河北省保定市2023屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)（理）（A卷）試題

保定市2023屆高中畢業(yè)班模擬考試（一）理科數(shù)學(xué)（A卷）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A．B．C．D．2.已知為虛數(shù)單位，，其中，則（）A．B．C．2D．43.函數(shù)，其值域?yàn)?，在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率是（）A．B．C．D．4.點(diǎn)是以線段為直徑的圓上的一點(diǎn)，其中，則（）A．1B．2C．3D．45.，滿足約束條件：，則的最大值為（）A．-3B．C．3D．46.程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行的結(jié)果為，則判斷框中可填寫的關(guān)于的條件是（）A．B．C．D．7.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶早在《數(shù)書九章》中就獨(dú)立創(chuàng)造了已知三角形三邊求其面積的公式：“以小斜冪并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減之，以四約之，為實(shí)，一為從隅，開方得積.”（即：，），并舉例“問沙田一段，有三斜（邊），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知為田幾何？”則該三角形田面積為（）A．82平方里B．83平方里C．84平方里D．85平方里8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．9.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（）A．B．C．D．10.在中，，，則的最大值為（）A．B．C．D．11.過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若為正三角形，則其邊長為（）A．11B．12C．13D．1412.設(shè)，為兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系，它們具有相同的原點(diǎn)，正方向到正方向的角度為，那么對于任意的點(diǎn)，在下的坐標(biāo)為，那么它在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可以表示為：，.根據(jù)以上知識求得橢圓的離心率為（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13.命題：，的否定為．14.甲、乙、丙三位同學(xué)，其中一位是班長，一位是體育委員，一位是學(xué)習(xí)委員，已知丙的年齡比學(xué)委的大，甲與體委的年齡不同，體委比乙年齡小.據(jù)此推斷班長是．15.一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在底面棱長為2的正三棱柱的側(cè)棱上，則該直角三角形斜邊的最小值為．16.已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，（其中），則的取值范圍為．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.四棱錐的底面為直角梯形，，，，為正三角形.（Ⅰ）點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，若平面，，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.19.小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎(jiǎng)勵(lì)，超過55單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)12元.（Ⅰ）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪（單位：元）與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在時(shí)，日平均派送量為單.若將頻率視為概率，回答下列問題：①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；②結(jié)合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由.（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）20.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為1.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)是橢圓上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn)，延長直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.21.已知函數(shù)，，在處的切線方程為.（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：.（二）選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對應(yīng)的題號右側(cè)方框涂黑，按所涂題號進(jìn)行評分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評分；不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評分.22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線相切；（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）在曲線上取兩點(diǎn)，與原點(diǎn)構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.23.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)的定義域?yàn)?；（Ⅰ）求?shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)實(shí)數(shù)為的最大值，若實(shí)數(shù)，，滿足，求的最小值.保定市2022-2023學(xué)年高中畢業(yè)班第一次模擬考試試題理科數(shù)學(xué)答案選擇題（A卷答案）1-5AABDC6-10CCDBD11-12BA（B卷答案）1-5BBADC6-10CCDAD11-12AB填空題13.14.乙15.16.三、解答題(解答題僅提供一種或兩種解答，其他解答請參照此評分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分）17解：(1)法一：由得………………2分當(dāng)當(dāng)時(shí)，，即………………4分又，當(dāng)時(shí)符合上式，所以通項(xiàng)公式為………………6分法二：由得………………2分從而有………………4分所以等比數(shù)列公比，首項(xiàng)，因此通項(xiàng)公式為………………6分（2）由（1）可得…8分………10分……………12分18（1）因?yàn)槠矫鍿DM,平面ABCD,平面SDM平面ABCD=DM,所以……2分因?yàn)?所以四邊形BCDM為平行四邊形，又，,所以M為AB的中點(diǎn)?！?分因?yàn)椤?分（2）因?yàn)椋?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，平面平面，在平面?nèi)過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，則平面，………………6分在和中，因?yàn)?，所以，又由題知，所以所以，…………7分以下建系求解。以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA方向?yàn)閄軸，EC方向?yàn)閅軸，ES方向?yàn)閆軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則，，，，，…………8分，，，，設(shè)平面的法向量，則，所以，令得為平面的一個(gè)法向量，…………9分同理得為平面的一個(gè)法向量，……………10分，因?yàn)槎娼菫殁g角所以二面角余弦值為…………12分19.解：（1）甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：…………2分乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：………4分①由已知，在這100天中，該公司派送員日平均派送單數(shù)滿足如下表格：單數(shù)5254565860頻率0.20.30.20.20.1所以的分布列為：1521541561581600.20.30.20.20.1-----------5分所以----6分-------7分所以的分布列為：1401521762000.50.20.20.1-----------8分所以-----------9分-------10分②答案一：由以上的計(jì)算可知，雖然，但兩者相差不大，且遠(yuǎn)小于，即甲方案日工資收入波動(dòng)相對較小，所以小明應(yīng)選擇甲方案。--------12分答案二：由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，，即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望，所以小明應(yīng)選擇乙方案。--------12分20解：（1）設(shè)由題，--------------------2分解得，則，橢圓的方程為.-------------------------------------------4分（2）設(shè)，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，直線的方程為代入，可得，，則直線的斜率為，直線的斜率為，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得.----------------------------5分當(dāng)直線、的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則由消去可得：，又，則，代入上述方程可得，，則7分設(shè)直線的方程為，同理可得----------------------------9分直線的斜率為----------------11分直線的斜率為，.所以，直線與的斜率之積為定值，即.-----------------12分21．解：（Ⅰ）由題意，所以，又，所以，…………2分若，則，與矛盾，故，…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，…………5分設(shè)在(-1，0)處的切線方程為，易得，，令即，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故…………7分設(shè)的根為，則又函數(shù)單調(diào)遞減，故，故，…………8分設(shè)在(0,0)處的切線方程為，易得令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，…………10分設(shè)的根為，則又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，………11分又，…………12分選作題22（1）由題意可知直線的直角坐標(biāo)方程為，…………2分曲線是圓心為，半徑為的圓，直線與曲線相切，可得：；可知曲線C的方程為，…………4分所以曲線C的極坐標(biāo)方程為，即…………5分(2)由（1）不妨設(shè)M（），，（）…………7分………………9分當(dāng)時(shí),所以△MON面積的最大值為.