2022-2023學年重慶市萬州第二高二年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年重慶市萬州第二高級中學高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知為等差數(shù)列，公差，，則（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】D【解析】利用等差數(shù)列的性質求解.【詳解】，，解得，，.故選：D2．已知，則在處的導數(shù)（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)條件可得出，即可得出的值.【詳解】，．故選：C3．已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)題意整理得，構建新函數(shù)，結合單調(diào)性分析得，整理結合基本不等式運算求解．【詳解】由，則構建函數(shù)，則∵，則當時恒成立∴在上單調(diào)遞增，則，即∴，當且僅當時取等號故選：C．4．曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出切點坐標以及切線的斜率，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】對函數(shù)求導得，則所求切線斜率為，且，因此，曲線在點處的切線方程為，即.故選：C.5．已知定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且當，有，若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得函數(shù)關于直線對稱，，進而構造函數(shù)，易得其關于點對稱，在上單調(diào)遞增，再分時和時兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因為定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以函數(shù)關于直線對稱，即.因為當，有，即，故令，則在上單調(diào)遞增，因為，所以關于點對稱，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以所以，當時，，所以.當時，，所以且，即無解.所以，不等式的解集是故選：A6．已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用及換元法即可求得結果.【詳解】，令，，則，，，當且僅當且，即，時，等號成立，所以，故有最小值.故選：D.7．已知直線與圓相交于兩點，當變化時，△的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將△的面積表示出來即可求出最大值.【詳解】因為直線直線恒過點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，圓的圓心，所以△的面積的最大值為：.故選：C.8．“x，y為無理數(shù)”是“xy為無理數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】對充分性和必要性分別取特殊值進行否定即可.【詳解】充分性：取符合“x，y為無理數(shù)”，但是不符合“xy為無理數(shù)”，故充分性不滿足；必要性：當“xy為無理數(shù)”時，可以取，但是不符合“x，y為無理數(shù)”，故必要性不滿足.故“x，y為無理數(shù)”是“xy為無理數(shù)”的既不充分也不必要條件.故選：D二、多選題9．下面選項中，變量是變量的函數(shù)的是（

）A．表示某一天中的時刻，表示對應的某地區(qū)的氣溫B．表示年份，表示對應的某地區(qū)的GDP(國內(nèi)生產(chǎn)總值)C．表示某地區(qū)的學生某次數(shù)學考試成績，表示該地區(qū)學生對應的考試號D．表示某人的月收入，表示對應的個稅【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，進行判斷【詳解】ABD均滿足函數(shù)的定義，C選項，同一個分數(shù)可以對應多個考試號，不滿足對于任意的x，都有唯一的y與其對應，故C選項錯誤.故選：ABD10．已知正數(shù)，，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)，由指數(shù)運算法則，可得A對B錯；由兩邊取對數(shù)，可判斷C正確；由兩邊取對數(shù)，可判斷D正確.【詳解】因為正數(shù)，，滿足，由，所以，即A正確，B錯；由兩邊同時取以為底的對數(shù)，可得，即C正確；由兩邊同時取以為底的對數(shù)，可得，即D正確；故選：ACD.11．已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．與的夾角為【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算逐一判斷可得選項.【詳解】對于A：向量，，所以，故A正確；對于B：，，所以，故B正確；對于C：，所以，故C不正確；對于D：，所以，又，所以與的夾角為，故D正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù).B．函數(shù)在上單調(diào)遞增.C．若，則的最小值為.D．當?shù)闹涤蚴?【答案】AC【分析】根據(jù)題意求出表達式，對于A選項：求出表達式判斷奇偶性即可；對于B選項：求出單調(diào)遞增區(qū)間，當時即可判斷；對于C選項：分析可知最小值為半個周期，即可求解；對于D選項：利用換元法令求出的范圍即可得到函數(shù)值域；【詳解】函數(shù)的圖像關于直線對稱，，，，，時，，，對于A選項：,，，為奇函數(shù)，故A選項正確；對于B選項：由，得，當時，在當單調(diào)遞增，故B選項錯誤；對于C選項：若，則最小值為半個周期，即，故C選項正確；對于D選項：當時，，令則，結合正弦函數(shù)圖像知，的值域是，故D選項錯誤.故選：AC三、填空題13．集合的元素個數(shù)是______．【答案】11【分析】應用列舉法寫出所有符合集合描述的元素，即可知元素個數(shù).【詳解】時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，；∴集合為共11個元素.故答案為：1114．已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，，當時，（為常數(shù)），關于的方程（且）有且只有個不同的根，則能推出下列正確的是___________（請?zhí)顚懻_的編號）.①函數(shù)的周期②在單調(diào)遞減③的圖象關于直線對稱④實數(shù)的取值范圍是【答案】②③④【分析】根據(jù)函數(shù)基本性質，逐項分析判斷即可得解.【詳解】由知，所以，周期，令，則，所以，解得，即當時，，,所以，即，①錯誤；所以當時，是個減函數(shù)，；當時，，，是個減函數(shù)，；可知在單調(diào)遞減，②正確；當時，，，得，，所以在區(qū)間上，，又，得，即的圖象關于直線x=1對稱，由周期性可知在上的圖象關于直線對稱，故③正確；由題意知與(且)有且只有3個公共點，作出函數(shù)圖象，有極大值點，7，11，…，極小值點，5，9，…，極大值為2，極小值為，為減函數(shù)時不合題意，所以為增函數(shù)，由得，由題意知且，即且，所以，④正確.故答案為：②③④15．已知等邊三角形ABC的邊長為2，邊AB的中點為D，邊BC上有兩動點E，F(xiàn)，若，則的取值范圍是______．【答案】【分析】取線段EF的中點P，將表示為，再求出的取值范圍即可作答.【詳解】如圖，取線段EF的中點P，連DP，則有，，在正中，當點E與B重合時，，，則，此時，即，點E從點B開始向點C移動，線段DP長逐漸增大，當點F與C重合時，，，則，則，，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點睛：涉及定長的線段兩端點向量數(shù)量積，取線段的中點，借助向量數(shù)量積的計算公式求解是關鍵.16．已知O是內(nèi)部一點，且滿足，又，則的面積為______.【答案】【分析】由，可知O為的重心，則，再由平面向量數(shù)量積的運算結合三角形面積公式求解即可.【詳解】由及得，所以，所以.又，且O在內(nèi)，所以O為的重心，所以.故答案為：四、解答題17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且角A為銳角.(1)求角B；(2)若的面積為，求b的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先化簡可得：，由角A為銳角，所以，即可的得解；（2）由，可得，由，代入即可得解.【詳解】（1）由可得：，由角A為銳角，所以，所以，又，所以；（2），所以，由余弦定可得，當且僅當時取等，滿足角A為銳角，所以由，可得b的最小值為.18．設函數(shù).(1)若在點處的切線為，求a，b的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)，；(2)答案見解析.【分析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導，切點在曲線，切點在切線，切點處的導數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導，第三步令導數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.【詳解】（1）的定義域為，，因為在點處的切線為，所以，所以；所以把點代入得：.即a，b的值為：，.（2）由（1）知：.①當時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；②當時，令，解得：，列表得：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜上所述：當時，在單調(diào)遞減；當時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.【點睛】導函數(shù)中得切線問題第一步求導，第二步列切點在曲線，切點在切線，切點處的導數(shù)值為切線斜率這三個方程，可解切線相關問題.19．已知等差數(shù)列的前四項和為10，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列通項公式（2）設，求數(shù)列的前項和【答案】（1）或；（2）見解析.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式結合等比數(shù)列的性質即可得解；（2）由分組求和法結合等差、等比數(shù)列的前n項和公式即可得解.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意，得，解得或，所以或；（2）當時，，此時；當時，，此時.20．如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點．(1)求CE的長；(2)設二面角平面角的補角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．【答案】(1)(2)【分析】(1)由條件證明，解三角形求即可；(2)建立空間直角坐標系，求平面PAD和平面PBC的法向量，結合向量夾角公式求平面PAD和平面PBC夾角余弦值，利用換元法和二次函數(shù)性質求其最小值.【詳解】（1）取PA的中點G，連接DG，EG，如圖所示：則，且，，所以四邊形CDGE為平行四邊形．因為，所以為直角三角形，，在中，因為，所以，所以所以CE的長為；（2）在平面ABCD內(nèi)過點A作BC的平行線，交CD的延長線于點M，如圖所示，則，，以點M為坐標原點，分別以MA，MC為x軸和y軸，以與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，取AD的中點為N，連接PN，MN，則，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，在平面PMN內(nèi)過點P作，垂足為F，因為平面平面，所以平面，由已知可得，則，設．因為，所以，因為，，為線段的中點，所以，所以，所以，所以．設平面PAD的法向量，則令，則．設平面的法向量，因為，則令．則，所以為平面的一個法向量．設平面PAD和平面PBC的夾角為，則．令，所以，所以，所以當時，有最小值，所以平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值為．【點睛】本題解決的關鍵在于根據(jù)二面角的平面角的定義確定二面角的平面角，結合所建坐標系確定點的坐標.21．已知函數(shù)(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)當時，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由在上單調(diào)遞增，得恒成立，討論的單調(diào)性，求的最小值大于等于恒成立，建立不等關系，求得答案.（2）利用分析法轉化需要證明的結論為，構造函數(shù)利用導數(shù)研究單調(diào)性，可判斷函數(shù)在上存在唯一零點，結合重要不等式對式子進行放縮，結論得證.【詳解】（1）在上單調(diào)遞增，所以恒成立，令恒成立，當時，恒成立.當時，所以h（x）在上單調(diào)遞增，所以時，，故不符合題意.當時，令，解得，當時，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以解得.綜上，的取值范圍是.（2）證明：當時，，要證，即證，只需證，即證令，令，當時，，當時，，所以，故存在使得所以，即在時遞增，在時遞減.令，則二次函數(shù)關于直線對稱，函數(shù)圖象開口向下，且，故當時，，又∴，又，所以函數(shù)在上存在唯一零點，使得.,當且僅當時等號成立.令，則，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以，即，當且僅當時等號成立因為取等號的條件不一致，故.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．已知橢圓的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為、，記四邊形的內(nèi)切圓為，過橢圓上一點T引圓的兩條切線（切線斜率存在且不為0），分別交橢圓于點P、Q．(1)試探究直線TP與TQ斜率之積是否為定值，并說明理由；(2)記點O為坐標原點，求證：P、O、Q三點共線．【答案】(1)直線TP與TQ斜率之積為定值，理由見解析(2)證明過程見解析【分析】（1）先求出：，不妨取，則，利用點到直線距離等于半徑，得到，得到，將代入可得直線TP與TQ斜率之積為；（2）設直線，得到，直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得到，同理設出直線，聯(lián)立后得到，從而，同理可得，證明出P、O、Q三點共線．【詳解】（1）由題意得：，直線方程為，即，原點到直線的距離為，故內(nèi)切圓的半徑為，由對稱性可知圓心為，所以：，不妨取，則，此時切線