微積分在實際生活中的應(yīng)用

本文格式為Word版，下載可任意編輯——微積分在實際生活中的應(yīng)用微積分不僅是一個數(shù)學(xué)概念，其實也是一種數(shù)學(xué)思想，微分就是“無限細分〞，而積分就是“無限求和〞.微積分在創(chuàng)立之初就在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)和天文學(xué)等方面發(fā)揮了十分重要的作用，反過來，又是在這些應(yīng)用中得以發(fā)展的.本文將從微積分在物理學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中的作用談起，試圖探討微積分在生活中的無論大的方面還是小的方面的應(yīng)用.

微積分；物理學(xué)；經(jīng)濟學(xué)；實際生活；應(yīng)用

一、前言

微積分是高等數(shù)學(xué)中的一門重要學(xué)科，是對微分學(xué)和積分學(xué)的總稱.微積分是運用無窮大和無窮小等極限過程來分析和處理計算問題的數(shù)學(xué)概念，所以也有人將之稱為分析學(xué).

微積分不僅是一個數(shù)學(xué)概念，其實也是一種數(shù)學(xué)思想，微分就是“無限細分〞，而積分就是“無限求和〞.微分學(xué)包括極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等主要內(nèi)容，積分學(xué)包括定積分、不定積分等內(nèi)容.通俗的來說，微積分主要就是研究一些不過則變量的，小到不規(guī)則建筑零件的體積的計算，大到對經(jīng)濟受益彈性的計算等等.微積分在創(chuàng)立之初就在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)和天文學(xué)等方面發(fā)揮了十分重要的作用.

二、微積分在物理中的應(yīng)用

微積分在實際生活中的應(yīng)用往往是通過在對一些使用科學(xué)中的應(yīng)用來表達的.其中微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用就十分之普遍，下面就從兩個簡單的有關(guān)力學(xué)和電學(xué)的問題來看微積分在物理中的普遍應(yīng)用.

例1若某質(zhì)點做直線運動，其位移與時間的函數(shù)關(guān)系為s=3t+2t2，試求其t時刻的速度的表達式.（所有物理量都用國際制單位，以下同）

分析我們知道，公式v=Δs[]Δt一般是求Δt時間內(nèi)的平均速度，當Δt取很小很小，才可近似處理成瞬時速度.

s（t）=3t+2t2s（t+Δt）=3（t+Δt）+2（t+Δt）2.

Δs=s（t+Δt）-s（t）=3（t+Δt）+2（t+Δt）2-3t-2t2=3Δt+4tΔt+2Δt2.

v=Δs[]Δt=3Δt+4tΔt+2Δt2[]Δt=3+4t+2Δt.

當Δt取很小，小到跟3+4t相比忽略不計時，v=3+4t即為t時刻的瞬時速度.

例2電容器是一種存儲電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電容器放電時的狀況.某電容為C的電容器，其已充電的電量為Q0，若讓該電容與另一個阻值為R的電阻串聯(lián)起來，該電容器將會放電，其釋放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱（內(nèi)能）.試探討：放電時流過電阻R的電流隨時間t的變化關(guān)系如何？

分析在Δt的時間內(nèi)，通過電阻R的電量為Δq.雖然電流隨時間發(fā)生變化，但在很短的時間Δt內(nèi)，可以認為電流幾乎不變，當成恒定電流處理，故有Δq=iΔt.對電容有Q=CU=CiR，ΔQ=CRΔi；由電量守恒，ΔQ=-Δq，故-iΔt=CRΔi，然后把“Δ〞形式改寫成微積分語言的“d〞形式，就有-idt=CRdi（dt和di稱之為微分），數(shù)學(xué)變形為i=-CRdi[]dt，接著再依照袋鼠方法就可以計算了.

三、微積分在經(jīng)濟上的應(yīng)用

微積分不僅在物理中運用十分普遍，在經(jīng)濟學(xué)中也是一樣.微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用主要表達在函數(shù)關(guān)系上，下面仍舊用兩個問題進行簡單論述.

例1設(shè)某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品x件時的總收益為R（x）=100x-x2，總成本函數(shù)為C（x）=200+50x+x2，問政府對每件商品征收貨物稅為多少時，在企業(yè)獲得利潤最大的狀況下，總稅額最大？

分析設(shè)每件商品征收的貨物稅為a，利潤為L（x）