其脈沖傳遞函數(shù)。（1）解：對誤差信號進(jìn)行采樣：對上式作Z變換：從e*(t)到b(t)可以看作開環(huán)系統(tǒng)，所以：所以上述系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：（2）帶有數(shù)字校正器D(z)的采樣控制系統(tǒng)由圖可知：把(2)和(3)代入(1)，有代入(4)，有所以系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（3）由圖可知：所以：則系統(tǒng)的輸出的Z變換為無法寫出脈沖傳遞函數(shù)的其顯式表達(dá)式（4）結(jié)論：由(3)、(4)可知，閉環(huán)采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)無固定形式。有時無法寫出其顯式表達(dá)式，因此常用輸出量的Z變換代替。由圖可知：所以：五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性式控制系統(tǒng)重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。定義：如果系統(tǒng)受到外界擾動，不論它的初始偏差有多大，當(dāng)擾動取消后，都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，這種系統(tǒng)就叫做穩(wěn)定的系統(tǒng)。1、S平面軌跡在Z平面的映像線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件是系統(tǒng)的極點(diǎn)都位于s平面的左半部分。對于離散系統(tǒng)，需要在z平面中研究其穩(wěn)定性。由Z變換的定義：則：S平面與z平面的對應(yīng)關(guān)系：(1)對應(yīng)S平面虛軸與z平面以原點(diǎn)為圓心的單位圓(2)對應(yīng)S平面右半平面與z平面單位圓外側(cè)區(qū)域(3)對應(yīng)S平面左半平面與z平面單位圓內(nèi)側(cè)區(qū)域(4)在s平面，當(dāng)s沿虛軸從原點(diǎn)(ω=0)變化到時對應(yīng)到z平面上，幅角從0度沿逆時針繞原點(diǎn)變化到360度2、線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件z平面s平面研究領(lǐng)域極點(diǎn)都位于z平面的單位圓內(nèi)極點(diǎn)都位于s平面的左半部分穩(wěn)定條件線性離散系統(tǒng)線性連續(xù)系統(tǒng)例1.16求使圖示系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍（設(shè)T=1s）解：設(shè)前向通道傳遞函數(shù)為：則整個系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：設(shè)根據(jù)以前含有零階保持器開環(huán)系統(tǒng)的分析知將T=1s帶入上式，得系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的極點(diǎn)為：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須滿足：即使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為：

3、W平面的勞斯穩(wěn)定性判據(jù)（自學(xué)）在計算系統(tǒng)極點(diǎn)（求解特征方程）時，需要求解一元n次方程，當(dāng)n>4時求解非常困難。用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的簡便方法。(1)雙線性變換（W變換）該變換使z平面和w平面建立如下映射關(guān)系：z平面單位圓單位圓內(nèi)部單位圓外部w平面虛軸左半部分右半部分證明：令(2)勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)：勞斯表中第一列元素全部大于零。若出現(xiàn)小于零的元素，表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。假定線性系統(tǒng)的特征方程可寫成如下的一般形式則可以寫出勞斯表：例1.17圖示采樣系統(tǒng)T