2021年東北三三校一?？荚嚁?shù)學理科

2021年東北三省三校一?？荚嚕〝?shù)學理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分1直數(shù)巨的模為()+/A.1 B.。 C.V2 D.2.已知集合A=｛卜=\亞至｝,2=%|%2°｝,若4。5=4,那么實數(shù)。的取值范圍是()A.(-co,-3] B.(-oo,-3) C.(-co,0] D.L+s)3.從標有一、二、3.4、5的五張卡片中，依次抽出2張，那么在第一圖A到奇物的情形下，第二次抽到偶數(shù)的概率為（）A.1 B.14 24.已知sin--a=1，則cos--a=(13J3I6 )A.1 B.,l3 3C.13)C.迪3d.23D._立35.中心在原點，核心在y軸上的雙曲線的一條漸近線通過點（-2,4）,那么它的離心率為（A.S C.V326.Q+2/-1]展開式中的常數(shù)項是（）1%）A.12B.-12D.-87.某幾何體的三視圖如下圖，且該幾何體的體積是3,那么正視圖中的％的值是.已知函數(shù)/（%）=百sinco%+cosco%（co>0）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離是],那么該函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間為（）r71711 r5k7ii r7i2ki 「兀2兀36] [_1212j 163」 L33J.輾轉(zhuǎn)相除法是歐幾里德算法的核心思想，如下圖的程序框圖所描述的算法確實是輾轉(zhuǎn)相除法，假設輸入m=8521,〃=6105,那么輸出機的值為（）.底面

是正多邊形，極點在底面的射影是底面中心的棱錐叫做正棱錐.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐s—ABCD，該四棱錐的側(cè)面積為4<3，那么該半球的體積為（）a4兀A.a4兀A.-32兀「8aB. C. 3 34\二2兀D. 11.已知拋物線C:山=2x,直線l:y二3-2x+b與拋物線C交于A'B兩點'假設以AB為直徑的圓與x軸相切,那么b的值是（B.一那么b的值是（B.一2D.一512.在△ABC,NC=90°,AB=2BC=4,M,N是邊AB上的兩個動點，且MM=1，那么CM-CN的取值范圍為（）A.卜B.A.卜B.[5,9]D.%二、填空題（每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上）13.在△ABC中，AB=2,AC=v7,NABC二生，則BC=3x-1>0.假設x,y知足約束條件卜-y<0，則上的最大值為 .x+y-4<0x+1.甲、乙、丙三位教師別離在哈爾濱、長春、沈陽的三所中學里教不同的學科A、B、C，已知：①甲不在哈爾濱工作，乙不在長春工作；②在哈爾濱工作的教師不教C學科；③在長春工作的教師教A學科；④乙不教B學科.可以判定乙教的學科是.TOC\o"1-5"\h\z.已知函數(shù)f（x）=xlnx+1x2,x是函數(shù)f（x）的極值點，給出以下幾個命題：2 0①0<x/；②x>-；?f（x）+x<0；@f（x）+x>0；0e0e 0 0 0 0其中正確的命題是.（填出所有正確命題的序號）三、解答題（本大題共6小題，共70分.解許諾寫出文字說明、證明進程或演算步驟.）17.已知正項數(shù)列｛a｝知足：4S=a2+2a-3，其中S為數(shù)列｛a｝的前n項和.n nnn n n⑴求數(shù)列｛a｝的通項公式；n⑵設b=,，求數(shù)列｛b｝的前n項和T.na2-1 n nn18.某商場按月訂購一種家用電暖氣，每銷售一臺獲利潤200元，未銷售的產(chǎn)品返回廠家，每臺虧損50元，依照往年的體會，天天的需求量與當天的最低氣溫有關(guān)，假設是最低氣溫位于區(qū)間匚20,-10],需求量為100臺；最低氣溫位于區(qū)間匚25,-20)，需求量為200臺；最低氣溫位于區(qū)間[-35,-25)，需求量為300臺。公司銷售部為了確信11月份的訂購打算，統(tǒng)計了前三年11月份各天的最低氣溫數(shù)據(jù)，取得下面的頻數(shù)散布表:最低氣溫(℃)1-35,-30)1-30,-25)1-25,-20)1-20,-15)[-15,-10]天數(shù)112536162以最低氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最低氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求11月份這種電暖氣每日需求量X(單位：臺)的散布列；(2)若公司銷售部以每日銷售利潤丫(單位：元)的數(shù)學期望為決策依據(jù)，打算11月份每日訂購200臺或250臺，二者當被選其一，應選哪個?.如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PADI平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD為矩形，點M、E、N別冗離為線段AB、BC、CD的中點，F(xiàn)是PE上的一點，PF=2FE,直線PE與平面ABCD所成的角為一.4(1)證明：PEI平面MNF； ，"卜⑵設AB=AD，求二面角B-MF-N的余弦值. \—

WI-c.已知橢圓C:x-+y=1(a〉b〉0)過拋物線M:x2=4y的核心F，F(xiàn)-弓別離是橢圓C的左、右核心，且F^F-FF=6.⑴求橢圓C的標準方程；⑵若直線l與拋物線M相切，且與橢圓C交于A，B兩點，求AOAB面積的最大值..已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=Inx，h(x)=kx+b.⑴當b=0時，假設對任意x式0,+s)均有f(x)>h(x)>g(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍;(2)設直線h(x)與曲線f(x)和曲線g(x)相切，切點別離為A&,/(xj),BQ,g(xJ)，其中x1<0.①求證：％2>e；②當%>x2時，關(guān)于％的不等式a(%「1)+xlnx-%>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍..已知曲線q的極坐標方程為：p=4cos0，以極點為坐標原點，以極軸為x軸的正半軸成立直角坐標系，曲線C2的參數(shù)方程為:線C2的參數(shù)方程為:x—3—t2后y——t2(t為參數(shù)),點A(3,0).(1)求出曲線q的直角坐標方程和曲線C2的一般方程;(2)設曲線q與曲線C2相交于p，Q兩點，求|ap|』aq|的值..已知不等式I2x-5|+12x+1|>ax-1.⑴當a—1時，求不等式的解集；(2)假設不等式的解集為R，求a的范圍.

2021年三省三校一模考試（數(shù)學理科） 答案.選擇題：CABBABDABDCA.填空題：14.3 16.①③2三.解答題：17.（本題總分值12分）解：(I)令n=1,得4ai=a2+24-3，且a即4a=a2-a2+2a-2a ,當n>2時，4S-即4a=a2-a2+2a-2a ,整理得(a+a )(a一a-2)=0,「a>0，.二a一a=2,因此數(shù)列｛a｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,n故a=3+(n-1)x2=2n+1.n（II）由（I）知：bn1111,11

=（II）由（I）知：bna2—1 4n2+4n 4n(n+1)4nn+1n:.T=b+b+.?.+b=1(1—1+1—1+…+1—，)=1(1—，)二—n1 2n4 223nn+1 4n+1 4n+418.（本題總分值12分）解：（1）由已知X的可能取值為100,200,300X的散布列為X100200300P(2)由已知①當訂購200臺時，E(Y)=[200x100—50x(200—100)]x0.2+200x200x0.8=35000(元)②當訂購250臺時，E(Y)=[200x100—50x(250—100)]x0.2+[200x200—50x(250—200)]x0.4+[200x250]x0.4=37500(元)綜上所求，當訂購250臺時，Y的數(shù)學期望最大，11月每日應訂購250臺。19.(本題總分值12分).解：(I)取AD中點O，連接OE，交MN于點Q，連接FQ，那么OP±AD.因為平面PAD1平面A8CD,因此OP±平面ABCD,ZPEO=上，OP=OE.4

方式一：因為MN//BC,OE//AB9因此MN_LOE,因此MN_LP￡.又EF=：PEgOE,EQ=；OE,因此葛考=爭71因此/石尸。=/5。尸=—,因此尸。.且MNn/0=0,因此尸石，平面MNb.方式二：取4。中點0,連接。石，交MN于點。，連接尸。，那么0PLA。.TT因為平面PA。，平面ABC。，因此0P,平面AC,ZPEO=-,OP=OE.4又因為MN//5C,0E//AB,因此MN_LOE,因此MN_LPE.以0點為原點，射線。A、0E、。尸方向為x軸、y軸、z軸，成立空間直角坐標系。-盯z.設AB=77t,AD=n,則。（0,0,加），E（0,m,0）,M—,—,0,F0,—,—,U2）I44J于是而二（。此—扁，聲」—32”.1244；因此赤.加=0,因此?！阓LM尸，且加。板=〃，因此P^_L平面初\不（n）取AO中點。，連接OE,交MN于點。，連接尸。，那么OPLAD.因為平面PAD_L平面AC,因此QP_L平面AC,71ZPEO=-,OP=OE,4以。點為原點，射線04、OE、OP方向為x軸、y軸、z軸的正方向,成立空間直角坐標系O-xyz.設AB=AD=m,則尸（0,0,根），E（0,m,0）,3mmAm61t"mm八）「八3mm3mmB—,m,0,M—,—,0,F0,——,—12Jk22J144

于是尸E=（0,利-m），BM=0,(mmm、1244；設平面5腕的一個法向量為于是尸E=（0,利-m），BM=0,(mmm、1244；設平面5腕的一個法向量為4;Qjz）,…nBM=0則i一nBF=0從而＜—y=02mm x 2 4，令4=1,得％=(1,0,2).m 1yH—z=04而平面7W廠的一個法向量為〃=PE=（0,m,-m）.2因此cos,n1 2-2mJio>[癡75x>/2m 520.（本題總分值12分）解(1)?"(。,1)?=1,又丁%=6,，2c2=6,c=5又〃,〃=2,X2，橢圓C的標準方程為1+y2=L. . X. . XX2（x-%0）,即）=寸元一才,5）設直線/與拋物線相切于點尸（x0,y。），那么/--才=寸TOC\o"1-5"\h\zX X2y=ix-i， 4聯(lián)立直線與橢圓，消去y,整理得(1+x2)%2-X3X+聯(lián)立直線與橢圓X2 .——+V2=1[4由A=16(x2+1)一兄4>0,得0<12<8+4逐.設那么:X3T2 1+X20X4-16XX=-9 12 4(1+X2)0X+X1：12則設那么:X3T2 1+X20X4-16XX=-9 12 4(1+X2)0X+X1：12則IAB1=JIH—o-\x—x1=4 1 21+?收+y—_2二J16(X2+1)-X4& 0 Q-1+X20原點。到直線/的距離d=X22J%2+4Y0故AOAB面積S=—d-\AB1=1X2J16(%2+1)-X4——0-5 0 Q-1+X201J[16(X2+1)-X4]-X4 1+X2. o o——0-< =1,8 1+X2 1+X20 0當且僅當16(1+12)-X4=X4,即X2=4+2"取等號,0 0 0 0故AO43面積的最大值為l21.（此題總分值12分）解（I）:當〃=。時：h（x）=kx由/(x)N/i(x)Ng(x)知：ex>kx>\nx]nx依題意：—>k>——對xe(0,+s)恒成立設m(x)=—(x>0),/.m/(x)= __12X %2當xe(0,1)時加4％)<0;當xe(l,+oo)時加/(%)>0, [m(x)]-m(l)=emin、r/、Inxz八、/、1-lnx設〃⑴= (x>0),/.n/{x) %21當xe(0,e)時〃/(%)>0；當xe(e,+8)時〃/(x)<0,/.[n(x)] =〃(e)=—max故：實數(shù)k的取值范圍是[,，e]e（II）由已知：/'G）=ex,g（x）①：由y—e.="(1-x)得：h(x)=e\+(x-1)”由y—Inx=—(x-x)得:/i(x)^—x+lnx-1' 2 1 2 % 22 21故＜e\=—

x故＜(x-1)=1-lnx1 2/.e\(x-1)<0,

i1>1,故:②:由①知：'="I'e\(x-1)=x+1且x由q(x-l)+jdnx-x2。得：a{x-1)>x-xlnx,(x>x)1設G(x)=x-xlnx(x2x)2G(x)=l—lnx—l=-lnx<0」.G(x)在」.G(x)在X,+00

L2）為減函數(shù)，，G（x）=G（x）=x-xInx2 2 2