第八章立體幾何初步單元測試B卷（含解析）

高一數(shù)學(xué)必修二第八章立體幾何初步B卷（含解析）(時間：120分鐘，滿分150分)一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列命題正確的是()A．一直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則此直線與平面垂直B．兩條異面直線不能同時垂直于一個平面C．直線與平面所成的角的取值范圍是：0°＜θ≤180°D．兩異面直線所成的角的取值范圍是：0°＜θ＜90°2．棱柱的一條側(cè)棱所在的直線與不含這條側(cè)棱的側(cè)面所在的平面的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不相交3．在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個4．(2022·全國卷Ⅰ)設(shè)z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝()A．0 \f(1,2)C．1 \r(2)5．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下面四個命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個命題是()A．①與② B．①與③C．②與④ D．③與④6.如圖，如果底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是()\f(1,3)πr2(a＋b) \f(1,2)πr2(a＋b)C．πr2(a＋b) D．2r2(a＋b)7．邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點沿圓柱的側(cè)面到相對頂點G的最短距離是()A．10cm B．5eq\r(2)cmC．5eq\r(π2＋1)cm D.eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)cm8．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為()\f(125,12)π \f(125,9)π\(zhòng)f(125,6)π \f(125,3)π9.在四面體ABCD中，已知棱AC的長為eq\r(2)，其余各棱長都為1，則二面角A-CD-B的余弦值為()\f(1,2) \f(1,3)\f(\r(3),3) \f(\r(2),3)10．已知正三棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為eq\f(\r(15),3)，則正三棱臺的側(cè)面積S1與底面面積之和S2的大小關(guān)系為()A．S1>S2 B．S1<S2C．S1＝S2 D．以上都不是二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題4分，共12分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得4分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)11．在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下幾種幾何圖形的4個頂點，這些幾何圖形可以是()A．矩形B．有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體C．每個面都是等邊三角形的四面體D．每個面都是直角三角形的四面體12．如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，點C是圓周上異于A，B的任一點，則下列結(jié)論中正確的是()A．PC⊥BC B．AC⊥平面PBCC．平面PAB⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面PBC13．如圖1，直線EF將矩形紙ABCD分為兩個直角梯形ABFE和CDEF，將梯形CDEF沿邊EF翻折，如圖2，在翻折的過程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面說法不正確的是()A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFEB．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFEC．在翻折的過程中，BF∥平面ADE恒成立D．在翻折的過程中，BF⊥平面CDEF恒成立三、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中的橫線上)14.如圖，在三棱錐V-ABC中，當(dāng)三條側(cè)棱VA，VB，VC之間滿足條件_______時，有VC⊥AB.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)15．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿對角線BD將△ABD折起，使二面角A-BD-C為120°，則點A到△BCD所在平面的距離為________．16．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝4，M，N是邊AB上的兩個動點，且|MN|＝1，則eq\o(CM,\s\up7(→))·eq\o(CN,\s\up7(―→))的取值范圍為________．17．(2022·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．四、解答題(本大題共6小題，共82分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)18.(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，其高為6cm，底面三角形的邊長分別為3cm，4cm,5cm，以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積V.19．(本小題滿分14分)已知復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．20．(本小題滿分14分)將如圖①的矩形ABMD沿CD翻折后構(gòu)成一四棱錐M-ABCD(如圖②)，若在四棱錐M-ABCD中有MA＝eq\r(3).(1)求證：AC⊥MD；(2)求四棱錐M-ABCD的體積．21.(本小題滿分14分)(1)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱CC1⊥BC，CC1＝3，有蟲從A沿三個側(cè)面爬到A1，求小蟲爬行的最短距離．(2)以O(shè)為頂點的三棱錐中，過O的三條棱兩兩的夾角都是30°，在一條棱上取A，B兩點，OA＝4cm，OB＝3cm，以A，B為端點用一條繩子緊繞三棱錐的側(cè)面一周(繩和側(cè)面無摩擦)，求此繩在A，B兩點間的最短繩長．22．(本小題滿分14分)如圖(1)是一個水平放置的正三棱柱ABC-A1B1C1，D是棱BC的中點，正三棱柱的正視圖如圖(2)．(1)求正三棱柱ABC-A1B1C1的體積；(2)證明：A1B∥平面ADC1；(3)題圖(1)中垂直于平面BCC1B1的平面有哪幾個？(直接寫出符合要求的平面即可，不必說明或證明)23.(本小題滿分14分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．高一數(shù)學(xué)必修二第八章立體幾何初步B卷（含解析）(時間：120分鐘，滿分150分)一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列命題正確的是()A．一直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則此直線與平面垂直B．兩條異面直線不能同時垂直于一個平面C．直線與平面所成的角的取值范圍是：0°＜θ≤180°D．兩異面直線所成的角的取值范圍是：0°＜θ＜90°解析：選BA錯誤．一直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，并不意味著和平面內(nèi)的任意直線垂直，所以此直線與平面不一定垂直；B正確．由線面垂直的性質(zhì)定理可知，兩條異面直線不能同時垂直于一個平面；C錯誤.直線與平面所成的角的取值范圍是：0°≤θ≤90°；D錯誤．兩異面直線所成的角的取值范圍是：0°＜θ≤90°.故選B.2．棱柱的一條側(cè)棱所在的直線與不含這條側(cè)棱的側(cè)面所在的平面的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不相交解析：選A因為棱柱的側(cè)棱是互相平行的，所以由直線與平面平行的判定定理可知，側(cè)棱所在的直線與不含這條側(cè)棱的側(cè)面所在的平面平行．故選A.3．在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選D如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，取四棱錐A1-ABCD，則此四棱錐的四個側(cè)面都是直角三角形．故選D.4．(2022·全國卷Ⅰ)設(shè)z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝()A．0 \f(1,2)C．1 \r(2)解析：選C∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，∴|z|＝1.故選C.5．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下面四個命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個命題是()A．①與② B．①與③C．②與④ D．③與④解析：選B因為直線l⊥平面α，直線m?平面β，若α∥β，則l⊥β，l⊥m，①正確；若α⊥β，則l∥β或l?β，l，m的位置不確定，②不正確；若l∥m，則m⊥α，所以α⊥β，③正確；若l⊥m，則m∥α或m?α，則α，β可能相交或平行，④不正確．故選B.6.如圖，如果底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是()\f(1,3)πr2(a＋b) \f(1,2)πr2(a＋b)C．πr2(a＋b) D．2r2(a＋b)解析：選B將這樣兩個完全相同的幾何體拼在一起組成一個高為a＋b的圓柱，故圓柱被截后剩下部分的體積為eq\f(1,2)πr2(a＋b)．故選B.7．邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點沿圓柱的側(cè)面到相對頂點G的最短距離是()A．10cm B．5eq\r(2)cmC．5eq\r(π2＋1)cm D.eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)cm解析：選D圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，展開后E′F＝eq\f(1,2)·2π·eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)π(cm)，∴E′G＝eq\r(52＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)))2)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)(cm)，即為所求最短距離．故選D.8．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為()\f(125,12)π \f(125,9)π\(zhòng)f(125,6)π \f(125,3)π解析：選C球心O為AC中點，半徑為R＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(5,2)，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(125,6)π.故選C.9.在四面體ABCD中，已知棱AC的長為eq\r(2)，其余各棱長都為1，則二面角A-CD-B的余弦值為()\f(1,2) \f(1,3)\f(\r(3),3) \f(\r(2),3)解析：選C取AC的中點E，CD的中點F，連接BE，EF，BF，則EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，因為EF2＋BE2＝BF2，所以△BEF為直角三角形，cosθ＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).故選C.10．已知正三棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為eq\f(\r(15),3)，則正三棱臺的側(cè)面積S1與底面面積之和S2的大小關(guān)系為()A．S1>S2 B．S1<S2C．S1＝S2 D．以上都不是解析：選A斜高h(yuǎn)′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)4－2))2)＝eq\r(2)，S1＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′＝eq\f(1,2)(3×2＋3×4)×eq\r(2)＝9eq\r(2)，S2＝eq\f(\r(3),4)×22＋eq\f(\r(3),4)×42＝5eq\r(3)，∴S1>S2.故選A.二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題4分，共12分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得4分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)11．在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下幾種幾何圖形的4個頂點，這些幾何圖形可以是()A．矩形B．有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體C．每個面都是等邊三角形的四面體D．每個面都是直角三角形的四面體解析：選ABCD4個頂點連成矩形的情形顯然成立；圖(1)中四面體A1-D1B1A是B中描述的情形；圖(2)中四面體D-A1C1B是C中描述的情形；圖(3)中四面體A1-D1B1D是D中描述的情形．故選A、B、C、D.12．如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，點C是圓周上異于A，B的任一點，則下列結(jié)論中正確的是()A．PC⊥BC B．AC⊥平面PBCC．平面PAB⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面PBC解析：選AD由題意，BC⊥AC，若AC⊥平面PBC，可得AC⊥PC，與AC⊥PA矛盾，故B錯誤；BC⊥AC，又PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC，則BC⊥平面PAC，則BC⊥PC，且平面PAC⊥平面PBC，故A、D正確；若平面PAB⊥平面PBC，而平面PAB∩平面PAC＝PA，則PA⊥平面PBC，可得PA⊥PC，與AC⊥PA矛盾，故C錯誤．故選A、D.13．如圖1，直線EF將矩形紙ABCD分為兩個直角梯形ABFE和CDEF，將梯形CDEF沿邊EF翻折，如圖2，在翻折的過程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面說法不正確的是()A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFEB．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFEC．在翻折的過程中，BF∥平面ADE恒成立D．在翻折的過程中，BF⊥平面CDEF恒成立解析：選ABD在A中，因為四邊形DEFC是梯形，DE∥CF，所以CD與EF相交，所以CD與平面ABFE相交，故A錯誤；在B中，因為四邊形DEFC是梯形，DE⊥CD，所以DE與EF不垂直，所以不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B錯誤；在C中，因為四邊形ABFE是梯形，AE∥BF，BF?平面ADE，AE?平面ADE，所以在翻折的過程中，BF∥平面ADE恒成立，故C正確；在D中，因為四邊形ABFE是梯形，AB⊥BF，所以BF與FE不垂直，在翻折的過程中，BF⊥平面CDEF不成立，故D錯誤．故選A、B、D.三、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中的橫線上)14.如圖，在三棱錐V-ABC中，當(dāng)三條側(cè)棱VA，VB，VC之間滿足條件_______時，有VC⊥AB.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保證VC⊥AB即可)15．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿對角線BD將△ABD折起，使二面角A-BD-C為120°，則點A到△BCD所在平面的距離為________．解析：設(shè)AC∩BD＝O，則翻折后AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC即為二面角的平面角，則∠AOC＝120°，且AO＝1.∴d＝1·sin60°＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)16．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝4，M，N是邊AB上的兩個動點，且|MN|＝1，則eq\o(CM,\s\up7(→))·eq\o(CN,\s\up7(―→))的取值范圍為________．解析：以C為原點，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸建立坐標(biāo)系如圖所示：∵AB＝2BC＝4，∴∠BAC＝30°，AC＝2eq\r(3)，設(shè)AN＝a，則Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)－\f(\r(3)a,2)，\f(a,2)))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)－\f(\r(3)a＋1,2)，\f(a＋1,2)))，∴eq\o(CM,\s\up7(―→))·eq\o(CN,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)－\f(\r(3)a＋1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)－\f(\r(3)a,2)))＋eq\f(a＋1,2)·eq\f(a,2)＝a2－5a＋9.∵M(jìn)，N在AB上，∴0≤a≤3.∴當(dāng)a＝0時，eq\o(CM,\s\up7(―→))·eq\o(CN,\s\up7(―→))取得最大值9，當(dāng)a＝eq\f(5,2)時，eq\o(CM,\s\up7(―→))·eq\o(CN,\s\up7(―→))取得最小值eq\f(11,4).∴eq\o(CM,\s\up7(―→))·eq\o(CN,\s\up7(―→))的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,4)，9)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,4)，9))17．(2022·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．解析：如圖，連接AO，OB，∵SC為球O的直徑，∴點O為SC的中點，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，設(shè)球O的半徑為R，則OA＝OB＝R，SC＝2R.∴VS-ABC＝VA-SBC＝eq\f(1,3)×S△SBC×AO＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×SC×OB))×AO，即9＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2R×R))×R，解得R＝3，∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π.答案：36π四、解答題(本大題共6小題，共82分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)18.(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，其高為6cm，底面三角形的邊長分別為3cm，4cm,5cm，以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積V.解：V三棱柱ABC-A1B1C1＝eq\f(1,2)×3×4×6＝36(cm3)．設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，則r＝eq\f(2S△ABC,AB＋BC＋AC)＝eq\f(2×\f(1,2)×3×4,3＋4＋5)＝1，V圓柱OO1＝πr2h＝6π(cm3)．所以V＝V三棱柱ABC-A1B1C1－V圓柱OO1＝(36－6π)cm3.19．(本小題滿分14分)已知復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)∵(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，∴z＝2＋i.(2)由(1)知z＝2＋i，則(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，∵復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a＋12>0，,4a＋1>0，))解得－1<a<1，即實數(shù)a的取值范圍為(－1,1)．20．(本小題滿分14分)將如圖①的矩形ABMD沿CD翻折后構(gòu)成一四棱錐M-ABCD(如圖②)，若在四棱錐M-ABCD中有MA＝eq\r(3).(1)求證：AC⊥MD；(2)求四棱錐M-ABCD的體積．解：(1)證明：如圖，連接AC.在△MAD中，MA＝eq\r(3)，MD＝1，AD＝2，所以MA2＋MD2＝AD2，所以MD⊥MA，又因為MD⊥MC，MC∩AM＝M，所以MD⊥平面MAC，所以AC⊥MD.(2)如圖，取CD的中點F，連接MF，在△ACD中，CD＝AC＝eq\r(2)，AD＝2，所以AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD，由(1)可知MD⊥平面MAC，所以AC⊥MD，所以AC⊥平面MCD，所以AC⊥MF，在△MCD中，MC＝MD＝1，所以MF⊥CD，MF＝eq\f(\r(2),2)，所以MF⊥平面ABCD，所以VM-ABCD＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD×MF＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1＋2×1))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4).21.(本小題滿分14分)(1)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱CC1⊥BC，CC1＝3，有蟲從A沿三個側(cè)面爬到A1，求小蟲爬行的最短距離．(2)以O(shè)為頂點的三棱錐中，過O的三條棱兩兩的夾角都是30°，在一條棱上取A，B兩點，OA＝4cm，OB＝3cm，以A，B為端點用一條繩子緊繞三棱錐的側(cè)面一周(繩和側(cè)面無摩擦)，求此繩在A，B兩點間的最短繩長．解：(1)三棱柱的側(cè)面展開圖為一個矩形AA′A1′A1，如圖所示，長A1A1′＝2×3＝6，寬AA1＝3，所以AA1′＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋A1A1′2)＝eq\r(9