基本支撐體系數(shù)學資料數(shù)學史家中外數(shù)學家【省一等獎】

哥德爾哥德爾，K．F(Gdel，KurtFriedrich)1906年4月28日生于奧匈帝國的布爾諾(今屬捷克斯洛伐克)；1978年1月14日卒于美國普林斯頓．數(shù)學、邏輯學、數(shù)學哲學．哥德爾的父親在青年時代即從維也納遷移到興旺的紡織工業(yè)基地布爾諾定居，他富有自力更生的創(chuàng)業(yè)精神，后來成了那里一家主要紡織廠的管理方面的領導者．哥德爾的母親一家由萊茵河地區(qū)到布爾諾從事紡織工業(yè)，她曾在布爾諾一所法語學校讀書，受過較好的教育，她終生對文化事業(yè)保持興趣，她生育了哥德爾兄弟二人，哥德爾的哥哥比他大四歲，后來成了一位放射學家．哥德爾有一個幸福的童年，但他膽小又愛吵鬧，在六七歲時患了急性風濕性關節(jié)炎，危害了他的健康，特別是影響了他的心臟．他的才智很早就顯露出來了．由于他經(jīng)常提出各式各樣的問題，家里人常稱他為“為什么先生”(MrWhy)．1912年，他六歲時進入布爾諾的巴黎學校上學．從1916年到1924年，他的學習成績優(yōu)秀，特別是在數(shù)學、語言和神學方面表現(xiàn)尤為突出．第一次世界大戰(zhàn)直接影響了哥德爾及其家庭，雖然布爾諾地區(qū)遠離戰(zhàn)爭前線，但戰(zhàn)后，1918年奧匈帝國解體了，出現(xiàn)了新國家：奧地利、捷克斯洛伐克、匈牙利等．1924年哥德爾畢業(yè)于布爾諾大學預科，然后到維也納大學學習．當時，維也納作為1919年新創(chuàng)立的奧地利共和國的首都，是當時的政治、經(jīng)濟、文化中心．1929年哥德爾成了奧地利的公民．在維也納大學，哥德爾先學物理，后主攻數(shù)學．他參加了以攻讀B．羅素(Russell)的專著《數(shù)學的哲學導論》(Introductiontomathematicalphilosophy，1919)為中心的討論班．在1926—1928年期間哥德爾也參加了維也納M．施利克(Schlick)的哲學小組，但他并不贊成邏輯實證論觀點，1929年他逐漸離開了這一小組，但他仍與該組成員R．卡納普(Carnap)保持一般的接觸．哥德爾離開石里克小組的主要原因是他已建立了自己的獨到的哲學觀點．哥德爾的老師、數(shù)學家P．富特溫勒(Furtwngler)對他有很大的影響．他的導師H．哈恩(Hahn)的研究興趣主要是現(xiàn)代分析、集合論、拓撲、邏輯、數(shù)學基礎和科學哲學，在知識背景方面直接影響了哥德爾．但是，哥德爾在確定自己的研究方向時，起重要作用的兩個因素是卡納普的數(shù)理邏輯講演，D．希爾伯特(Hilbert)和W．阿克曼(Ackermann)的專著《理論邏輯原理》(GrundzgedertheoretischenLogik,1928)．在這本書的1928年版(即第二版)中著者列舉了一階謂詞演算的完全性這個未解決的問題．哥德爾把這一問題作為自己的主攻方向．1929年夏季，當時只有23歲的哥德爾肯定地解決了這一問題：證明了一階謂詞演算的完全性定理．由此，在1930年2月他獲得了博士學位．隨后，他進一步研究希爾伯特方案，希望用有窮方法證明數(shù)學形式系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性問題，主要是關于算術、分析和集合論等系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性問題．1930年8月26日哥德爾向卡納普等人通告了他的不完全性結(jié)果，即數(shù)論形式系統(tǒng)如果是協(xié)調(diào)的，則它是不完全的，并且它的協(xié)調(diào)性在系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的．1930年9月7日哥德爾在柯尼斯堡召開的數(shù)學討論會上第一次正式公布了他的上述結(jié)果．同年10月23日在維也納科學院他也報告了他的上述結(jié)果．哥德爾的不完全性結(jié)果與希爾伯特的猜想相反，并且從根本原則上否定了希氏方案．希氏學派的主要成員馮·諾伊曼(vonNeumann)、P．伯奈斯(Bernays)先后認識到了哥德爾上述結(jié)果的巨大的潛在意義，希爾伯特也不得不重新修改了他的方案．從1930年起，哥德爾與馮·諾伊曼、伯奈斯、E．F．策梅羅(Zermelo)、A．塔斯基(Tarski)等著名數(shù)理邏輯學家建立良好的關系．馮·諾伊曼出生于匈牙利，比哥德爾僅大三歲，但他當時已在證明論、集合論、分析學和數(shù)學物理等方面作出了重要結(jié)果，因而名噪一時．伯奈斯是希爾伯特的助手與合作者，策梅羅是集合論公理系統(tǒng)的首創(chuàng)者，塔斯基是波蘭邏輯學家，由于他的形式語言真值概念的工作而成名．他們的交流促進了數(shù)理邏輯的發(fā)展，擴大了這一學科的影響，并使哥德爾開創(chuàng)的方向成了這一學科的主要傾向．在1933年3月經(jīng)過簡短的教學實習，哥德爾出任維也納大學的無薪水講師．同年9月30日赴美國講學，作為普林斯頓高級研究院的客座成員，他報告了他的不完全性結(jié)果．同年12月哥德爾在美國數(shù)學會年會上報告了“數(shù)學基礎的現(xiàn)狀”．1934年4月18日哥德爾在紐約哲學學會上的講演題目是“包含算術的任意形式系統(tǒng)內(nèi)不可判定命題的存在性”．接著4月20日在華盛頓科學院講了“數(shù)學能夠證明協(xié)調(diào)性嗎？”同年5月26日至6月3日乘船返回歐洲．1935年5月在維也納大學他講授數(shù)理邏輯課程，其間曾于6月19日在蒙格爾的學術討論會上介紹他的證明長度的論文．1935年9月至12月哥德爾第二次訪問美國．10月間他向馮·諾伊曼通報了他的選擇公理相對協(xié)調(diào)性證明．由于健康原因，他向普林斯頓高級研究院辭職回維也納治病，1936年他主要在治療疾?。?937年哥德爾在維也納大學講授公理集合論課程，并發(fā)現(xiàn)了廣義連續(xù)統(tǒng)假設相對集合論公理協(xié)調(diào)性證明的關鍵步驟．1938年9月20日，哥德爾與安迪(AdeleNimbursky)女士結(jié)婚．安迪比哥德爾大六歲，早在1927年哥德爾才21歲時他們就相愛了．安迪是位舞女并且曾經(jīng)結(jié)過婚，對于他們的相愛，哥德爾的父母極力反對．盡管哥德爾的父親在1929年已病故，他們?nèi)酝七t了多年才結(jié)婚．婚后半個月，1938年10月6日哥德爾把妻子留在維也納，獨自應邀第三次赴美國講學，10月15日到達普林斯頓高級研究院．直至12月他都在講述選擇公理、連續(xù)統(tǒng)假設相對協(xié)調(diào)性結(jié)果，其間《美國科學院學報》(ProceedingsoftheNationalAcademyofScience，U．S．A，24，pp．556—557)宣布了他的結(jié)果．同年12月28日哥德爾在美國數(shù)學學會第45屆年會上報告了“廣義連續(xù)統(tǒng)假設的協(xié)調(diào)性”．1939年《美國科學院學報》(同上，25，PP．220—224)發(fā)表了哥德爾的論文“廣義連續(xù)統(tǒng)假設的協(xié)調(diào)性證明”(Consistency－proofforthegeneralizedcon－tinuum－h(huán)ypothesis)．同年6月14日—20日，哥德爾乘船由美國返回維也納．雖然，哥德爾當時已解決了幾項重大的數(shù)學問題，三次應邀赴美國講學，他已成為世界知名的數(shù)理邏輯學家，但他在維也納大學仍然是一個無薪水的講師．9月25日他申請晉升為正規(guī)的講師，無人理采．這樣，哥德爾就不得不尋找到美國定居的途徑了．1940年1月哥德爾偕夫人安迪離開維也納到美國定居．1938年3月13日希特勒已吞并了奧地利，哥德爾離開納粹統(tǒng)治下的維也納使他從此有了一個進行研究工作的安定環(huán)境．從此，他再也沒有回過歐洲．1940年春，哥德爾到達普林斯頓高級研究院，成了該院的成員．同年普林斯頓大學出版社出版了哥德爾的專著《廣義連續(xù)統(tǒng)假設的協(xié)調(diào)性》(Theconsistencyofcontinuumhypothesis)，這是根據(jù)他于1938至1939年在普林斯頓高級研究院講演的原稿整理的，全名應是《選擇公理、廣義連續(xù)統(tǒng)假設與集合論公理的相對協(xié)調(diào)性》(Theconsistencyoftheaxiomofchoiceandofthegeneralizedcantinuum－h(huán)ypothesiswiththeaxiomsofsettheo－ry)．1941年4月他在耶魯大學的講演是“在什么意義下直覺主義邏輯是構(gòu)造的？”(Inwhatsenseisintuitionisticlogiccons－truetive？)1942年作出了“在有窮類型論中選擇公理的獨立性證明”(Proofoftheindependenceoftheaxiomofchoicein－finitetypetheory)．1944年發(fā)表了“羅素的數(shù)理邏輯”(Russell＇smathematicallogic)．1946年在普林斯頓200周年紀念會上就數(shù)學問題作了講演．1947年發(fā)表了重要的數(shù)學哲學論文“什么是康托爾的連續(xù)統(tǒng)問題？”(WhatisCantor＇scontinuumproblem？)哥德爾在普林斯頓最親密的朋友是著名物理學家A．愛因斯坦(Einstein)和數(shù)理經(jīng)濟學家O．摩根斯頓(Morgenstern)．他們經(jīng)常散步和閑談．1948年4月2日他們?nèi)艘黄鸬矫绹泼窬?，一起取得美國國籍，成為美國公民．哥德爾與愛因斯坦一直是最親密的朋友，直至愛因斯坦1955年去世．雖然他們兩人在性格上有很大的差別，愛因斯坦愛社交，活潑開朗，而哥德爾嚴肅認真、相當孤獨，但是他們都是直接地全心全意地探求科學的本質(zhì)．1943年后，哥德爾逐漸把注意力轉(zhuǎn)向數(shù)學哲學乃至一般的哲學問題．當然他也還不斷地關注邏輯結(jié)果，比如1958年他研究了有窮方法的擴充，1963年審閱并推薦了P．J．科恩(Cohen)的重要論文“連續(xù)統(tǒng)假設的獨立性”(Theindependenceofthecontinuumhypothesis)．1973年評述了A．魯賓遜(Robinson)創(chuàng)立的非標準分析．哥德爾這些工作對數(shù)理邏輯的發(fā)展都起了重要的作用．1953年哥德爾晉升為普林斯頓高級研究院的教授．1951年哥德爾獲得愛因斯坦的首次獎，以后多次獲得榮譽稱號，如哈佛、洛克菲勒等著名大學的榮譽博士、英國皇家學會國外會員、法國研究院的通信成員．哥德爾于1966年還拒絕接受奧地利科學院授予他的榮譽成員稱號．1975年9月18日他獲得了美國總統(tǒng)獎，當時的總統(tǒng)是福特．哥德爾妻子安迪于1981年在普林斯頓去世，他們沒有子女．我們曾經(jīng)指出，哥德爾是亞里士多德(Aristotle)和G．W．萊布尼茨(Leibniz)以來最偉大的邏輯學家．但是，這決不僅僅是由于他的聰明才智所決定的，更重要的是數(shù)學、邏輯學發(fā)展到20世紀所面臨的問題、面臨的任務并由此而出現(xiàn)了一大批優(yōu)秀的邏輯學家，哥德爾是其中最突出的代表．19世紀在微積分基礎工作中出現(xiàn)了A．柯西(Cauchy)、K．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)、R．戴德金(Dedekind)和G．康托爾(Cantor)這樣一批大數(shù)學家，他們十分重視數(shù)學的邏輯嚴謹性．G．弗雷格(Frege)又建立適應數(shù)學論證的謂詞演算，在邏輯學中首次引進全稱量詞和存在量詞的概念．1900年巴黎數(shù)學家大會上希爾伯特提出了23個未解決的數(shù)學問題，其中第一個問題是康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設是否成立，第二個問題是算術公理的協(xié)調(diào)性．他指出，在關于公理系統(tǒng)所能提出的問題中，最為重要的是：證明這些公理不互相矛盾，就是說，以它們?yōu)榛A而進行的有限步驟的邏輯推演，決不會導致矛盾的結(jié)果．1900年前后，先后在康托爾集合論中發(fā)現(xiàn)幾個令人吃驚的悖論．這樣，出現(xiàn)了數(shù)學基礎的危機，為解決這種危機，L．E．J．布勞威爾(Brouwer)提出了在數(shù)學中取消無窮對象、取消數(shù)學論證中無限制地使用排中律的直覺主義建議，由此形成了數(shù)學基礎研究中的直覺主義學派．羅素提出了把數(shù)學還原為邏輯，形成了邏輯主義學派．羅素與A．N、懷特海(Whitehead)合著的《數(shù)學原理》(Principiamathematica)一書中完全應用了數(shù)理邏輯的方法，從一些邏輯概念和數(shù)學公理出發(fā)實際上推導出很大一部分數(shù)學，而這是沿著弗雷格、G．皮亞諾(Peano)的思路開始的．希爾伯特強調(diào)數(shù)理邏輯在數(shù)學基礎研究中的巨大作用，但他不贊成邏輯主義，更反對直覺主義．在希爾伯特看來，悖論的根源不在于實無窮，而在于對實無窮的錯誤認識．希爾伯特認為直覺主義否定實無窮，否定排中律等等，是對數(shù)學“這門科學大砍大殺”，就會使數(shù)學“失去大部分最寶貴的財富”．希爾伯特及其學派制定了一個保衛(wèi)數(shù)學建立其嚴謹基礎的方案，人們稱之為希爾伯特方案．這一方案是要將數(shù)學理論進行形式化處理，建立相應的形式公理系統(tǒng)，用有窮方法研究系統(tǒng)的完全性、協(xié)調(diào)性和判定性等問題．這些形式公理系統(tǒng)共同的邏輯基礎是謂詞演算，當時已證明了謂詞演算的可靠性(或稱一致性)，即任一邏輯定理在所有的解釋(或稱賦值)下都是真的(稱之為普遍有效的)．但是，謂詞演算是否具有完全性呢？也就是說，謂詞演算中普效命題是否是邏輯定理呢？這是1920年前后人們關注的一未解決的重大問題，直至1928年在前述的希爾伯特與阿克曼的專著第二版中仍然是末獲得解決的問題．1929年哥德爾肯定地解決了這一問題，證明了謂詞演算的完全性定理．這一結(jié)果，對于希爾伯特方案是一有力的支持，因為它表明了希爾伯特所依據(jù)的邏輯基礎是既可靠又完全的一門獨立的數(shù)學理論．哥德爾完全性定理在謂詞演算的語法概念與語義概念之間架起了一座橋梁．這里語法概念指形式系統(tǒng)，語義概念指數(shù)學模型．這就是說，哥德爾定理是在形式系統(tǒng)與數(shù)學模型之間架起了一架橋梁．形式系統(tǒng)的一合式公式(或稱命題，也稱語句)集合S叫做協(xié)調(diào)的，如果此系統(tǒng)內(nèi)不存在一合式公式A，使得從S出發(fā)公式A與A的否定式A都是可證的．S不是協(xié)調(diào)的就叫它是不協(xié)調(diào)的．一不空集合M及M上定義的關系、函數(shù)等一起可以構(gòu)成一結(jié)構(gòu)．形式系統(tǒng)的一命題A，在結(jié)構(gòu)M上做解釋，對于這一解釋而言，命題A經(jīng)解釋后在結(jié)構(gòu)M中是真的，就稱結(jié)構(gòu)M為A的一模型．若S中每一命題經(jīng)解釋后在結(jié)構(gòu)M中都是真的，就稱M是S的一模型．顯然，結(jié)構(gòu)、解釋、模型都是語義概念．依據(jù)上述概念，哥德爾完全性定理是說：對于謂詞演算的任一命題集合S而言，都有：S是協(xié)調(diào)的當且僅當S有模型．這里所講的謂詞演算是一階古典謂詞演算，也稱為狹謂詞演算，“一階”是相對“高階”而言的，即量詞的變域是個體域，而不能是謂詞，也不能是函數(shù)詞，“古典”是相對“直覺主義”或“各種非經(jīng)典或非標準”而言的．哥德爾完全性定理是當代模型論的基本定理之一，由它導出了一系列重要結(jié)果．還應當指出，哥德爾完全性定理是對形式系統(tǒng)的整體特征性定理(而不是系統(tǒng)內(nèi)的形式定理)，這種定理稱之為元定理或元數(shù)學定理．按照希爾伯特方案和當時人們的思想觀念，元定理應局限在有窮方法內(nèi)給出證明，排中律與無窮過程是不能被使用的．然而，這一定理是很強的，用有窮方法是不可能給出證明的．哥德爾看出了這一問題，大膽地采用無窮方法找出問題的答案，給出了定理的證明．對此，哥德爾曾在致王浩的信中說道，他解決了完全性在于他的哲學思想先進，不拘泥于有窮方法，而并不是他的數(shù)學技巧比別人高明(見WangHao，F(xiàn)rommathematicstophilosophy)．在哥德爾晚年，王浩是他的最好的朋友之一，他們之間就數(shù)學基礎和哲學問題有許多內(nèi)容深刻的交談．哥德爾不完全性定理是更令人吃驚的．如前指出，不完全性是指形式算系統(tǒng)而言的，也可以說是指皮亞諾算術系統(tǒng)P而言的．哥德爾證明：如果P是協(xié)調(diào)的，則有一算術的形式命題A即A為P中一命題)，并且A與A在P中都不可證明的．這與希爾伯特的猜想完全相反．希爾伯特猜想，不僅形式數(shù)學系統(tǒng)的基礎邏輯——謂詞演算是完全的，而且每一個形式數(shù)學系統(tǒng)也是完全的，特別是皮亞諾算術系統(tǒng)P也應當是完全的，它的命題集合總是可以一分為二，一部分是P的定理集合(即其中每一元都是P的定理，不妨把定理集合記為T)，另一部分是P的可駁集合(即其中每一元都是P的否定理，即它的否定式是P的定理，不妨把P的可駁集合記為R)．希爾伯特猜想，系統(tǒng)P的命題集合恰好就是T與R的并集合：T∪R．這就是說，皮亞諾公理系統(tǒng)巳完全刻畫了算術系統(tǒng)．但是，哥德爾否定了希爾伯特的猜想，從而否定了希爾伯特方案．哥德爾具體地嚴謹?shù)刈C明了存在一命題A，A和它的否定式都不在T中，也不在R中．也就是說，P的命題集合不可能按照其元(即命題)是可證可駁的原則分為兩部分，這是一重大的結(jié)果．哥德爾怎樣獲得這一結(jié)果呢？為了證明上述定理，哥德爾區(qū)分了形式系統(tǒng)內(nèi)外的幾個層次和它們間的聯(lián)系．第一步，形式系統(tǒng)的概念是使用無數(shù)學概念建立起來的．這些元數(shù)學概念是若干個符號的規(guī)定、轉(zhuǎn)換和說明．第二步，是把元數(shù)學概念通過配數(shù)方法(這一方法也是哥德爾給出的)給出算術化處理，用自然數(shù)的函數(shù)與關系把它們描述出來，并證明這些函數(shù)與關系的機械性質(zhì)，即它們是遞歸函數(shù)與遞歸關系．第三步，證明遞歸函數(shù)與遞歸關系在形式數(shù)論系統(tǒng)內(nèi)都是數(shù)詞可表達的．哥德爾通過這些精湛的數(shù)學技巧，從錯綜復雜的聯(lián)系中弄清“命題A在P中是可證的”、“公式序列Г是命題A在P中的一證明”等關于形式系統(tǒng)P的元數(shù)學概念都可以算術化為關于自然數(shù)間的關系與函數(shù)．并且它們又都是在P中可表達的，從而他構(gòu)造了他的定理所要求的命題AP，并得到了上述不完全性定理的證明．由此，哥德爾證明：AP，與AP在P中都是不可證明的，從語法上講，AP與AP都是不可證的，而從語義上，AP與AP必然有一個是真的(事實上由哥德爾的構(gòu)造過程可知，AP是真的)．因此，哥德爾第一次澄清了真與可證是兩個不同的概念．對于形式系統(tǒng)而言，可證性是一個較為機械的思維過程，而真理性則是一個能動的和超窮的思維過程，二者不能混為一談．此外，命題AP對自己也是有所斷定的，這就反對了羅素與懷特海關于命題不能對自己有所斷定的意見．上述哥德爾不完全性定理在文獻中常稱為哥德爾第一不完全性定理．哥德爾還證明了另一個定理，文獻中稱之為第二不完全性定理，這一定理是說，如果系統(tǒng)P是協(xié)調(diào)的，那么它的協(xié)調(diào)性在系統(tǒng)P中是不可證明的．它的證明是通過把“P是協(xié)調(diào)的”這一元數(shù)學概念加以算術化，然后在P中形式化，得到它的形式公式可記為“con(P)”．我們再把第一定理的證明，即(*)“若P是協(xié)調(diào)的，則AP是不可證的”加以形式化，也就是把(*)的整個證明在系統(tǒng)P內(nèi)形式化，則我們應獲得(**)Pcon(P)→AP．現(xiàn)在，設Pcon(P)，這時，由(**)叫將獲得PAP，這就得到與第一定理相矛盾的結(jié)論．從而就得到了第二定理的證明．哥德爾的上述結(jié)果對邏輯學和數(shù)學特別是數(shù)學基礎產(chǎn)生了巨大的影響，使邏輯學、數(shù)學基礎學在新的起點上獲得了新的發(fā)展，揭示了機械的與非機械的思維活動的基本性質(zhì)，論證了形式系統(tǒng)的邏輯標準與局限性問題，這些都是人類認識史上的重大結(jié)果．對于機械的思維活動，哥德爾在證明不完全性定理時，采用了遞歸方法并開展詳盡的論述．根據(jù)J．埃爾布朗(Herbrand)和哥德爾的意見，S．C．克林(Kleene)對一般遞歸函數(shù)理論作了深入的研究，A．丘奇(Church)建立λ演算理論，A．M．圖靈(Turing)建立另一種機械性思維過程，以描述算法，現(xiàn)在人們稱之為圖靈機器．人們很快就證明：上述幾種機械性思維過程的概念和理論都是等價的，可以相互轉(zhuǎn)換的．近年來，人們進一步發(fā)現(xiàn)了一系列可以相互轉(zhuǎn)換的算法概念與理論，并且愈來愈展現(xiàn)出他們在計算機領域內(nèi)的巨大作用．關于連續(xù)統(tǒng)假設相對于集合論通常公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性證明以及在證明過程中所創(chuàng)立的可構(gòu)成性方法，是哥德爾的又一重大貢獻．連續(xù)統(tǒng)問題是康托爾首先提出的，這涉及到無窮集合、無窮基數(shù)中一些根本問題．在許多無窮集合的比較中，以什么為標準呢？康托爾提出按一一對應來區(qū)分集合的“大小”，與自然數(shù)集合有一一對應關系的集合稱為可數(shù)集合，諸如此種集合的基數(shù)定義為，把所有具有基數(shù)為的集合收集在一起所組成的哪個集合的基數(shù)為，以此類推，可以獲得無窮基數(shù)序列：其中α為任意的序數(shù)．另一方面，實數(shù)集合的基數(shù)，也就是自然數(shù)集合的所有子集合所構(gòu)成的哪個集合的基數(shù)為2，康托爾證明它大于，然而它究竟等于式(1)中哪個基數(shù)呢？因為式(1)是一嚴格遞增的基數(shù)序列，并且2大于，因此，就有1878年康托爾猜想式(2)中的等號應當成立．也就是說，他猜想：就是康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設．1883年，康托爾在他的論文“關于無窮線性點集合(5)”(berunendlichelinearePunktmannigfaltig－keiten5，MathematischeAnnalen，21(1883)，pp545—586)中，希望不久將能夠公布他的猜想的嚴格證明．隨后，他還一再聲明將公布他的證明．但是，直至1918年1月6日康托爾去世，他也沒有把他的證明公布于眾．大概是他發(fā)現(xiàn)了原來的證明有錯誤而未公開發(fā)表．1900年夏季在巴黎舉行的第二次國際數(shù)學家代表大會上，希爾伯特做了題為《數(shù)學問題》(MathematischeProbleme，ArchivderMathematikundPhysik，Series3，1，pp．44—63，213—237)的演說，提出了前面曾經(jīng)說過的23個未解決的問題，向20世紀的數(shù)學家們提出挑戰(zhàn)．其中第一個問題就是“證明連續(xù)統(tǒng)假設”．他說：“康托爾關于這種集合的研究，提出了一個似乎很合理的定理，可是盡管經(jīng)過堅持不懈的努力，還是沒有人能夠成功地證明這條定理．這一定理就是：每個由無窮多個實數(shù)組成的系統(tǒng)，亦即實數(shù)集合R的無窮子集合(或點集合)，或者與自然數(shù)1，2，3，……組成的集合對等(即有一一對應的關系)，或者與全體實數(shù)組成的集合對等，從而與連續(xù)統(tǒng)(即一條直線上的點的全體)相對等；因此，就對等關系而言，實數(shù)的無窮子集合只有兩種：可數(shù)集合和連續(xù)統(tǒng)．”他接著又說：“由這條定理，立即可以得出結(jié)論：連續(xù)統(tǒng)所具有的基數(shù)，緊接在可數(shù)集合的基數(shù)之后；所以，這一定理的證明，將在可數(shù)集合與連續(xù)統(tǒng)之間架起一座新的橋梁．”1925年，已經(jīng)63歲、身患多種病的希爾伯特又提出了試圖證明連續(xù)統(tǒng)假設的大綱，這就是他1926年的論文“論無窮”(berdasUnendiche，MathematischeAnnalen，95，pp．161—190)．遺憾的是他的證明有漏洞，證明是錯誤的．這一切都表明連續(xù)統(tǒng)問題是很有意義的、難度很大的問題．1934年波蘭學者W．謝爾品斯基(Sierpinski)出版他的專著《連續(xù)統(tǒng)假設》(Hypotheseducontinu)，揭示了在分析數(shù)學中有12個數(shù)學命題與連續(xù)統(tǒng)假設等價，有81個命題是它的直接推論．這就更突出了它的重大意義．對于這一問題，哥德爾所取得的重大進展是連續(xù)統(tǒng)假設與集合論的通常公理系統(tǒng)(包括選擇公理)是協(xié)調(diào)的，也就是說，集合論的通常的公理系統(tǒng)(包括選擇公理)推不出連續(xù)統(tǒng)假設的否定式．在證明過程中，哥德爾引進了可構(gòu)成集合、可構(gòu)成公理等重要概念．對于任意一集合S而言，集合S1叫做S的可定義子集合，如果有一公式(x1，…，xn，x)和S的元素a1，…，an，使得S1=｛x|x∈SΛ(a1，…，am，x)｝成立，令S＇為S的所有可定義子集合所組成的集合．令L0=，(4．1)La+1=(La)＇，(4．2)一集合x叫做是可構(gòu)成的，如果存在一序數(shù)α，使得x∈La．可構(gòu)成公理是說，每一集合都是可構(gòu)成的，常常記做V=L．哥德爾首先證明通常集合論公理(不包括選擇公理)都在L中成立，然后證明，可構(gòu)成公理蘊涵選擇公理與連續(xù)假設．文獻中常把選擇公理記做AC(AxiomofChoice的縮寫)，連續(xù)統(tǒng)假設記做CH(ContinuumHypothesis的縮寫)，并且把通常的集合論公理系統(tǒng)理解為策梅羅-弗倫克爾(Zermelo－Fraenkel)系統(tǒng)(通常簡記為ZF，不包括選擇公理，當把它理解為包括選擇公理時，也常記做ZFC)．使用上述記號，就有V=L→ACΛCH，(5)在ZF中可證明．第三步，哥德爾還證明了：V=L在L中成立．從而就得到了選擇公理與連續(xù)統(tǒng)假設在L中成立．因為V=L并非是一真命題，只是在L中真，所以AC與CH也并非真命題，它們只是在L中真．哥德爾的結(jié)果給人們一種寬慰，不會因為使用選擇公理增加不可靠性，也就是說，人們使用ZF公理所建立的數(shù)學理論沒有矛盾時，再進一步地使用選擇公理，即在使用ZFC時所建立的數(shù)學理論也沒有矛盾．哥德爾建立的AC與ZF的相對協(xié)調(diào)性證明也是一項重大結(jié)果．哥德爾的結(jié)果還有更廣泛的結(jié)論，這就是在L中不僅CH成立，而且廣義連續(xù)統(tǒng)假設(GeneralizedContinuumHypothesis，?？s寫為GCH)也成立．其中GCH是F．豪斯多夫(Hausdorff)在1908年提出的，對于任意的序數(shù)a，應有等式成立．事實上，康托爾在1883年也曾說應有成立．顯然，式(3)與(7)都是式(6)的特殊形式．哥德爾在前邊提到的1940年的專著中證明的是V=L→ACΛGCH．他的結(jié)果較之更為廣泛．哥德爾創(chuàng)立的可構(gòu)成方法開辟了集合論研究的新方法、新方向，文獻中常稱為內(nèi)模型方法．1940年以后人們對它進行了系統(tǒng)的研究，獲得了極小內(nèi)模型等重要結(jié)果，在這些結(jié)果與方法的基礎上，P．J．科恩(Cohen)1963年創(chuàng)立了力迫方法，證明了廣義連續(xù)統(tǒng)假設、選擇公理相對于通常集合論公理的獨立性結(jié)果．當我們用符號“”表示“推不出”時，哥德爾的定理就是：而科恩的定理是：這就是100多年以來，人們對選擇公理與連續(xù)統(tǒng)假設的主要結(jié)果．康托爾提出的連續(xù)統(tǒng)的勢到底等于什么呢？或者說，2到底是無窮基數(shù)序列式(1)中哪一個呢？這仍然是一個未解決的重大的數(shù)學問題．關于這一點，哥德爾早在1947年的哲學性論文“什么是康托爾的連續(xù)統(tǒng)問題？”(WhatisCantor＇sContinuumprob－lem？)中就指出：“康托爾連續(xù)統(tǒng)問題，不論采取什么哲學觀點，不可否認地至少保持這個意義：去發(fā)現(xiàn)它是否有一個答案，如果有，那么是什么答案，是能從所引用的系統(tǒng)中所陳述的公理推導出來的．”“自然，如果按這個方法解釋，那么(假定公理的協(xié)調(diào)性)對于康托爾猜測就先驗地存在著三種可能性：它是可證明，或者是可否證的，或是不可判定的．”哥德爾的結(jié)果說明不可能是“否證的”，科恩的結(jié)果說明不可能是被“證明的”，因此，就是“不可判定的”了．哥德爾著重指出，從所采取的集合論公理對康托爾猜測的不可判定性的證明，“決不是問題的解決”．它仍然是當代數(shù)學的一大難題．這在某種程度可歸之于純數(shù)學的困難．此外，哥德爾說：“看來這里還含有更深刻的原因，并且只有在對它們中出現(xiàn)的詞項(如“集合”、“一一對應”，等等)和支配這些詞項的使用的公理的意義進行(比數(shù)學通常作的)更深刻的分析，才能得到這些問題的完全解決．”在哥德爾看來，如果我們所解釋的集合論的原始詞項的意義被認為是正確的話，那么就可以得出，集合論的概念和定理描述了某個完全確定的實在(即論域)，在其中康托爾猜測必然或者是真的，或者是假的．“因此，從今天所采取的公理得出康托爾猜測的不可判定性，只是意味著這些公理沒有包括那個實在的完全描述．”他又說：“可能存在就其證明的結(jié)果來說是如此豐富的其它公理，它照亮整個領域并產(chǎn)生這樣強有力的解決問題的方法(并且，只要是可能的，甚至可以構(gòu)造地解決它們)，使得不論它們是否是內(nèi)在必須的，至少應在如同任何已經(jīng)完全建立的物理理論同等的意義上接受它的．”哥德爾在分析了與連續(xù)統(tǒng)假設有關的許多數(shù)學命題之后指出：“與大量的蘊涵連續(xù)統(tǒng)假設的否定似乎真的命題相反，沒有一個已知的似乎真的命題蘊涵連續(xù)統(tǒng)假設．”因此，在新的系統(tǒng)中，“有可能否證康托爾猜測”．哥德爾40年前的論斷，仍然是當今集合論學者關心的課題．以S．斯拉(Shelab)為代表