《數(shù)學(xué)分析（第4版）》19-2含參量反常積分

一、含參量反常積分

的一致收斂性二、含參量反常積分一致收斂性的判別三、含參量反常積分的性質(zhì)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,含參量反常積分的重要內(nèi)容是判別含參量反常積分的一致收斂性.在相應(yīng)的一致收斂的條件下,含參量反常積分具有連續(xù)性,可微性,

可積性.含參量反常積分的一致收斂性的判別法與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判別法類似.§2含參量反常積分?jǐn)?shù)學(xué)分析

第十九章含參量積分*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容四、含參量無界函數(shù)反常積分含參量反常積分一致收斂性設(shè)函數(shù)定義在無界區(qū)域上,其中I是任意區(qū)間.都收斂，稱(1)為定義在I上的含參量

x的無窮限反常積分,或稱含參量反常積分.

§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)后退前進(jìn)目錄退出含參量無界函數(shù)的反常積分反常積分若上的函數(shù).則定義1

若含參量反常積分(1)與函數(shù)Φ(x)對(duì)

使得當(dāng)時(shí),對(duì)一切

都有

即或簡(jiǎn)單地說含參量積分(1)在I上一致收斂.§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分則稱含參量反常積分(1)在I上一致收斂于注1

由定義,在I上一致收斂于充要條件是

的充要條件是

§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分注2

由定義,在I上不一致收斂使得

例1

討論含參量反常積分的一致收斂性.

解若則

于是§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分因此,含參量積分在上非一致收斂.因此,該含參量積分在上一致收斂.而對(duì)于任何正數(shù),有定理19.7（一致收斂的柯西準(zhǔn)則）含參量反常積分一致收斂性的判別含參量反常積分(1)

在上一致收斂的充要對(duì)一切的都有條件是:

使得當(dāng)時(shí),§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分定理19.8充要條件是

含參量反常積分在I上一致收斂的證

作變量代換得其中由于收斂,

總存在某一實(shí)數(shù)M,當(dāng)時(shí)就有但在內(nèi)在不一致收斂.

例2

證明含參量反常積分§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分故對(duì)任給的正數(shù)取

由(5)式所以(4)在上一致收斂.又因?yàn)椤?含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分(在本節(jié)例6中證明.)所以根據(jù)定理19.8，(4)在上不一致收斂.§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分若對(duì)任意含參量積分(1)在[a,b]上一致收斂,則稱(1)在I上內(nèi)閉一致收斂.所以，積分4在上內(nèi)閉一致收斂.定理19.9函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)任一趨于的遞增數(shù)列在上一致收斂,其中收斂之間的聯(lián)系有下述定理.關(guān)于含參量反常積分一致收斂性與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致含參量反常積分(1)在I上一致收斂的充要條件是:

§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分上一致收斂,故由(1)在I又由所以對(duì)正數(shù)M,存在正整數(shù)N,只要當(dāng)時(shí),就有由(8)對(duì)一切

就有這就證明了級(jí)數(shù)(7)在上一致收斂.證

必要性

使得當(dāng)對(duì)一切總有§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分現(xiàn)取使得

一般地,取則有

使得*充分性對(duì)使得用反證法.假若(1)在I上不一致收斂,

則§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分由上述所得到的數(shù)列是遞增數(shù)列,且由(9)式知存在正數(shù)對(duì)任何正整數(shù)N,只要

就有某個(gè)使得這與級(jí)數(shù)(7)在上一致收斂的假設(shè)矛盾.現(xiàn)在考察級(jí)數(shù)反常積分在上一致收斂.故含參量注由定理19.9,含參量反常積分可看作連續(xù)型的函函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分魏爾斯特拉斯M判別法設(shè)有函數(shù)

g(y),使得若上一致收斂.證由于因此從而上一致收斂.§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分狄利克雷判別法設(shè)(i)對(duì)一切實(shí)數(shù)

含參量正常積分對(duì)參量x在I上一致有界,及一切都有(ii)對(duì)每一個(gè)函數(shù)關(guān)于

y單調(diào)且當(dāng)則含參量反常積分在上一致收斂.時(shí),對(duì)參量x,一致收斂于0,即存在正數(shù)M,對(duì)一切§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分阿貝爾判別法設(shè)(i)(ii)對(duì)每一個(gè)函數(shù)為y的單調(diào)函數(shù),且對(duì)參量x,在上一致有界,則含參量反常積分在上一致收斂.§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分例3證明含參量反常積分在上一致收斂.證

由于對(duì)任何實(shí)數(shù)

y有及反常積分收斂,別法,故由魏爾斯特拉斯M判

§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分上一致收斂.含參量反常積分(10)在證由于反常積分收斂(當(dāng)然,對(duì)于參量y,它在上一致收斂),在上一致收斂.例4證明含參量反常積分個(gè)單調(diào),故由阿貝爾判別法即得含參量反常積分(11)在上一致收斂.對(duì)每一函數(shù)都有且對(duì)任何§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分例5證明:若上連續(xù),又在上收斂,但在

處發(fā)散,則在上不一致收斂.§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分任給總存在當(dāng)時(shí)對(duì)一切

恒有證用反證法.上一致收斂,假若積分在則對(duì)于因上連續(xù),所以是的連續(xù)函數(shù).時(shí),

得到當(dāng)

在上面不等式中令§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分而是任給的,因此在處收斂,這與假設(shè)矛盾.不一致收斂.在上所以積分§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分證若在上內(nèi)閉一致收斂.例6證明含參量積分則對(duì)任意而關(guān)于y單調(diào)遞減,且因此,根據(jù)狄利克雷判別法，含參量積分(12)在上一致收斂.也即在上內(nèi)閉一致收斂.定理19.10（含參量反常積分的連續(xù)性）含參量反常積分的性質(zhì)設(shè)上連續(xù),

在I上一致收斂,在I上一致收斂.

證

由定理19.9,對(duì)任一遞增且趨于的數(shù)列

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分若含參量反常積分則在I上連續(xù).上連續(xù).定理,上連續(xù),又由于根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分故每個(gè)知在I上連續(xù).設(shè)上連續(xù),

在I上一致收斂,若含參量反常積分則在I上連續(xù).推論

這個(gè)定理也證明了在一致收斂的條件下,極限運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換:§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分設(shè)上連續(xù),

在I上內(nèi)閉一致收斂,若則在I上連續(xù).定理19.10（含參量反常積分的可微性）設(shè)在區(qū)域上連續(xù).在I上收斂,在I上一致收斂,

若證對(duì)任一遞增且趨于的數(shù)列令§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分則在I上可微，且由定理19.3推得由在I上一致收斂及定理19.9,項(xiàng)級(jí)數(shù)在

J上一致收斂,

§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分可得函數(shù)

于是或?qū)懗赏普撛O(shè)在區(qū)域上連續(xù).在I上收斂,在I上內(nèi)閉一致收斂,

若§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分則在I上可微，且最后結(jié)果表明在定理?xiàng)l件下,求導(dǎo)運(yùn)算和積分運(yùn)算可以交換.定理19.12（含參量反常積分的可積性）

在上一致收斂,

在上可積.又由定理19.10的證明中可以看到,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(14)在上一致收斂,且各項(xiàng)上連續(xù),證

由定理19.10知道在上連續(xù),上連續(xù),若設(shè)

在§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分

上可積,且則在從而這里最后一步是根據(jù)定理19.6關(guān)于積分順序的可交換性.這就是(17)式.因此根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求積定理,有(18)式又可寫作§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分定理19.13(i)

在內(nèi)閉上一致收斂,

關(guān)于x在內(nèi)閉上一致收斂;(ii)積分中有一個(gè)收斂.設(shè)在上連續(xù),且則必有§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分也收斂.證不妨設(shè)(19)中第一個(gè)積分收斂,

由此推得§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分根據(jù)條件(i)及定理19.12,

有由條件(ii),對(duì)于任給的有§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分把這兩個(gè)結(jié)果應(yīng)用到(21)式,得到使得當(dāng)

時(shí)有選定A后,由的一致收斂性,存在M>c,

即這就證明了(20)式.例6

計(jì)算解因?yàn)樗浴?含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分由于及反常積分收斂,據(jù)M判定法,含參量反常積分在區(qū)間上一致收斂.

上連續(xù),的順序,積分I的值不變.

在

由于于是§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分根根據(jù)定理19.12交換積分(22)例7計(jì)算解在上例中,令

b=0,由阿貝爾判別法可得上述含參量反常積分在上

一致收斂.又由(23)式則有上連續(xù),且于是由定理19.10,§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分例8計(jì)算由于參量反常積分(25)在上一致收斂.解考察含參量反常積分§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分成立收斂,及反常積分根據(jù)M判定法,含收斂.

綜合上述結(jié)果由定理19.11即得于是有§2含參量反常積分一致收斂性一致收斂性的判別性質(zhì)含參量無界函數(shù)的反常積分從而

又由(25)式,因此得到所以含參量無界函數(shù)的反常積分設(shè)上有定義.某些值,y=d為函數(shù)的瑕點(diǎn),為含參量x的無界函數(shù)反常積分,常積分.

上取值的函數(shù)