精選新課標(biāo)2023高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：專題九《分類討論的思想》

精選新課標(biāo)2023高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：專題九?分類討論的思想?PAGE1-【專題九】分類討論的思想【考情分析】高考中的分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多，利于考查學(xué)生的知識面、分類思想和技巧；同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強的綜合性，樹立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原那么、方法與技巧、做到“確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論.〞【知識交匯】分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想在簡化研究對象，開展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位。所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想〞．1.分類討論的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的根本方法之一，是歷年高考的重點⑴分類討論的思想具有明顯的邏輯特點；⑵分類討論問題一般涵蓋知識點較多，有利于對學(xué)生知識面的考察；⑶解決分類討論問題，需要學(xué)生具有一定的分析能力和分類技巧；⑷分類討論的思想與生產(chǎn)實踐和高等數(shù)學(xué)都緊密相關(guān)。2.分類討論的思想的本質(zhì)分類討論思想的本質(zhì)上是“化整為零，積零為整〞，從而增加了題設(shè)條件的解題策略．3.運用分類討論的思想解題的根本步驟⑴確定討論對象和確定研究的全域；⑵對所討論的問題進行合理的分類〔分類時需要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級〕；⑶逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決；⑷歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論．4.明確分類討論的思想的原因，有利于掌握分類討論的思想方法解決問題，其主要原因有：⑴由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：如絕對值定義、等比數(shù)列的前項和公式等等；⑵由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類討論：如偶次方根非負、對數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)的要求、不等式兩邊同乘一實數(shù)對不等號方向的影響等等；⑶由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論；⑷由幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論；⑸由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或由于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法；⑹其他根據(jù)實際問題具體分析進行分類討論，如排列、組合問題，實際應(yīng)用題等?！舅枷敕椒ā恳弧栴}中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進行分類討論【例1】設(shè)，函數(shù).當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;當(dāng)時,求函數(shù)的最小值.【解析】〔1〕當(dāng)時，令得所以切點為〔1，2〕，切線的斜率為1，所以曲線在處的切線方程為：?！?〕①當(dāng)時，，，恒成立。在上增函數(shù)。故當(dāng)時，②當(dāng)時，，〔〕〔i〕當(dāng)即時，在時為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)。故當(dāng)時，，且此時(ii)當(dāng)，即時，在時為負數(shù)，在間時為正數(shù)。所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)故當(dāng)時，，且此時(iii)當(dāng)；即時，在時為負數(shù)，所以在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù)，故當(dāng)時，。綜上所述，當(dāng)時，在時和時的最小值都是。所以此時的最小值為；當(dāng)時，在時的最小值為，而，所以此時的最小值為。當(dāng)時，在時最小值為，在時的最小值為，而，所以此時的最小值為所以函數(shù)的最小值為【點評】此題涉及的知識點有帶絕對值的式子，因此要了解絕對值概念的定義，進行分類討論。二、根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理，公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)【例2】求和=【解析】：當(dāng)時，；當(dāng)時，此題為等比數(shù)列求和，①假設(shè)時，那么由求和公式，。②假設(shè)時,。綜合可得【點評】：由于等比數(shù)列定義本身有條件限制，等比數(shù)列求和公式是分類給出的。因此，應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時也需要討論，這里進行了兩層分類：第一層分類的依據(jù)是等比數(shù)列的概念，分為和；第二層分類依據(jù)是等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用條件。三、涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論【例3】假設(shè)四面體各棱長是1或2，且該四面體不是正四面體，那么其體積的值是.(只須寫出一個可能的值)【解析】首先得考慮每個面的三條棱是如何構(gòu)成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個四面體，再求其體積.由平時所見的題目，至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2，另一邊為1，對棱相等的四面體.對于五條邊為2，另一邊為1的四面體，參看圖1所示，設(shè)AD=1，取AD的中點為M，平面BCM把三棱錐分成兩個三棱錐，由對稱性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=SΔBCM·AD.CM===.設(shè)N是BC的中點，那么MN⊥BC，MN===，從而SΔBCM=×2×=，故VABCD=××1=.對于對棱相等的四面體，可參見圖2.其體積的計算可先將其置于一個長方體之中，再用長方體的體積減去四個小三棱錐的體積來進行.亦可套公式V=·，不妨令a=b=2，c=1，那么V=·=·=.四、問題中的條件是分類給出的【例4】〔2023年湖北卷理科〕數(shù)列滿足：〔m為正整數(shù)〕，假設(shè)，那么m所有可能的取值為__________?！窘馕觥俊?〕假設(shè)為偶數(shù)，那么為偶,故①當(dāng)仍為偶數(shù)時，故②當(dāng)為奇數(shù)時，故得m=4。〔2〕假設(shè)為奇數(shù)，那么為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=5五、解題過程不能統(tǒng)一表達，必須分類討論的某商店經(jīng)銷一種奧運會紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的本錢為30元，并且每賣出一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交元〔為常數(shù)，2≤a≤5〕的稅收。設(shè)每件產(chǎn)品的售價為x元(35≤x≤41),根據(jù)市場調(diào)查,日銷售量與(e為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例。每件產(chǎn)品的日售價為40元時，日銷售量為10件。(1)求該商店的日利潤L〔x〕元與每件產(chǎn)品的日售價x元的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價為多少元時，該商品的日利潤L〔x〕最大，并求出L〔x〕的最大值。解〔1〕設(shè)日銷售量為那么日利潤〔2〕①當(dāng)2≤a≤4時，33≤a+31≤35，當(dāng)35<x<41時，∴當(dāng)x=35時，L〔x〕取最大值為②當(dāng)4＜a≤5時，35≤a+31≤36，易知當(dāng)x=a+31時，L〔x〕取最大值為綜合上得用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問題的操作過程：明確討論的對象和動機→確定分類→逐類進行討論→歸納綜合結(jié)論→檢驗分類是否完備〔即分類對象彼此交集為空集，并集為全集〕。做到“確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層類別不重復(fù)、不遺漏的分析討論.〞【專題演練】1．集合A={x｜x2–3x+2=0},B={x｜x2–ax+(a–1)=0}，C={x｜x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，那么a的值為，m的取值范圍為.2給出定點A〔a,0)〔a＞0〕和直線l：x=–1，B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C.求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.3.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)f(x)的最小值.4.設(shè)，函數(shù)假設(shè)的解集為A，，求實數(shù)的取值范圍。【參考答案】1.解:A={1,2},B={x｜(x–1)(x–1+a)=0},由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2；由A∩C=C，可知C={1}或.答案：2或33或〔–2，2〕2.解：依題意，記B〔–1，b)，(b∈R〕，那么直線OA和OB的方程分別為y=0和y=–bx.設(shè)點C(x,y)，那么有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知點C到OA、OB距離相等.根據(jù)點到直線的距離公式得｜y｜=①依題設(shè)，點C在直線AB上，故有由x–a≠0，得②將②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0假設(shè)y≠0，那么(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)假設(shè)y=0那么b=0,∠AOB=π，點C的坐標(biāo)為〔0，0〕滿足上式.綜上，得點C的軌跡方程為〔1–a〕x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a(i)當(dāng)a=1時，軌跡方程化為y2=x(0≤x＜1③此時方程③表示拋物線弧段；(ii)當(dāng)a≠1，軌跡方程化為④所以當(dāng)0＜a＜1時，方程④表示橢圓弧段；當(dāng)a＞1時，方程④表示雙曲線一支的弧段.3.解：(1)當(dāng)a=0時，函數(shù)f(–x)=(–x)2+｜–x｜+1=f(x)，此時f(x)為偶函數(shù).當(dāng)a≠0時，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)此時函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).〔2〕①當(dāng)x≤a時，函數(shù)f(x)=x2–x+a+1=(x–)2+a+假設(shè)a≤，那么函數(shù)f(x)在(–∞,a］上單調(diào)遞減.從而函數(shù)f(x)在〔–∞,a上的最小值為f(a)=a2+1假設(shè)a＞，那么函數(shù)f(x)在〔–∞,a上的最小值為f()=+a，且f()≤f(a).②當(dāng)x≥a時，函數(shù)f(x)=x2+x–a+1=(x+)2–a+假設(shè)a≤–，那么函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(–)=–a，且f(–)≤f(a)；假設(shè)a＞–，那么函數(shù)f(x)在［a,+∞)單調(diào)遞增