剛體動力學剛體平面運動

剛體動力學剛體平面運動第一頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學2剛體的平面運動剛體平面運動的動力學條件處理動力學問題的一般方法處理動力學問題的獨立坐標方法剛體動力學/剛體的平面運動第二頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學3剛體的平面運動剛體平面運動的動力學條件處理動力學問題的一般方法處理動力學問題的獨立坐標方法

剛體動力學/剛體的平面運動第三頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學4剛體平面運動的動力學條件剛體在力或力偶的作用下產(chǎn)生運動作用于剛體上的一個平面力系，剛體是否一定作平面運動？剛體動力學/剛體的平面運動/動力學條件第四頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學5剛體動力學/剛體的平面運動/動力學條件/例1[例1]對象：啞鈴(間距2l)外力(不考慮重力)

：力偶矩矢量假定在平面內(nèi)繞Oz作定軸轉(zhuǎn)動動量矩定理可能成立啞鈴可能在平面內(nèi)繞Oz作定軸轉(zhuǎn)動平面力系平面運動關系平面力系平面運動第五頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學6剛體動力學/剛體的平面運動/動力學條件/例2對象：啞鈴外力(不考慮重力)

：力偶矩矢量假定在平面內(nèi)繞Oz作定軸轉(zhuǎn)動[例2]平面力系平面運動動量動量矩連體基第六頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學7剛體動力學/剛體的平面運動/動力學條件/例2動量矩定理要求不可能成立啞鈴不可能繞Oz作定軸轉(zhuǎn)動動量矩在連體基中為常矢量假定在平面內(nèi)繞Oz作定軸轉(zhuǎn)動連體基矢端作圓周運動第七頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學8剛體動力學/剛體的平面運動/動力學條件Oz為主軸結(jié)論剛體作平面運動的慣量條件：剛體運動平面的法線方向應為剛體的一主軸滿足作平面運動動力學條件的剛體稱為平面剛體Oz為非主軸第八頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學9剛體的平面運動剛體平面運動的動力學條件處理動力學問題的一般方法處理動力學問題的獨立坐標方法

剛體動力學/剛體的平面運動第九頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學10處理動力學問題的一般方法單剛體動力學方程一般形式單剛體動力學問題剛體系動力學方程一般形式剛體系動力學問題剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法第十頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學11剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法單剛體動力學方程一般形式慣性基平動參考基基點為質(zhì)心C連體基作用于受約束剛體的外力理想約束力系主動力系向質(zhì)心C簡化向質(zhì)心C簡化通常未知主矢主矢主矩主矩第十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學12剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法慣性基平動參考基基點為質(zhì)心C連體基運動描述位置質(zhì)心運動定理姿態(tài)動力學方程對質(zhì)心動量矩定理第十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學13剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法位置姿態(tài)單剛體動力學方程組單剛體動力學方程組縮并位形加速度坐標陣增廣質(zhì)量陣

增廣主動力陣

增廣理想約束力陣

第十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學14單剛體動力學問題單剛體平面運動的動力學微分方程組由三個方程組成剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法動力學逆問題，剛體的運動已知通過方程組可求得作用于剛體的主動力(偶)與理想約束力(偶)的關系求解的未知量個數(shù)不能超過3第十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學15剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法動力學正問題，作用于剛體的主動力(偶)已知如果剛體沒受到約束，3個位形坐標未知得到剛體質(zhì)心的加速度和角加速度與主動力(矩)的關系可通過積分方程組，得到位形坐標與速度的時間歷程如果剛體受到約束，3個位形坐標未知，理想約束力未知未知的變量超過方程的個數(shù)，必須附加方程第十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學16剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/例[例]均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為m。當該桿由靜止開始，在地面與墻面上無摩擦地滑動(a)試建立桿的動力學方程(b)初始為靜止狀態(tài)，初始角為j0，計算當桿下滑到角j位置瞬時的角速度w(c)計算該瞬時桿受到的約束力(d)計算當桿與鉛垂壁脫離時的角j1(e)計算此瞬時桿的角速度與質(zhì)心C的水平運動速度

j0第十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學17剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解[解]桿的運動為平面一般運動

慣性基連體基受力分析（一般位置）

主動力理想約束力動力學方程

(a)建動力學方程

第十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學18剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解(b)已知主動力求運動動力學正問題初始當前第十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學19剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解方程（一般位形）未知量數(shù)(5)>方程數(shù)(3)需附加2個方程約束方程(一般位置)加速度約束方程第十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學20剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解第二十頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學21剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解(c)初始當前當前第二十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學22剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解方程當前態(tài)

第二十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學23剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解(d)初始過程當前桿與鉛垂壁脫離瞬時何謂桿與鉛垂壁脫離第二十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學24剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解求桿離壁時的姿態(tài)離壁條件

解1

與題意不符

解2

30456054.7461.8770.53第二十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學25剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解(e)初始過程當前桿與鉛垂壁脫離瞬時運動學問題第二十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學26剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解(e)求桿離壁時位形速度(運動學問題)離壁瞬時

約束方程

速度約束方程

離壁瞬時質(zhì)心水平速度

離壁瞬時桿角速度第二十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學27剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/例[例]一均質(zhì)圓柱質(zhì)量為m，半徑為r，無初速地放在傾斜角為q的斜面上，不計滾動摩擦力，考慮滑動摩擦力試討論圓柱運動的情況

第二十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學28剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解[解]圓柱運動為平面一般運動

慣性基連體基受力分析（一般位置）

重力

理想約束力

滑動摩擦力

（a）理想光滑

圓柱與斜面的相對光滑程度不同會產(chǎn)生不同的摩擦效應（b）非常粗糙

（c）兩者之間

第二十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學29剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解[解]圓柱運動為平面一般運動

受力分析（一般位置）

重力

理想約束力

無滑動摩擦力

(a)圓柱與斜面理想光滑動力學方程

第二十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學30剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解動力學方程

未知量數(shù)(4)>方程數(shù)(3)需附加1個方程約束方程(一般位置)求解圓柱勻加速度斜面平移下滑第三十頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學31剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解圓柱運動為平面一般運動

受力分析（一般位置）

重力

理想約束力

滑動摩擦力

(b)圓柱與斜面非常粗糙動力學方程

未知未知臨界狀態(tài)?第三十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學32剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解動力學方程

未知量數(shù)(5)>方程數(shù)(3)需附加2個方程約束方程(一般位置)純滾動構成封閉的方程組第三十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學33剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解未知量數(shù)(3)=方程數(shù)(3)求解圓柱沿斜面純滾動，質(zhì)心的加速度不變第三十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學34剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解討論斜面極限靜摩擦力圓柱與斜面無相對滑動的條件圓柱在斜面純滾動的條件圓柱在斜面將又滾又滑非常粗糙的含義第三十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學35剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解受力分析（一般位置）

重力

理想約束力

滑動摩擦力

(c)圓柱與斜面不很粗糙未知第三十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學36剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解動力學方程未知量數(shù)(4)>方程數(shù)(3)需附加1個方程約束方程(一般位置)封閉第三十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學37剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法動力學正問題小結(jié)如果剛體受到約束，3個位形坐標未知，理想約束力未知未知的變量超過方程的個數(shù)，必須附加方程剛體位形坐標的加速度層次上的關系可以作為附加方程對于未知的非理想約束力，還需增加一些描述非理想約束力關系式（如摩擦）第三十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學38剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法動力學正問題解題過程動力學方程組加速度約束方程組獨立坐標動力學方程組(力與加速度的關系)非獨立坐標的位置、速度與加速度整理消去理想約束力獨立坐標的位置與速度積分加速度理想約束力解代數(shù)方程原動力學方程組解代數(shù)方程位置、速度加速度約束方程組第三十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學39剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法剛體系動力學方程一般形式所受的外力理想約束力系主動力系包括剛體間的理想約束力主矢主矢主矩主矩剛體系第三十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學40剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法剛體系動力學方程組第四十頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學41剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法剛體系動力學方程組組集第四十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學42剛體系動力學問題對于N個剛體作平面運動的系統(tǒng)，可以系統(tǒng)的每一個剛體為單位，定義它們的位形坐標，建立動力學方程位形坐標與方程的個數(shù)均為3N有多少未知的理想約束力需增加多少的加速度約束關系約束包括剛體間的約束剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法第四十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學43剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/例[例]圖示機構由均質(zhì)滑塊和長為2l的均質(zhì)桿組成。剛度為k的線彈簧連接滑塊與墻面?；瑝K在光滑的水平面滑動，均質(zhì)桿由轉(zhuǎn)動鉸懸掛在滑塊的質(zhì)心C1上可在鉛垂面內(nèi)擺動。滑塊和擺桿質(zhì)量分別為m1和m2試建立系統(tǒng)的動力學方程

第四十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學44剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解[解]慣性基滑塊連體基擺桿連體基點O在彈簧原長處坐標基的選取是人為的考慮建立約束方程的方便連體基的基點在慣性基的第1象限姿態(tài)角為銳角第四十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學45剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解慣性基受力分析（一般位置）

重力

滑槽理想約束力

點O在彈簧原長處滑塊鉸理想約束力

擺桿重力

鉸理想約束力

設定正向設定正向設定正向線彈性力

第四十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學46剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解慣性基滑塊連體基動力學方程

擺桿連體基點O在彈簧原長處滑塊擺桿第四十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學47剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解動力學方程

未知量數(shù)(12)>方程數(shù)(8)需附加4個方程第四十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學48剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解約束方程(一般位置)求導求導鉸C1第四十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學49剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解約束方程與連體基選擇有關滑塊連體基擺桿連體基對于第二種坐標基連體基的基點在慣性基的第1象限姿態(tài)角為銳角鉸C1建議第四十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學50剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解動力學方程

未知量數(shù)(12)=方程數(shù)(12)第五十頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學51剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解變量

方程個數(shù)=變量個數(shù)

方程封閉

消去理想約束力方程可化簡

兩個變量的封閉方程組

第五十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學52剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解變量

變量的個數(shù)=系統(tǒng)的自由度數(shù)

方程封閉

方程不含未知的理想約束力

第五十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學53剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解系統(tǒng)位形坐標

系統(tǒng)有4個約束方程

變量

是系統(tǒng)的獨立變量

主動力

系統(tǒng)的獨立變量的變化

系統(tǒng)的非獨立變量的變化

動力學

運動學

討論

求解正動力學問題的另一個途徑

第五十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學54剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法處理動力學問題的一般方法小結(jié)動力學問題的求解規(guī)模與系統(tǒng)剛體的個數(shù)有關剛體的個數(shù)為N，系統(tǒng)的位形坐標為n=3N，動力學方程的個數(shù)也為n對于存在約束的系統(tǒng)，動力學方程中將出現(xiàn)未知的理想約束力如果它們個數(shù)為s。對于動力學正問題，需要補充s個獨立的加速度約束關系式通過消去理想約束力，動力學方程可縮并為d=3N-s個方程變量為系統(tǒng)的獨立坐標第五十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學55剛體的平面運動剛體平面運動的動力學條件處理動力學問題的一般方法處理動力學問題的獨立坐標方法剛體動力學/剛體的平面運動第五十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學56處理動力學問題的獨立坐標方法以系統(tǒng)描述位形的獨立坐標為變量建立動力學方程方程個數(shù)為d=n－s，d為系統(tǒng)的自由度數(shù)方程為d個獨立坐標的二階微分方程組方程中不含未知理想約束力剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法第五十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學57剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/例[例]利用獨立坐標方法建立桿AB的動力學方程第五十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學58剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/解[解]慣性基連體基受力分析（一般位置）

運動學分析

位形坐標約束方程自由度選取獨立坐標主動力理想約束力第五十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學59剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/解建立以獨立坐標為變量的動力學方程動量矩定理動量定理矩心定點質(zhì)心瞬心約束力不出現(xiàn)S’S第五十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學60剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/解動力學方程點O為圓心的圓桿對瞬心定軌跡點S’的絕對動量矩

桿對瞬心S的轉(zhuǎn)動慣量

瞬心定軌跡SS’第六十頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學61剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/例[例]一質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)上固結(jié)一質(zhì)量為m的質(zhì)點利用獨立坐標方法建立系統(tǒng)的動力學方程

圓環(huán)在水平面上作無滑動的滾動第六十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學62剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/解[解]慣性基質(zhì)心連體基系統(tǒng)質(zhì)心C為O1m的中點受力分析（一般位置）

運動學分析

位形坐標自由度為1選取獨立坐標主動力理想約束力摩擦力第六十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學63剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/解動量矩定理動量定理矩心定點質(zhì)心瞬心約束力摩擦力不出現(xiàn)建立已獨立坐標為變量的動力學方程第六十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學64剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/解直線系統(tǒng)對瞬心定軌跡點S’的絕對動量矩

系統(tǒng)對瞬心S的轉(zhuǎn)動慣量

瞬心定軌跡方向如圖方向如圖第六十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學65剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/解第六十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學66剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/例[例]圖示機構由均質(zhì)滑塊和長為2l的均質(zhì)桿組成。剛度為k的線彈簧連接滑塊與墻面?；瑝K在光滑的水平面滑動，均質(zhì)桿由轉(zhuǎn)動鉸懸掛在滑塊的質(zhì)心C1上可在鉛垂面內(nèi)擺動。滑塊和擺桿質(zhì)量分別為m1和m2試利用獨立坐標方法建立系統(tǒng)的動力學方程

第六十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學67剛體動力學/剛體的平面運動/一般方法/解[解]慣性基滑塊連體基擺桿連體基點O在彈簧原長處第六十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14日理論力學CAI剛體動力學68剛體動力學/剛體的平面運動/獨立坐標方法/解[解]慣性基滑塊連體基擺桿連體基點O在彈簧原長處自由度為2選取獨立坐標運動學分析

以整體為對象

受力分析（一般位置）

重力

滑槽理想約束力

設定正向線彈性力

第六十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日2023年3月14