材料力學(xué)教學(xué)課件幻燈片六

返回總目錄第5章

梁的應(yīng)力提要：本章將主要研究梁在線彈性范圍內(nèi)平面彎曲情況下的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。本章從平面假設(shè)出發(fā)，并設(shè)梁內(nèi)各縱向線之間無(wú)相互擠壓，從幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系三方面入手導(dǎo)出純彎曲時(shí)梁橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力公式，并將其推廣到橫力彎曲情形下。梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。本章還將介紹矩形、工字形、圓形和薄壁環(huán)形截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律以及最大切應(yīng)力的計(jì)算公式。在得到梁橫截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，將建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件，并依據(jù)強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。應(yīng)該注意的是，除了少數(shù)情形，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件是主要的。為了降低梁的最大正應(yīng)力，從而提高梁的抗彎能力，本章將從合理選擇截面形狀、采用變截面梁、合理配置梁的荷載和支座三方面來(lái)探討梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)。本章將簡(jiǎn)單討論非對(duì)稱截面梁產(chǎn)生平面彎曲的條件，從而建立彎曲中心的概念。此外，本章還將簡(jiǎn)單闡述梁的塑性極限計(jì)算的基本原理，提出塑性鉸的概念。

5.1梁橫截面上的正應(yīng)力在一般情形下，梁彎曲時(shí)其橫截面上既有彎矩M又有剪力，這種彎曲稱為橫力彎曲(bendingbytransversedeformation)。由上章可知，梁橫截面上的彎矩是由正應(yīng)力合成的，而剪力則是由切應(yīng)力合成的，因此，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。(a)(b)圖5.1梁的純彎曲(a)懸臂梁的純彎曲；(b)簡(jiǎn)支梁的純彎曲如果某段梁內(nèi)各橫截面上彎矩為常量而剪力為零，則該段梁的彎曲稱為純彎曲(purebending)。圖5.1中兩種梁上的AB段就屬于純彎曲。顯然，純彎曲時(shí)梁的橫截面上不存在切應(yīng)力。

一.純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力考慮到應(yīng)力與變形之間的關(guān)系，可以根據(jù)梁在純彎曲時(shí)的變形情況來(lái)推導(dǎo)梁橫截面上的彎曲正應(yīng)力(normalstressinbending)分布。現(xiàn)取一對(duì)稱截面梁(如矩形截面梁)，在梁的側(cè)面畫上兩條橫向線aa、bb以及兩條縱向線cc、dd，如圖5.2(a)所示。然后在梁兩端施加外力偶Me，使梁發(fā)生純彎曲。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在梁變形后，縱向線cc和dd彎曲成弧線，其中上面的cc線縮短，下面的dd線伸長(zhǎng)，而橫向線aa和bb仍保持為直線，并在相對(duì)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后繼續(xù)垂直于彎曲后的縱向線，如圖5.2(b)所示。5.1梁橫截面上的正應(yīng)力(a)(b)圖5.2純彎曲變形(a)畫有標(biāo)識(shí)線的對(duì)稱截面梁；(b)梁的純彎曲變形5.1梁橫截面上的正應(yīng)力根據(jù)上述變形現(xiàn)象，可做以下假設(shè)：梁在受力彎曲后，其橫截面會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，但仍保持為平面，且繼續(xù)垂直于梁變形后的軸線。這就是彎曲的平面假設(shè)(planeassumption)。同時(shí)還可以假設(shè)：梁內(nèi)各縱向線僅承受軸向拉伸或壓縮，即各縱向線之間無(wú)相互擠壓。這兩個(gè)假設(shè)已為實(shí)驗(yàn)和理論分析所證實(shí)。梁彎曲變形后，其凹邊的縱向線縮短，凸邊的縱向線伸長(zhǎng)，由于變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向線的長(zhǎng)度保持不變，這一縱向平面稱為中性層(neutralsurface)，中性層與橫截面的交線稱為該截面的中性軸(neutralaxis)，如圖5.3所示。梁在彎曲時(shí)，各橫截面就是繞中性軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的。5.1梁橫截面上的正應(yīng)力圖5.3中性層與中性軸現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力公式。與推導(dǎo)等直圓桿的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式相似，也要從幾何、物理和靜力學(xué)三方面來(lái)綜合考慮。5.1梁橫截面上的正應(yīng)力幾何方面假想從梁中截取長(zhǎng)dx的微段進(jìn)行分析。梁彎曲后，由平面假設(shè)可知，兩橫截面將相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，如圖5.4(a)所示，圖中的為中性層的曲率半徑。取梁的軸線為x軸，橫截面的對(duì)稱軸為y軸，中性軸(其在橫截面上的具體位置尚未確定)為z軸，如圖5.4(b)所示，現(xiàn)求距中性軸為y處的縱向線ab的線應(yīng)變。ab線變形前原長(zhǎng)為dx(即)，變形的長(zhǎng)度為，故ab線的縱向線應(yīng)變?yōu)?/p>

(a)上式表明，梁橫截面上各點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比。5.1梁橫截面上的正應(yīng)力2.物理方面如前所述，梁內(nèi)各縱向線之間無(wú)相互擠壓，因此，當(dāng)材料處于線彈性范圍內(nèi)，且拉伸和壓縮彈性模量相同時(shí)，由虎克定律可得

(b)上式表明，梁橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比，而在離中性軸等距線上各點(diǎn)處的正應(yīng)力相等，如圖5.4(c)所示。5.1梁橫截面上的正應(yīng)力(a)(b)(c)圖5.4彎曲正應(yīng)力力分布梁彎曲后截截面相對(duì)變變化；(b)梁截面坐標(biāo)標(biāo)軸；(c)梁截面正應(yīng)應(yīng)力分布5.1梁橫截面上上的正應(yīng)力力3.靜力學(xué)方面面由于中性軸軸的位置及及曲率半徑徑均均未確定定，為此需需從靜力學(xué)學(xué)方面加以以考慮。在梁的橫截截面上任取取一微面積積dA，在該面積積上作用有有微內(nèi)力，，構(gòu)成了了空間平行行力系，因因此有可能能組成三個(gè)個(gè)內(nèi)力分量量：軸力FN，繞y、z軸之矩My、Mz，即5.1梁橫截面上上的正應(yīng)力力如前所述，，梁在純彎彎曲時(shí)，其其橫截面上上的內(nèi)力分分量?jī)H有彎彎矩M，故截面上上的FN和My均等于零，，而Mz就是橫截面面上的彎矩矩M，即將式(b)代入以上三三式，并根根據(jù)附錄Ⅰ中有關(guān)的截截面幾何參參數(shù)的定義義，可得(d)(e)(c)5.1梁橫截面上上的正應(yīng)力力(h)(g)(f)式中，Sz為橫截面對(duì)對(duì)z軸的靜矩(staticmomentofanarea)，Iyz為橫截面的的慣性積(productofinertiaofanarea)，Iz則為橫截面面對(duì)中性軸軸z的慣性矩(momentofinertiaofanarea)。式(f)中，由于，，故必有有Sz=0。那么根據(jù)據(jù)附錄Ⅰ可知，中性性軸z軸必然通過(guò)過(guò)橫截面的的形心(centerofanarea)，于是中性性軸的位置置得以確定定。5.1梁橫截面上上的正應(yīng)力力式(g)中，由于y軸是橫截面面的對(duì)稱軸軸，故有Iyz=0，因此該式式自然成立立。最后，可由由式(h)得到中性層層的曲率(curvature)為式中，EIz稱為梁的彎曲曲剛度(flexuralrigidity)。上式表明，，用曲率1/P表示的梁的彎彎曲變形與梁梁所承受的彎彎矩M成正比，與彎彎曲剛度EIz成反比。將式(5.1)代入式(b)，即得(5.1)(5.2)5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力這就是梁在純純彎曲情形下下橫截面上任任一點(diǎn)處的正正應(yīng)力公式。。式中，M為橫截面上的的彎矩，y為所求應(yīng)力點(diǎn)點(diǎn)至y軸的距離，Iz為橫截面對(duì)中中性軸z的慣性矩。在式(5.2)中，將彎矩M和距離y按照規(guī)定的符符號(hào)代入計(jì)算算，所得到的的正應(yīng)力σ若為正值，即即為拉應(yīng)力，，若為負(fù)值則則為壓應(yīng)力。。在具體計(jì)算算過(guò)程中，一一般取彎矩M和距離y的絕對(duì)值代入入式(5.2)進(jìn)行計(jì)算，而而正應(yīng)力的拉拉、壓則依據(jù)據(jù)梁的變形情情況來(lái)判斷：：以中性層為為分界線，梁梁變形后凸邊邊的應(yīng)力為拉拉應(yīng)力，凹邊邊的應(yīng)力則為為壓應(yīng)力。實(shí)實(shí)際上，根據(jù)據(jù)彎矩M的方向很容易易判斷出梁的的變形情況。。必須說(shuō)明的是是，式(5.2)除適用于矩形形截面外，也也適用于具有有對(duì)稱軸y的其他各種形形狀的截面。。5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力從式(5.2)可以看出，對(duì)對(duì)于等截面梁梁來(lái)說(shuō)，最大大彎曲正應(yīng)力力發(fā)生在橫截截面上距中性性軸最遠(yuǎn)(即截面上、下下邊緣)的各點(diǎn)處，其其值為令則有(5.3)(5.4)式中，Wz稱為彎曲截面系數(shù)數(shù)(sectionmodulusinbending)，是截面的幾幾何性質(zhì)之一一，其值與橫橫截面的形狀狀和尺寸有關(guān)關(guān)，單位為m3。5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力對(duì)于如圖5.5(a)所示的矩形截截面，有對(duì)于如圖5.5(b)所示的圓形截截面，有對(duì)于軋制型鋼鋼，其彎曲截截面系數(shù)Wz可直接從附錄錄2中的型鋼規(guī)格格表中查得。。(5.6)(5.5)5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力(a)(b)圖5.5矩形與圓形截截面的彎曲截截面系數(shù)(a)矩形截面梁；；(b)圓形截面梁5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力梁受彎時(shí)，其其橫截面上既既有拉應(yīng)力也也有壓應(yīng)力。。對(duì)于矩形、圓圓形和工字形形這類截面，，其中性軸為為橫截面的對(duì)對(duì)稱軸，故其其最大拉應(yīng)力力和最大壓應(yīng)應(yīng)力的絕對(duì)值值相等，如圖圖5.6(a)所示；對(duì)于T字形這類中性性軸不是對(duì)稱稱軸的截面，，其最大拉應(yīng)應(yīng)力和最大壓壓應(yīng)力的絕對(duì)對(duì)值則不等，，如圖5.6(b)所示。對(duì)于前者的最最大拉應(yīng)力和和最大壓應(yīng)力力，可直接用用公式(5.4)求得；而對(duì)于于后者，則應(yīng)應(yīng)分別將截面面受拉和受壓壓一側(cè)距中性性軸最遠(yuǎn)的距距離代入式(5.2)，以求得相應(yīng)應(yīng)的最大應(yīng)力力。5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力(a)(b)圖5.6最大拉應(yīng)力與與最大壓應(yīng)力力5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力二.橫力彎曲時(shí)梁梁橫截面上的的正應(yīng)力式(5.2)是根據(jù)純彎曲曲的情形推導(dǎo)導(dǎo)出來(lái)的梁橫橫截面上任一一點(diǎn)處的正應(yīng)應(yīng)力公式，對(duì)對(duì)于橫力彎曲曲(即橫截面上既既有剪力又有有彎矩的情形形)，該公式也是是近似適用的的。當(dāng)梁上作用有有橫向力時(shí)，，由于切應(yīng)力力的存在，梁梁的橫截面在在梁變形后將將發(fā)生翹曲，，不再保持為為平面，同時(shí)時(shí)梁內(nèi)各縱向向線之間還會(huì)會(huì)產(chǎn)生某種程程度的擠壓。。但是，彈性性理論分析和和實(shí)驗(yàn)研究的的結(jié)果表明，，對(duì)于跨長(zhǎng)與與截面高度之之比(跨高比)l/h大于5的細(xì)長(zhǎng)梁，切切應(yīng)力的存在在對(duì)正應(yīng)力的的分布影響甚甚微，可以忽忽略不計(jì)。在在實(shí)際工程中中常用的梁，，其跨高比l/h的值一般遠(yuǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于5。因此，應(yīng)用用純彎曲時(shí)的的正應(yīng)力公式式來(lái)計(jì)算梁在在橫力彎曲時(shí)時(shí)橫截面上的的正應(yīng)力，足足以滿足工程程上的精度要要求，且梁的的跨高比越大大，計(jì)算結(jié)果果的誤差就越越小。5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力【例5.1】一簡(jiǎn)支木梁受受力如圖5.7(a)所示。已知q=2kN/m，l=2m。試比較梁在在豎放(圖5.7(b))和平放(圖5.7(c))時(shí)橫截面c處的最大正應(yīng)應(yīng)力。(a)(b)(c)圖5.7例5.1圖5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力梁在豎放時(shí)，，其彎曲截面面系數(shù)為解：首先計(jì)算算橫截面C處的彎矩，有有故橫截面C處的最大正應(yīng)應(yīng)力為5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力顯然，有也就是說(shuō)，梁梁在豎放時(shí)其其危險(xiǎn)截面處處承受的最大大正應(yīng)力是平平放時(shí)的一半半。因此，在在建筑結(jié)構(gòu)中中，梁一般采采用豎放形式式?！纠?.2】圖5.8(a)所示T字形截面簡(jiǎn)支支梁在中點(diǎn)C處承受集中力力F的作用。已知知F=50kN，橫截面對(duì)于于中性軸z軸的慣性矩。。試試求彎矩最大大截面上的最最大拉應(yīng)力和和最大壓應(yīng)力力。5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力圖5.8例5.2圖5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力根據(jù)中性軸的的位置和梁的的受力情況，，可以確定梁梁的中性軸以以上部分承受受壓應(yīng)力，以以下部分則承承受拉應(yīng)力。。最大拉應(yīng)力力和最大壓應(yīng)應(yīng)力的作用點(diǎn)點(diǎn)分別為距中中性軸最遠(yuǎn)的的下邊緣和上上邊緣的各點(diǎn)點(diǎn)。將圖5.8(b)所示尺寸代入入式(5.2)，有5.1梁橫截面上的的正應(yīng)力5.2梁橫截面上的的切應(yīng)力在橫力彎曲的的情形下，梁梁的橫截面上上除了有彎曲曲正應(yīng)力外，，還有彎曲切切應(yīng)力(shearingstressinbending)。切應(yīng)力在截截面上的分布布規(guī)律較之正正應(yīng)力要復(fù)雜雜，本節(jié)不打打算對(duì)其做詳詳細(xì)討論，僅僅準(zhǔn)備對(duì)矩形形截面梁、工工字形截面梁梁、圓形截面面梁和薄壁環(huán)環(huán)形截面梁的的切應(yīng)力分布布規(guī)律作一簡(jiǎn)簡(jiǎn)單介紹，具具體的推導(dǎo)過(guò)過(guò)程可參閱其其他相關(guān)教材材。1.矩形截面梁一矩形截面梁梁的橫截面如如圖5.9(a)所示，其寬為為b，高為h，截面上作用用有剪力和彎矩矩M。為了強(qiáng)調(diào)切切應(yīng)力，圖中中未畫出正應(yīng)應(yīng)力。對(duì)于狹狹長(zhǎng)矩形截面，由于梁梁的側(cè)面上沒(méi)沒(méi)有切應(yīng)力，，故橫截面上上側(cè)邊各點(diǎn)處處的切應(yīng)力必必然平行于側(cè)邊邊，而y軸處的切應(yīng)力力必然沿著y方向。5.2梁橫截面上的的切應(yīng)力(a)(b)圖5.9矩形截面切應(yīng)應(yīng)力分布規(guī)律律(a)矩形截面切應(yīng)應(yīng)力分布；(b)矩形截面切應(yīng)應(yīng)力沿高度分分布考慮到狹長(zhǎng)矩矩形截面上的的切應(yīng)力沿寬寬度方向的變變化不大，于于是可作假設(shè)設(shè)如下：(1)橫截面上各點(diǎn)點(diǎn)處的切應(yīng)力力均平行于側(cè)側(cè)邊；(2)距中性軸z軸等距離的各各點(diǎn)處的切應(yīng)應(yīng)力大小相等等。彈性理論論分析的結(jié)果果表明，對(duì)于于狹長(zhǎng)矩形截截面梁，上述述假設(shè)是正確確的；對(duì)于一一般高度大于于寬度的矩形形截面梁，在在工程計(jì)算中中也能滿足精精度要求。根據(jù)以上假設(shè)設(shè)，再利用靜靜力平衡條件件，就可以推推導(dǎo)出矩形截截面等直梁橫橫截面上任一一點(diǎn)處切應(yīng)力力的計(jì)算公式式。此處略去去推導(dǎo)過(guò)程，，只給出結(jié)果果：(5.7)5.2梁橫截面上的的切應(yīng)力式中，F(xiàn)Q為橫截面上的的剪力，Iz為橫截面對(duì)中中性軸z軸的慣性矩，，b為矩形截面的的寬度，S′為橫截面上距距中性軸為y的橫線以外部部分的面積(即圖5.9(a)中的陰影部分分面積)對(duì)中性軸的靜靜矩。切應(yīng)力力τ的方向與FQ剪力的方向相相同。對(duì)于矩形截面面，靜矩等于于所考慮面積積與該面積形形心到中性軸軸距離的乘積積，即將上式代入式(5.7)，即可得到截面上上距中性軸為y處各點(diǎn)的切應(yīng)力(5.8)5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力由上式可知，矩形形截面上的切應(yīng)力力沿著截面高度按按二次拋物線規(guī)律律變化，如圖5.9(b)所示。當(dāng)時(shí)時(shí)，即在在橫截面的上、下下邊緣處，切應(yīng)力；；當(dāng)時(shí)時(shí)，，即在中性軸上各各點(diǎn)處，切應(yīng)力最最大，其值為已知矩形截面對(duì)中中性軸的慣性矩，，將其代入上式式，即得(5.9)式中，A=bh，為矩形截面的面面積。從上式可以以看出，矩形截面面梁的最大切應(yīng)力力為其平均切應(yīng)力力的1.5倍。5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力2.工字形截面梁在土木工程中經(jīng)常常要用到工字形截截面梁。工字形截截面可以簡(jiǎn)化為圖圖5.10(a)所示的圖形，由翼翼緣和腹板組成。。在工字形截面的的翼緣和腹板上的的切應(yīng)力分布是不不同的，需要分別別研究。首先分析工字形截截面翼緣上的切應(yīng)應(yīng)力分布。由于翼緣上、下表表面上沒(méi)有切應(yīng)力力的存在，而且翼翼緣的厚度很薄，，因此翼緣上的切切應(yīng)力主要是水平平方向的切應(yīng)力分分量，平行于y軸方向的切應(yīng)力分分量則是次要的。。研究表明，翼緣上上的最大切應(yīng)力比比腹板上的最大切切應(yīng)力要小得多，，因此在強(qiáng)度計(jì)算算時(shí)一般不予考慮慮。5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力至于工字形截面的的腹板，則可視為為一狹長(zhǎng)矩形，那那么在研究矩形截截面時(shí)的兩個(gè)假設(shè)設(shè)同樣適用。于是是，可由式(5.7)求得腹板上任一點(diǎn)點(diǎn)處的切應(yīng)力為式中，F(xiàn)Q為橫截面上的剪力力，Iz為工字形截面對(duì)中中性軸z軸的慣性矩，d為腹板厚度，為橫橫截面上距中性軸軸為y的橫線以外部分(含翼緣)的面積(即圖5.10(a)中的陰影部分面積積)對(duì)中性軸的靜矩。。腹板部分的切應(yīng)應(yīng)力方向與剪力FQ的方向相同，切應(yīng)應(yīng)力的大小則同樣樣是沿腹板高度按按二次拋物線規(guī)律律變化，其最大切切應(yīng)力也發(fā)生在中中性軸上，如圖5.10(b)所示(5.10)5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力(a)(b)圖5.10工字形截面切應(yīng)力力分布規(guī)律(a)工字形截面切應(yīng)力力分布；(b)工字形截面切應(yīng)力力沿高度分布5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力這也是整個(gè)橫截面面上的最大切應(yīng)力力，其值為式中，為中中性軸任一邊的半半個(gè)橫截面面積對(duì)對(duì)中性軸z軸的靜矩。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，對(duì)于于工字鋼截面，上上式中的可可查型鋼規(guī)格格表中的得到。由圖5.10(b)可見，腹板上的最最大切應(yīng)力和最小小切應(yīng)力相差不大大，接近于均勻分布。由于于截面上的剪力幾幾乎全部(約95%～97%)由腹板承擔(dān)，因此在工程上常常常用剪力除以腹板板面積來(lái)近似計(jì)算算工字形截面梁的的最大切應(yīng)力，即(5.11)5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力式中，A1=dh1，為腹板的面積。。工字形截面梁在受受彎時(shí)，切應(yīng)力主主要是由腹板承擔(dān)擔(dān)，而彎曲正應(yīng)力力則主要由上、下下翼緣承擔(dān)，這樣樣截面上各處的材材料就可以得到充充分利用。3.圓形截面梁在土木工程中，圓圓形截面梁多用于于木結(jié)構(gòu)。圓形截截面上的切應(yīng)力分分布規(guī)律比矩形截截面還要復(fù)雜，此此處也不作詳細(xì)推推導(dǎo)。(5.12)5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力由切應(yīng)力互等定理理可知，任意橫截截面上各點(diǎn)的切應(yīng)應(yīng)力必與圓周相切切，因此對(duì)矩形截截面所作的兩個(gè)假假設(shè)在此不成立。。但研究表明，圓形形截面上的最大切切應(yīng)力仍在中性軸軸上各點(diǎn)處，而在在中性軸兩端的切切應(yīng)力方向都與y軸平行，故可假設(shè)設(shè)中性軸上切應(yīng)力力方向均平行于剪剪力FQ，且各點(diǎn)處的切應(yīng)應(yīng)力大小相等。于于是可以采用公式式(5.7)來(lái)求最大切應(yīng)力，，只是要要將該式中的b用圓直徑d代替，則為為半圓面積對(duì)中性性軸的靜矩，其值值為。再再將圓形截面對(duì)中中性軸的慣性矩代代入式式(5.7)，于是有(5.13)5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力式中，，，為圓形截面面的面積。由上式可知，圓形形截面上的最大切切應(yīng)力為截面上平平均切應(yīng)力的3/4倍。圓形截面上的的切應(yīng)力分布規(guī)律律如圖5.11所示。圖5.11圓形截面切應(yīng)力分分布規(guī)律5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力4.薄壁環(huán)形截面梁如圖5.12所示為一薄壁環(huán)形形截面，圓環(huán)的平平均半徑為r，壁厚為。由由于，，因此可作作如下假設(shè)：(1)橫截面上切應(yīng)力的的方向相切于圓周周；(2)切應(yīng)力的大小沿壁壁厚均勻分布。根根據(jù)這些假設(shè)推導(dǎo)導(dǎo)出來(lái)的橫截面上上任一點(diǎn)切應(yīng)力的的計(jì)算公式與式(5.7)具有相同的形式。。對(duì)于薄壁環(huán)形截面面，其最大切應(yīng)力力仍發(fā)生在中性軸軸上。采用式(5.7)來(lái)求最大切應(yīng)力時(shí)時(shí)，需將將該式中的b用兩倍的壁厚2代替，而則則為半個(gè)圓環(huán)面積積對(duì)中性軸的靜矩矩，其值為。。由附錄1可知環(huán)形截面對(duì)中中性軸的慣性矩，，將其代入式式(5.7)，于是有(5.14)5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力式中，，，為環(huán)形形截面的面積。由由上式可知，環(huán)形形截面上的最大切切應(yīng)力為截面上平平均切應(yīng)力的2倍。環(huán)形截面上的的切應(yīng)力分布規(guī)律律如圖5.12所示。圖5.12薄壁環(huán)形截面切應(yīng)應(yīng)力分布規(guī)律5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力從上面的分析可以以看出，對(duì)于等直直梁而言，其最大大切應(yīng)力發(fā)生在最最大剪力所在橫截截面上，一般位于于該截面的中性軸軸上。由以上各種種形狀的截面上的的最大切應(yīng)力計(jì)算算公式可知，等直直梁橫截面上最大大切應(yīng)力的一般公公式可統(tǒng)一表述為為式中，為梁上的最最大剪力，Iz為橫截面對(duì)中性軸軸z軸的慣性矩，b為橫截面在中性軸軸處的寬度，為橫橫截面上中性軸一一側(cè)的面積對(duì)中性性軸的靜矩。(5.15)5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力【例5.3】圖5.13(a)所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，在在中點(diǎn)處承受集中中力F的作用，已知F=150kN。試比較該梁中最最大正應(yīng)力和最大大切應(yīng)力的大小。。解：首先作簡(jiǎn)支梁梁的彎矩圖和剪力力圖，如圖5.13(b)和(c)所示。從圖上可以以看出，該梁所承承受的最大彎矩和和最大剪力分別為為現(xiàn)在來(lái)求梁內(nèi)的最最大正應(yīng)力。查型型鋼規(guī)格表，可知知56a號(hào)工字鋼的(即型鋼規(guī)格表內(nèi)的的值)。于是可得梁內(nèi)的的最大正應(yīng)力為5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力圖5.13例5.3圖5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力接著來(lái)求梁內(nèi)的最最大切應(yīng)力。查型型鋼規(guī)格表，可知知56a號(hào)工字鋼的和腹板厚度d=12.5mm。于是可得梁內(nèi)的的最大切應(yīng)力為最后進(jìn)行比較，可可得由此可見，梁中的的最大正應(yīng)力比最最大切應(yīng)力要大得得多。因此在校核核梁的強(qiáng)度時(shí)，有有時(shí)只需考慮正應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度條件而忽忽略切應(yīng)力強(qiáng)度條條件。5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力【例5.4】一外伸梁受力及截截面尺寸如圖5.14(a)所示。已知：F1=400kN，F(xiàn)2=200kN，a=2m，h1=400mm，h2=300mm，b1=300mm，b2=200mm。試求該梁中的最最大彎曲切應(yīng)力。。解：首先求梁的支支反力，得FA=150kN，F(xiàn)B=450kN作外伸梁的剪力圖圖，如圖5.14(b)所示。從圖上可以以看出，該梁所承承受的最大剪力為為5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力(a)(b)圖5.14例5.4圖5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力再求該截面的兩個(gè)個(gè)幾何參數(shù)(分別用大矩形面積積的慣性矩、靜矩矩減去小矩形面積積的慣性矩和靜矩矩)于是，可得梁中的的最大切應(yīng)力為5.2梁橫截面上的切應(yīng)應(yīng)力5.3梁的強(qiáng)度條件前面已提到，梁在在橫力彎曲時(shí)，其其橫截面上同時(shí)存存在著彎矩和剪力力，因此，一般應(yīng)應(yīng)從正應(yīng)力和切應(yīng)應(yīng)力兩個(gè)方面來(lái)考考慮梁的強(qiáng)度計(jì)算算。在實(shí)際工程程中使用的的梁以細(xì)長(zhǎng)長(zhǎng)梁居多，，一般情況況下，梁很很少發(fā)生剪剪切破壞，，往往都是是彎曲破壞壞。也就是是說(shuō)，對(duì)于于細(xì)長(zhǎng)梁，，其強(qiáng)度主主要是由正正應(yīng)力控制制的，按照照正應(yīng)力強(qiáng)強(qiáng)度條件設(shè)設(shè)計(jì)的梁，，一般都能能滿足切應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度要要求，不需需要進(jìn)行專專門的切應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度校校核。但在少數(shù)情情況下，比比如對(duì)于彎彎矩較小而而剪力很大大的梁(如短粗梁和和集中荷載載作用在支支座附近的的梁)、鉚接或焊焊接的組合合截面鋼梁梁、或者使使用某些抗抗剪能力較較差的材料料(如木材)制作的梁等等，除了要要進(jìn)行正應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度校校核外，還還要進(jìn)行切切應(yīng)力強(qiáng)度度校核。一.梁的正應(yīng)力力強(qiáng)度條件件對(duì)于等直梁梁來(lái)說(shuō)，其其最大彎曲曲正應(yīng)力發(fā)發(fā)生在最大大彎矩所在在截面上距距中性軸最最遠(yuǎn)(即上、下邊邊緣)的各點(diǎn)處，，而該處的的切應(yīng)力為為零或與該該處的正應(yīng)應(yīng)力相比可可忽略不計(jì)計(jì)，因而可可將橫截面面上最大正正應(yīng)力所在在各點(diǎn)處的的應(yīng)力狀態(tài)態(tài)視為單軸軸應(yīng)力狀態(tài)態(tài)。于是，，可按照單單軸應(yīng)力狀狀態(tài)下強(qiáng)度度條件的形形式來(lái)建立立梁的正應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度條條件：梁的的最大工作作正應(yīng)力不不得超過(guò)過(guò)材料的許許用彎曲正正應(yīng)力，，即(5.16)材料的許用用彎曲正應(yīng)應(yīng)力一般近近似取材料料的許用拉拉(壓)應(yīng)力，或者者按有關(guān)的的設(shè)計(jì)規(guī)范范選取。5.3梁的強(qiáng)度條條件利用正應(yīng)力力強(qiáng)度條件件式(5.16)，即可對(duì)梁梁按照正應(yīng)應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)強(qiáng)度計(jì)算，，解決強(qiáng)度度校核、截截面設(shè)計(jì)和和許可荷載載的確定等等三類問(wèn)題題。必須指出的的是，對(duì)于于用脆性材材料(如鑄鐵)制成的梁，，由于其許許用拉應(yīng)力力和許用壓壓應(yīng)力并不不相等，而而且其橫截截面的中性性軸往往也也不是對(duì)稱稱軸，因此此必須按照照拉伸和壓壓縮分別進(jìn)進(jìn)行強(qiáng)度校校核，即要要求梁的最最大工作拉拉應(yīng)力和最最大工作壓壓應(yīng)力(要注意的是是，二者常常常發(fā)生在在不同的橫橫截面上)分別不超過(guò)過(guò)材料的許許用拉應(yīng)力力和許用壓壓應(yīng)力。5.3梁的強(qiáng)度條條件(a)(b)圖5.15例5.5圖【例5.5】由兩根28a號(hào)槽鋼組成成的簡(jiǎn)支梁梁受三個(gè)集集中力作用用，如圖5.15(a)所示。已知知該梁由Q235鋼制成，其其許用彎曲曲正應(yīng)力。試求梁的的許可荷載載[F]。5.3梁的強(qiáng)度條條件解：首先求求梁的支反反力，得FA=FB=1.5F作梁的彎矩矩圖，如圖圖5.15(b)所示。從圖圖上可以看看出，該梁梁所承受的的最大彎矩矩在梁的中中點(diǎn)上，其其值為由型鋼規(guī)格格表查得28a號(hào)槽鋼的彎彎曲截面系系數(shù)為340.328cm3，由于該梁梁是由兩根根28a號(hào)槽鋼組成成的，故梁梁的Wz值為5.3梁的強(qiáng)度條條件于是，由式式(5.16)可得故該梁的許許可荷載為為[F]=28.9kN。5.3梁的強(qiáng)度條條件圖5.16例5.6圖【例5.6】T字形鑄鐵外外伸梁受力力如圖5.16(a)所示。已知知材料的許許用拉應(yīng)力力為，，許用用壓應(yīng)力為為。。試校校核此梁的的強(qiáng)度。5.3梁的強(qiáng)度條條件解：首先確確定中性軸軸的位置。。根據(jù)形心心坐標(biāo)公式式，可求得得于是，依據(jù)據(jù)平行移軸軸公式可求求得截面對(duì)對(duì)中性軸的的慣性矩Iz為作梁的彎矩矩圖如圖5.16(b)所示。由圖圖可知，B截面和C截面的彎矩矩分別為5.3梁的強(qiáng)度條條件從截面彎矩矩、截面上上下邊緣到到中性軸的的距離以及及材料的許許用應(yīng)力三三方面綜合合考慮，危危險(xiǎn)點(diǎn)可能能出現(xiàn)在B截面的上下下邊緣和C截面的下邊邊緣，而不不可能出現(xiàn)現(xiàn)在C截面的上邊邊緣。B截面上邊緣緣受拉，有有B截面下邊緣緣受壓，有有5.3梁的強(qiáng)度條條件C截面下邊緣緣受拉，有有因此梁的強(qiáng)強(qiáng)度不滿足足要求。從此例題可可以看出，，對(duì)于中性性軸不是截截面對(duì)稱軸軸的用脆性性材料制成成的梁，其其危險(xiǎn)截面面不一定就就是彎矩最最大的截面面。當(dāng)出現(xiàn)現(xiàn)與最大彎彎矩反向的的較大彎矩矩時(shí)，如果果此截面的的最大拉應(yīng)應(yīng)力邊距中中性軸較遠(yuǎn)遠(yuǎn)，算出的的結(jié)果就有有可能超過(guò)過(guò)許用拉應(yīng)應(yīng)力，故此此類問(wèn)題考考慮要全面面。T字形截面梁梁是工程中中常用的梁梁，應(yīng)注意意合理放置置，盡量使使最大彎矩矩截面上受受拉邊距中中性軸較近近。此外，，在設(shè)計(jì)T字形截面的的尺寸時(shí)，，為了充分分利用材料料的抗拉、、抗壓強(qiáng)度度，應(yīng)該使使中性軸至至截面上下下邊緣的距距離之比恰恰好等于許許用拉、壓壓應(yīng)力之比比。5.3梁的強(qiáng)度條條件【例5.7】圖5.17(a)所示由工字字鋼制成的的外伸梁，，其許用彎彎曲正應(yīng)力力為，，試試選擇工字字鋼的型號(hào)號(hào)。圖5.17例5.7圖解：作梁的彎矩矩圖，如圖圖5.17(b)所示。從圖圖上可以看看出，該梁梁所承受的的最大彎矩矩在B截面上，其其值為5.3梁的強(qiáng)度條條件于是，由正正應(yīng)力強(qiáng)度度條件可得得梁所必需需的彎曲截截面系數(shù)Wz為由型鋼規(guī)格格表查得25b號(hào)工字鋼的的彎曲截面面系數(shù)為422.72cm3，此值雖小小于梁所必必需的Wz值425cm3，但僅僅相相差0.54%，此時(shí)最大大正應(yīng)力為為超過(guò)許用彎彎曲正應(yīng)力力160MPa不到1%。由于此差差異在一般般規(guī)定的5%范圍以內(nèi)，，故可選用用25b號(hào)工字鋼。。5.3梁的強(qiáng)度條條件二.梁的切應(yīng)力力強(qiáng)度條件件前面已提到到，等直梁梁的最大正正應(yīng)力發(fā)生生在最大彎彎矩所在橫橫截面上距距中性軸最最遠(yuǎn)的各點(diǎn)點(diǎn)處，該處處的切應(yīng)力力為零，處處于單軸應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)。。至于等直直梁的最大大切應(yīng)力，，則發(fā)生在在最大剪力力所在橫截截面的中性性軸上各點(diǎn)點(diǎn)處，該處處的正應(yīng)力力為零，處處于純剪切切應(yīng)力狀態(tài)態(tài)。于是，，可按照純純剪切應(yīng)力力狀態(tài)下強(qiáng)強(qiáng)度條件的的形式來(lái)建建立梁的切切應(yīng)力強(qiáng)度度條件：梁梁的最大工工作切應(yīng)力力不不得超超過(guò)材料的的許用切應(yīng)應(yīng)力，，即(5.17)材料的許用用切應(yīng)力在在有關(guān)的設(shè)設(shè)計(jì)規(guī)范中中有具體的的規(guī)定。5.3梁的強(qiáng)度條條件【例5.8】若例題5.7中的外伸梁梁材料的許許用切應(yīng)力力為，，工工字鋼的型型號(hào)選定后后，試校核核該梁的切切應(yīng)力強(qiáng)度度。解：在例題題5.7中，已選用用25b號(hào)工字鋼，，其最大正正應(yīng)力雖超超過(guò)許用正正應(yīng)力，但但差值在一一般規(guī)定的的5%范圍以內(nèi)，，故仍滿足足正應(yīng)力強(qiáng)強(qiáng)度條件?！，F(xiàn)在來(lái)校校核該梁的的切應(yīng)力強(qiáng)強(qiáng)度。作梁的剪力力圖，如圖圖5.18所示。從圖圖上可以看看出，該梁梁所承受的的最大剪力力為對(duì)于25b號(hào)工字鋼，，查型鋼規(guī)規(guī)格表，有有5.3梁的強(qiáng)度條條件圖5.18例5.8圖5.3梁的強(qiáng)度條條件腹板厚度由式(5.11)可得到梁的的最大切應(yīng)應(yīng)力，并校校核切應(yīng)力力強(qiáng)度：在滿足正應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度條條件的同時(shí)時(shí)，梁的切切應(yīng)力強(qiáng)度度條件也滿滿足，故梁梁是安全的的。在設(shè)計(jì)梁的的截面時(shí)，，通常是先先按正應(yīng)力力強(qiáng)度條件件來(lái)選出截截面，再進(jìn)進(jìn)行切應(yīng)力力強(qiáng)度校核核。從本題題可以看出出，在一般般情形下，，梁的強(qiáng)度度控制因素素主要是正正應(yīng)力，按按照正應(yīng)力力強(qiáng)度條件件設(shè)計(jì)的截截面尺寸，，并不需要要再按切應(yīng)應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)強(qiáng)度校核。。5.3梁的強(qiáng)度條條件由該式可知知，減小最最大彎矩，，提高彎曲曲截面系數(shù)數(shù)，或者對(duì)對(duì)彎矩較大大的梁段進(jìn)進(jìn)行局部加加強(qiáng)，都能能降低梁的的最大正應(yīng)應(yīng)力，從而而提高梁的的抗彎能力力，使梁的的設(shè)計(jì)更為為合理。在在實(shí)際工程程中，經(jīng)常常采用的合合理設(shè)計(jì)方方法包括：：合理選擇擇截面形狀狀、采用變變截面梁、、合理配置置梁的荷載載和支座。。5.4梁的合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)如前所述，，梁的橫截截面上一般般同時(shí)存在在著正應(yīng)力力和切應(yīng)力力，但梁的的強(qiáng)度通常常都是由正正應(yīng)力強(qiáng)度度條件控制制的。因此此，在按強(qiáng)強(qiáng)度條件設(shè)設(shè)計(jì)梁時(shí)，，主要的依依據(jù)就是梁梁的正應(yīng)力力強(qiáng)度條件件式(5.16)從正應(yīng)力強(qiáng)強(qiáng)度條件式式(5.16)可以看出，，當(dāng)彎矩確確定時(shí)，梁梁的彎曲截截面系數(shù)越越大，橫截截面上承受受的正應(yīng)力力就越小。。當(dāng)然，增大大梁的截面面面積就能能使彎曲截截面系數(shù)Wz增加，但這這樣會(huì)造成成材料的浪浪費(fèi)，從經(jīng)經(jīng)濟(jì)角度看看是不可取取的。合理的截面面設(shè)計(jì)，就就是指在滿滿足強(qiáng)度要要求的前提提下如何選選擇截面面面積A最小(即材料的耗耗用量最少少)的截面形式式，或者說(shuō)說(shuō)是在截面面面積A相同(即材料的耗耗用量相同同)的情況下，，如何盡可可能地去獲獲得更大的的彎曲截面面系數(shù)Wz。由于橫截面面上各點(diǎn)的的正應(yīng)力正正比于各點(diǎn)點(diǎn)至中性軸軸的距離，，當(dāng)截面上上下邊緣各各點(diǎn)的應(yīng)力力達(dá)到許用用應(yīng)力時(shí)，，靠近中性性軸處的各各點(diǎn)的正應(yīng)應(yīng)力仍很小小，此處的的材料未能能得到充分分利用。1.合理選擇截截面形狀5.4梁的合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)因此，中性性軸附近面面積較多的的截面顯然然是不合理理的，圓形形截面就屬屬于這類截截面。在同樣的面面積下，環(huán)環(huán)形截面的的Wz比圓形截面面的就要大大得多。同樣的道理理，同一矩矩形截面梁梁，豎放就就比平放要要合理(參見例5.1)，而同樣面面積的工字字形、槽形形截面又比比豎放的矩矩形截面更更為合理。。也就是說(shuō)，，為了提高高材料的利利用率，增增強(qiáng)梁的承承載能力，，應(yīng)該盡量量將靠近中中性軸的部部分材料移移到遠(yuǎn)離中中性軸的邊邊緣上去。。工字鋼鋼、槽槽鋼等等寬翼翼緣梁梁就是是在彎彎曲理理論指指導(dǎo)下下設(shè)計(jì)計(jì)出來(lái)來(lái)的合合理截截面。。綜上所所述，，考慮慮各種種形狀狀截面面是否否合理理，主主要是是看Wz/A的比值值。比比值越越大，，材料料的使使用越越經(jīng)濟(jì)濟(jì)，截截面也也就越越合理理。表表5-1給出了了幾種種常用用截面面形式式的Wz/A比值。。5.4梁的合合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)表5-1常用截截面的的Wz/A比值從上表表可以以看出出，對(duì)對(duì)于矩矩形截截面，，保持持面積積不變變，增增大梁梁高h(yuǎn)而減小小梁寬寬b可以增增大其其Wz/A比值，，從而而增加加其經(jīng)經(jīng)濟(jì)合合理性性。但必須須注意意的是是，梁梁的高高度增增加是是有限限度的的，當(dāng)當(dāng)矩形形截面面過(guò)高高時(shí)，，容易易引起起梁的的失穩(wěn)穩(wěn)(參閱第第10章)。當(dāng)然，，在選選擇梁梁截面面的合合理形形狀時(shí)時(shí)，除除了考考慮橫橫截面面上的的應(yīng)力力分布布外，，還必必須考考慮材材料的的力學(xué)學(xué)性能能、梁梁的使使用條條件以以及制制造工工藝等等方面面的問(wèn)問(wèn)題。。比如，，考慮慮到在在梁橫橫截面面上距距中性性軸最最遠(yuǎn)的的上下下邊緣緣各點(diǎn)點(diǎn)處分分別有有最大大拉應(yīng)應(yīng)力和和最大大壓應(yīng)應(yīng)力，，為充充分發(fā)發(fā)揮材材料的的潛力力，應(yīng)應(yīng)盡量量使兩兩者同同時(shí)達(dá)達(dá)到材材料的的許用用應(yīng)力力。截面形式矩形圓形工字形槽形Wz/A0.167h0.125d0.29~0.31h0.27~0.31h5.4梁的合合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)因此，，對(duì)于于拉伸伸和壓壓縮許許用應(yīng)應(yīng)力值值相同同的塑塑性材材料(如建筑筑鋼)梁，應(yīng)應(yīng)采用用中性性軸為為其對(duì)對(duì)稱軸軸的截截面形形式，，如工工字形形、矩矩形、、薄壁壁箱形形、圓圓形和和環(huán)形形等；；而對(duì)對(duì)于抗抗壓強(qiáng)強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于于抗拉拉強(qiáng)度度的脆脆性材材料(如鑄鐵鐵)梁，則則宜采采用T字形、、不等等邊工工字形形等對(duì)對(duì)中性性軸不不對(duì)稱稱的截截面形形式，，并將將其翼翼緣部部分置置于受受拉一一側(cè)。。再比如如，對(duì)對(duì)于木木梁，，雖然然材料料的拉拉、壓壓強(qiáng)度度不同同，但但由于于制造造工藝藝的要要求，，仍多多采用用矩形形截面面，截截面的的高寬寬比也也有一一定的的要求求，北北宋李李誡于于1100年所著著《營(yíng)造法法式》一書中中就指指出矩矩形木木梁的的合理理高寬寬比為為=1.5，1807年英國(guó)國(guó)著名名物理理學(xué)家家托馬馬斯·楊(T.Young)則在《自然哲哲學(xué)與與機(jī)械械技術(shù)術(shù)講義義》一書中中指出出矩形形木梁梁的合合理高高寬比比為：：時(shí)，，強(qiáng)度度最大大；時(shí)時(shí)，，剛度度最大大。5.4梁的合合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)2.采用變變截面面梁對(duì)于等等直梁梁，按按照正正應(yīng)力力強(qiáng)度度條件件式(5.16)確定截截面尺尺寸時(shí)時(shí)，是是以最最大彎彎矩為為依據(jù)據(jù)的。。而在工工程實(shí)實(shí)際中中，梁梁的彎彎矩沿沿梁的的長(zhǎng)度度方向向會(huì)發(fā)發(fā)生變變化。。也就就是說(shuō)說(shuō)，當(dāng)當(dāng)最大大彎矩矩所在在橫截截面上上的最最大正正應(yīng)力力達(dá)到到材料料的許許用應(yīng)應(yīng)力時(shí)時(shí)，其其余各各橫截截面上上的最最大正正應(yīng)力力都還還小于于材料料的許許用應(yīng)應(yīng)力，，使材材料得得不到到充分分利用用。為了克克服這這一不不足，，可對(duì)對(duì)彎矩矩較大大的梁梁段進(jìn)進(jìn)行局局部加加強(qiáng)，，將梁梁設(shè)計(jì)計(jì)為變變截面面梁，，使梁梁的橫橫截面面尺寸寸大致致上適適應(yīng)彎彎矩沿沿梁長(zhǎng)長(zhǎng)度方方向的的變化化，以以達(dá)到到節(jié)約約材料料、減減輕自自重的的目的的。假若使使梁各各橫截截面上上的最最大正正應(yīng)力力都相相等，，并均均達(dá)到到材料料的許許用應(yīng)應(yīng)力，，則這這樣的的變截截面梁梁通常常稱為為等強(qiáng)度度梁(beamofconstantstrength)，5.4梁的合合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)其強(qiáng)度度條件件為式中M(x)、W(x)分別表表示梁梁上任任意x截面的的彎矩矩和彎彎曲截截面系系數(shù)。。由上上式，，可根根據(jù)彎彎矩變變化規(guī)規(guī)律確確定等等強(qiáng)度度梁的的截面面變化化規(guī)律律?！纠?.9】圖5.19(a)所示矩矩形截截面簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁梁在中中點(diǎn)處處受一一集中中力F作用，，設(shè)截截面寬寬度b不變，，改變變其高高度h，使之之成為為一等等強(qiáng)度度梁。。試求求其高高度隨隨截面面位置置的變變化規(guī)規(guī)律h(x)。(5.18)5.4梁的合合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)(a)(b)圖5.19例5.9圖解：在在梁左左半段段距左左端為為x處的彎彎矩為為5.4梁的合合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)彎曲截截面系系數(shù)為為于是，，根據(jù)據(jù)等強(qiáng)強(qiáng)度梁梁的強(qiáng)強(qiáng)度條條件式式(5.18)，有可求得得(a)5.4梁的合合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)這是梁梁左半半段高高度變變化的的規(guī)律律。右右半段段與左左半段段對(duì)稱稱，無(wú)無(wú)需另另求。。但按按照式式(a)，梁兩兩端的的截面面高度度為零零，這這將無(wú)無(wú)法抵抵抗剪剪力。。因此此必須須按切切應(yīng)力力強(qiáng)度度條件件來(lái)確確定截截面的的最小小高高度可求得得按式(a)和式(b)確定的的梁的的外形形，也也就是是廠房房建筑筑中常常見的的魚腹腹梁，，如圖圖5.19(b)所示。。(b)5.4梁的合合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)等強(qiáng)度度梁是是一種種理想想的變變截面面梁。。在實(shí)實(shí)際工工程中中，考考慮到到制造造工藝藝方面面的限限制以以及構(gòu)構(gòu)造上上的要要求，，構(gòu)件件一般般設(shè)計(jì)計(jì)成近近似等等強(qiáng)度度梁。。例如如車輛輛上起起承重重和減減振作作用的的疊板板彈簧簧(圖5.20)，實(shí)質(zhì)質(zhì)上就就是一一種高高度不不變、、寬度度變化化的矩矩形截截面簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁梁沿寬寬度切切割下下來(lái)，，然后后疊合合起來(lái)來(lái)制成成的近近似等等強(qiáng)度度梁。。圖5.20疊板彈彈簧5.4梁的合合理強(qiáng)強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)3.合理配配置梁梁的荷荷載和和支座座在工藝藝要求求許可可的條條件下下，通通過(guò)合合理地地配置置梁的的荷載載和支支座位位置，，可降降低梁梁內(nèi)的的最大大彎矩矩值。。如圖5.21(a)所示的的簡(jiǎn)支支梁，，當(dāng)其其跨度度中央央受集集中力力F作用時(shí)時(shí)，梁梁內(nèi)的的最大彎矩矩為；；如如果使使集中中力通通過(guò)輔輔助梁梁再作作用到到梁上上，如如圖5.21(b)所示，，則梁梁內(nèi)的的最大大彎矩矩就下下降為為原來(lái)來(lái)的一一半。。這是是通過(guò)過(guò)合理理分散散集中中荷載載來(lái)降降低最最大彎彎矩值值。同樣，通通過(guò)合理理調(diào)整支支座間距距，也能能降低最最大彎矩矩值。5.4梁的合理理強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)(a)(b)圖5.21分散荷載載對(duì)最大大彎矩的的影響(a)簡(jiǎn)支梁在在集中荷荷載作用用下的彎彎矩圖；；(b)簡(jiǎn)支梁在在分散荷荷載作用用下的彎彎矩圖5.4梁的合理理強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)如圖5.22(a)所示的均均布荷載載簡(jiǎn)支梁梁，梁內(nèi)內(nèi)的最大大彎矩為。。如果將簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁兩兩端的支支座分別別向中間間移動(dòng)0.2l，如圖5.22(b)所示，則則梁內(nèi)的最最大彎矩矩就下為為，，僅為原原來(lái)的20%。在工廠廠、礦山山中常見的龍龍門吊車車(圖5.23)的立柱位位置不在在兩端，，就是為為了降低低橫梁中中的最大大彎矩值值。5.4梁的合理理強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)(a)(b)圖5.22移動(dòng)支座座對(duì)最大大彎矩的的影響(a)簡(jiǎn)支梁兩兩端支承承時(shí)的彎彎矩圖；；(b)將支座向向中間移移0.2l后的簡(jiǎn)支支梁彎矩矩圖圖5.23龍門吊車車示意圖圖5.4梁的合理理強(qiáng)度設(shè)設(shè)計(jì)前面推導(dǎo)導(dǎo)了對(duì)稱稱截面梁梁(即具有縱縱向?qū)ΨQ稱平面，，且外力力或外力力偶作用用在該平平面內(nèi)的的細(xì)長(zhǎng)梁梁)發(fā)生平面面彎曲時(shí)時(shí)橫截面面上正應(yīng)應(yīng)力的計(jì)計(jì)算公式式(5.2)一.非對(duì)稱截截面梁的的平面彎彎曲5.5非對(duì)稱截截面梁的的平面彎彎曲現(xiàn)在簡(jiǎn)單單介紹將將該公式式推廣到到非對(duì)稱稱截面梁梁平面彎彎曲情形形下的適適用情況況。如圖5.24所示的Z字形截面面梁即為為一非對(duì)對(duì)稱截面面梁，圖圖中y、z軸為橫截截面的形形心主慣慣性軸，，由x軸和任一一主慣性性軸構(gòu)成成的平面面(xy平面和xz平面)則為形心心主慣性性平面。。圖5.24非對(duì)稱截截面梁的的平面彎彎曲1.純彎曲時(shí)時(shí)的情形形如果外力力偶作用用在與梁梁的任一一形心主主慣性平平面平行行的平面面內(nèi)，則則該梁發(fā)發(fā)生平面面彎曲。。若外力偶偶平行于于xy平面，則則與推導(dǎo)導(dǎo)對(duì)稱截截面梁平平面彎曲曲時(shí)橫截截面上正正應(yīng)力的的計(jì)算公公式相類類似，根根據(jù)靜力力平衡關(guān)關(guān)系，以以下三個(gè)個(gè)方程必必然同時(shí)時(shí)成立現(xiàn)在假設(shè)設(shè)公式仍仍然成立立，將其其代入以以上三式式，有(a)(b)(c)5.5非對(duì)稱截截面梁的的平面彎彎曲(d)由于y、z軸為橫截截面的形形心主慣慣性軸，，故有(e)(f)5.5非對(duì)稱截截面梁的的平面彎彎曲實(shí)驗(yàn)結(jié)果果和理論論分析都都表明，，橫向力力必須作作用在與與梁的形形心主慣慣性平面面平行的的某一特特定平面面內(nèi)，才才能保證證梁只發(fā)發(fā)生平面面彎曲而而不扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，此時(shí)公式式仍仍然適適用。這一特定定平面，，也就是是梁在上上述形心心主慣性性平面內(nèi)內(nèi)發(fā)生彎彎曲時(shí)剪剪力所在的縱縱向平面面。如果果橫向力力作用在在與該特特定平面面平行的的其他任任一縱向向平面內(nèi)內(nèi)，則梁梁除了發(fā)發(fā)生平面面彎曲外外，還會(huì)會(huì)發(fā)生扭扭轉(zhuǎn)。顯然，式式(d)、式(e)和式(f)均滿足，，假設(shè)成成立。也也就是說(shuō)說(shuō)，非對(duì)對(duì)稱截面面梁在發(fā)發(fā)生平面面彎曲的的情形下下，對(duì)稱稱截面梁梁平面彎彎曲時(shí)橫橫截面上上正應(yīng)力力的計(jì)算算公式(5.2)仍然適用用2.橫力彎曲曲時(shí)的情情形5.5非對(duì)稱截截面梁的的平面彎彎曲如圖5.25(a)所示一槽槽形截面面懸臂梁梁，其橫橫截面的的兩根主主軸分別別為y軸和z軸(z軸為截面面的對(duì)稱稱軸)。在梁的的自由端端加載橫橫向力F，通過(guò)實(shí)實(shí)驗(yàn)可以以發(fā)現(xiàn)，，當(dāng)外力力F作用線經(jīng)經(jīng)過(guò)截面面形心，，并位于于形心主主慣性平平面xy平面內(nèi)時(shí)時(shí)，懸臂臂梁不但但發(fā)生平平面彎曲曲，還發(fā)發(fā)生扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，如圖圖5.25(b)所示；當(dāng)外外力F的作用線經(jīng)經(jīng)過(guò)某一特特定點(diǎn)A時(shí)，梁才會(huì)會(huì)只發(fā)生平平面彎曲，，如圖5.25(c)所示。(a)(b)(c)圖5.25橫向力作用用位置對(duì)非非對(duì)稱截面面梁變形的的影響(a)槽形截面懸懸臂梁；(b)施加作用線線經(jīng)過(guò)形心心的外力后后梁的變形形；(c)力作用線經(jīng)經(jīng)某一特定定點(diǎn)時(shí)梁的的變形5.5非對(duì)稱截面面梁的平面面彎曲二.開口薄壁截截面梁的彎彎曲中心進(jìn)一步的理理論分析(可參閱有關(guān)關(guān)教材，此此處不作詳詳細(xì)探討)證明，上述述外力F作用線所經(jīng)經(jīng)過(guò)的特定定點(diǎn)A，實(shí)際上就就是截面上上切應(yīng)力合合力(即剪力)的作用點(diǎn)，，該點(diǎn)通常常稱為截面面的彎曲中心(bendingcenter)，或稱剪切中心(shearcenter)。對(duì)于非對(duì)對(duì)稱截面梁梁來(lái)說(shuō)，只只有當(dāng)橫向向外力F所在的縱向向平面通過(guò)過(guò)其截面的的彎曲中心心，梁才會(huì)會(huì)只彎曲而而不扭轉(zhuǎn)。。在土木工程程中，尤其其是在鋼結(jié)結(jié)構(gòu)中，大大量采用了了開口薄壁壁截面的桿桿件。這類類構(gòu)件抗彎彎強(qiáng)度較強(qiáng)強(qiáng)，但抗扭扭剛度較弱弱，很容易易由于扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變形過(guò)大大而失穩(wěn)破破壞。因此此，對(duì)于開開口薄壁截截面梁，必必須嚴(yán)格注注意使外荷荷載的作用用線經(jīng)過(guò)截截面的彎曲曲中心。5.5非對(duì)稱截面面梁的平面面彎曲由此可見，，在工程實(shí)實(shí)際中，確確定截面彎彎曲中心的的位置是相相當(dāng)重要的的。下面簡(jiǎn)簡(jiǎn)單介紹一一些確定彎彎曲中心位位置的規(guī)律律：(a)(b)圖5.26彎曲中心在在對(duì)稱軸上上(a)槽形截面；；(b)開口薄壁環(huán)環(huán)形截面(1)具有一個(gè)對(duì)對(duì)稱軸的截截面，例如如槽形、開開口薄壁環(huán)環(huán)形截面等等，其彎曲曲中心必定定在此對(duì)稱稱軸上，如如圖5.26所示。5.5非對(duì)稱截面面梁的平面面彎曲(2)具有兩個(gè)對(duì)對(duì)稱軸或反反對(duì)稱軸的的截面，例例如工字形形、Z字形截面等等，其彎曲曲中心與形形心重合，，如圖5.27所示。(a)(b)圖5.27彎曲中心與與形心重合合(a)工字形截面面；(b)Z字形截面5.5非對(duì)稱截面面梁的平面面彎曲(3)由若干中線線交于一點(diǎn)點(diǎn)的狹長(zhǎng)矩矩形組成的的截面，如如T字形、等邊邊或不等邊邊角鋼截面面等，其彎彎曲中心就就是中線的的交點(diǎn)，如如圖5.28所示。(a)(b)(c)圖5.28彎曲中心在在兩中線交交點(diǎn)(a)T形截面；(b)等邊角鋼截截面；(c)不等邊角鋼鋼截面5.5非對(duì)稱截面面梁的平面面彎曲由以上規(guī)律律可知，彎彎曲中心的的位置只與與截面的幾幾何形狀與與尺寸有關(guān)關(guān)。這是因因?yàn)閺澢兄行膬H取決決于截面上上剪力的作作用線位置置，而與其其方向及數(shù)數(shù)值大小無(wú)無(wú)關(guān)。【例5.10】】一開口薄壁壁截面梁由由36a號(hào)槽鋼制成成，其橫截截面如圖5.29(a)所示。現(xiàn)該該梁受一個(gè)個(gè)平行于其其腹板平面面的橫向力力F作用，若要要求梁只能能發(fā)生平面面彎曲，試試求這一橫橫向力F的作用位置置。解：為了使梁僅僅發(fā)生平面面彎曲而不不扭轉(zhuǎn)，橫橫向力F的作用線必必須經(jīng)過(guò)截截面的彎曲曲中心A，如圖5.29(b)所示?，F(xiàn)在在來(lái)求彎曲曲中心A距截面腹板板中線的距距離e。5.5非對(duì)稱截面面梁的平面面彎曲(a)(b)圖5.29例5.10圖5.5非對(duì)稱截面面梁的平面面彎曲由型鋼規(guī)格格表可查得得36a號(hào)槽鋼的幾幾何參數(shù)如如下：h=360mm；b=96mm；d=9mm；δ=16mm；于是得根據(jù)有關(guān)數(shù)數(shù)據(jù)，即可可求得e值為故橫向力F應(yīng)作用在腹腹板外側(cè)距距腹板中線線33.4mm處。上述求求解e的公式的推推導(dǎo)可以參參閱參考文文獻(xiàn)1。5.5非對(duì)稱截面面梁的平面面彎曲5.6考慮材料塑塑性時(shí)梁的的極限彎矩矩在線彈性階階段，梁的的最大正應(yīng)應(yīng)力出現(xiàn)在在危險(xiǎn)截面面上距中性性軸最遠(yuǎn)(即上、下邊邊緣)處，在討論論梁的正應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度時(shí)時(shí)，就是據(jù)據(jù)此計(jì)算的的。按照梁的正正應(yīng)力強(qiáng)度度條件式(5.16)來(lái)進(jìn)行強(qiáng)度度設(shè)計(jì)，將將無(wú)法充分分發(fā)揮梁的的承載能力力。其原因因?yàn)椋簩?duì)于于用塑性材材料制成的的梁而言，，當(dāng)最大應(yīng)應(yīng)力達(dá)到屈屈服極限時(shí)時(shí)，其危險(xiǎn)險(xiǎn)截面上、、下邊緣處處進(jìn)入屈服服階段，但但截面的其其他部分卻卻仍然處于于彈性階段段，還可以以承受更大大的荷載。。只有當(dāng)整個(gè)截面都都進(jìn)入屈服階段，，梁才會(huì)產(chǎn)生破壞壞而失去承載能力力。據(jù)此算得的最最大荷載稱為梁的的極限荷載(limitload)。在土木工程中，某某圖5.30理想彈塑性模型的的關(guān)系某些鋼筋筋混凝土構(gòu)件就是是按照強(qiáng)度極限狀狀態(tài)設(shè)計(jì)的。5.6考慮材料塑性時(shí)梁梁的極限彎矩考慮到塑性材料超超過(guò)彈性階段后應(yīng)應(yīng)力―應(yīng)變關(guān)系的復(fù)雜性性，通常將材料簡(jiǎn)簡(jiǎn)化為理想彈塑性模型(elastic-idealplasticmodel)，并認(rèn)為材料在拉拉伸和壓縮時(shí)的彈彈性模量E和屈服極限限均相同。材料簡(jiǎn)簡(jiǎn)化后的關(guān)關(guān)系如圖5.30所示。此外，還假假設(shè)超出線彈性范范圍后，梁的彎曲曲變形仍然符合平平面假設(shè)。這一假假設(shè)已得到實(shí)驗(yàn)證證明。故梁內(nèi)縱向向線的線應(yīng)變沿高高度仍然是線性變變化的。圖5.30理想彈塑性模型的的關(guān)系5.6考慮材料塑性時(shí)梁梁的極限彎矩現(xiàn)考慮一對(duì)稱截面面簡(jiǎn)支梁，在其跨跨中受到集中力F的作用，如圖5.31(a)所示。在線彈性范范圍內(nèi)，梁橫截面面上任意一點(diǎn)處的的正應(yīng)力正比于該該點(diǎn)到中性軸的距距離。當(dāng)橫截面上的最大大正應(yīng)力剛達(dá)到材材料的屈服極限時(shí)時(shí)，正應(yīng)力力沿橫截面高度的的分布規(guī)律如圖5.31(b)中的實(shí)線所示。此此時(shí)，梁開始屈服服發(fā)生塑性變形，，橫截面所承受的的彎矩為Ms稱為梁的屈服彎矩(yieldbendingmoment)。(5.19)當(dāng)外荷載繼續(xù)增大大時(shí)，橫截面上的的線應(yīng)變隨之增大大，但仍始終保持持線性分布，而橫橫截面上正應(yīng)力達(dá)達(dá)到屈服極限的的區(qū)域也將由由其上、下邊緣逐逐漸向中性軸擴(kuò)展展。5.6考慮材料塑性時(shí)梁梁的極限彎矩(a)(b)(c)圖5.31彎曲變形由彈性向向塑性發(fā)展受載的對(duì)稱截面簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁；(b)最大正應(yīng)力剛達(dá)到到時(shí)，正應(yīng)力分布布；(c)全部正應(yīng)力均達(dá)時(shí)時(shí)分布5.6考慮材料塑性時(shí)梁梁的極限彎矩即線應(yīng)變的的點(diǎn)處的的正應(yīng)力達(dá)到，，各各點(diǎn)處的正應(yīng)應(yīng)力保持為，，這些點(diǎn)處于塑塑性區(qū)域，而各各點(diǎn)點(diǎn)處則仍處于線彈彈性階段。與其相相應(yīng)的正應(yīng)力沿橫橫截面高度的分布布規(guī)律如圖5.31(b)中的虛線所示。最后，當(dāng)整個(gè)橫截截面上的正應(yīng)力均均達(dá)到時(shí)時(shí)，其沿橫截面高高度的分布規(guī)律如如圖5.31(c)所示，截面全部成成為塑性區(qū)域，梁梁將發(fā)生明顯的塑塑性變形而達(dá)到極極限狀態(tài)(limitstate)。此時(shí)截面上承受受的彎矩稱為極限彎矩(limitbendingmoment)，用Mu表示，其值為5.6考慮材料塑性時(shí)梁梁的極限彎矩式中，At，Ac分別代表橫截面上上受拉與受壓區(qū)域域的面積，，，分別為At，Ac對(duì)中性軸的靜矩，，均取絕對(duì)值?，F(xiàn)現(xiàn)設(shè)(5.20)則有(5.21)式中，Ws稱為塑性彎曲截面系數(shù)數(shù)(plasticsectionmodulusinbending)，其單位為m3或mm3。當(dāng)梁跨中截面(危險(xiǎn)截面)上的彎矩達(dá)到極限限彎矩Mu時(shí)，其附近將形成成如圖5.32(a)陰影部分所示的塑塑性區(qū)，跨中截面面兩側(cè)的兩段梁，，在極限彎矩Mu不變的條件下，將將繞截面的中性軸軸發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，，恰似在該截面處處安置了一個(gè)中間間鉸鏈，且鉸鏈兩兩側(cè)作用著大小等等于Mu的外力偶矩，如圖圖5.32(b)所示，通常稱之為為塑性鉸(plastichinge)。5.6考慮材料塑性時(shí)梁梁的極限彎矩對(duì)于靜定梁而言，，當(dāng)梁上形成塑性性鉸后，梁就達(dá)到到了極限狀態(tài)，并并將產(chǎn)生明顯的塑塑性變形。此時(shí)，，梁所承受的荷載載達(dá)到最大值，即即極限荷載。當(dāng)梁達(dá)到極限狀態(tài)態(tài)時(shí)，可根據(jù)靜力力學(xué)條件軸力FN=0來(lái)確定出現(xiàn)塑性鉸鉸截面的中性軸位位置，即由此得(5.22)由上式可知，出現(xiàn)現(xiàn)塑性鉸的截面，，其中性軸將截面面平分為兩個(gè)面積積相等的區(qū)域。5.6考慮材料塑性時(shí)梁梁的極限彎矩對(duì)于具有水平對(duì)稱稱軸的截面，例如如矩形、工字形截截面，在線彈性狀狀態(tài)和極限狀態(tài)下下中性軸的位置是是重合的，也就是是截面的水平對(duì)稱稱軸；而對(duì)于沒(méi)有有水平對(duì)稱軸的截截面，例如工字形形截面，在兩種狀狀態(tài)下中性軸的位位置并不重合，中中性軸將隨塑性區(qū)區(qū)的增加而不斷移移動(dòng)，當(dāng)梁由線彈彈性狀態(tài)變化到極極限狀態(tài)時(shí)，中性性軸由初始的形