湖北省鄂州市2022-2022學(xué)年度上學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)模擬試題

鄂州市2022—2022學(xué)年度上學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)、學(xué)校寫在答題紙的密封線內(nèi)．2．選擇題的每小題選出答案后，把答案代碼填在答題紙前面的選擇題答題表內(nèi)，不能答在試卷上．3．填空題和解答題應(yīng)在指定的地方作答，否則答案無效．選擇題：（本大題共12個(gè)小題；每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。）1．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1－3i,1－i)的共軛復(fù)數(shù)為A．2＋i B．2－i C．－1＋2i D．－1－2i2．已知集合U=R，集合CUA等于A． B．C． D．3．已知命題則P為A． B．C． D．4．已知向量，且，則的最小值為A． B． C． D．15．設(shè)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的值為A． B． C． D．6．在等差數(shù)列{an}中，若an＞0，公差d＞0，則有a4·a6＞a3·a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn＞0，公比q＞1，則b4，b5，b7，b8的一個(gè)不等關(guān)系是A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b57．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1，1)，若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是A．[－1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[－1，2]8．已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為A． B． C． D．9．關(guān)于函數(shù)，以下結(jié)論正確的是A．的最小值是－2，在區(qū)間是減函數(shù)B．的一條對(duì)稱軸方程為C．的圖像向右平移個(gè)單位，得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D．的最小正周期是π，在區(qū)間是增函數(shù)10．如圖是由底為1，高為1的等腰三角形及高為2和3的兩矩形所構(gòu)成，函數(shù)S＝S(a)(a≥0)是圖形介于平行線y＝0及y＝a之間的那一部分面積，則函數(shù)S(a)的圖形大致為SS(a)OOOOS(a)S(a)S(a)ABCD123aaaa123123123123xyO32111．若偶函數(shù)滿足且時(shí),則方程的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)12．已知為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于恒成立，且e為自然對(duì)數(shù)的底，則A． B．C． D．二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。13．若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4，2)，則它在A點(diǎn)處的切線方程為.14．閱讀右面的程序框圖，則輸出的S等于15．已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝4，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為16．已知集合,有下列命題①若則；②若則；③若則的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；④若則對(duì)于任意不等的實(shí)數(shù)，總有成立.其中所有正確命題的序號(hào)是.三、解答題：（解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。）17．（本題滿分12分）已知二次函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列的前n項(xiàng)和．⑴求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；⑵設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．18．（本題滿分12分）在△ABC中，已知AB＝EQ\R(3)，BC＝2。⑴若cosB＝－eq\f(\r(3),6)，求sinC的值；⑵求角C的取值范圍．19．（本題滿分12分）省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天f(x)的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M(a)．⑴令，，求t的取值范圍；⑵省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？20．（本題滿分12分）已知點(diǎn)P（-1,）是橢圓E：（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF1⊥x軸．⑴求橢圓E的方程；⑵設(shè)A、B是橢圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（0<λ<4，且λ≠2）．求證：直線AB的斜率等于橢圓E的離心率；⑶在⑵的條件下，當(dāng)△PAB面積取得最大值時(shí)，求λ的值．21．（本題滿分12分）已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。⑴討論f(x)的單調(diào)性。⑵證明：（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2,其中無理數(shù)e=…）四、選考題（請(qǐng)考生在22，23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡把所選題目的題號(hào)涂黑）22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延長線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F．⑴求證：DE是⊙O的切線；⑵若，求的值．23．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系,已知曲線（a＞0），已知過點(diǎn)P（－2，－4）的直線L的參數(shù)方程為：，直線L與曲線C分別交于M，N． ⑴寫出曲線C和直線L的普通方程； ⑵若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．鄂州市2022—2022學(xué)年度上學(xué)期期末考試答案高三數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題：題號(hào)123456789101112答案ABDCDACBDCCA二、填空題：13．14．3015．116．②③三、解答題：17．（本小題滿分12分） 解：⑴依題意， 又由得 …………………… （3分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，………………… （6分）⑵①②由①－②得…………（12分）18．（本小題滿分12分）解：⑴在△ABC中，由余弦定理知，AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosB＝4＋3＋2×2EQ\R(3)×（－eq\f(\r(3),6)）＝9．所以AC＝3．…………………（3分）又因?yàn)閟inB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－(－\F(\r(3),6))2)＝eq\f(\r(33),6)，………（4分）由正弦定理得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)．所以sinC＝eq\f(AB,AC)sinB＝eq\f(\r(11),6)?！?分）⑵在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcosC所以，3＝AC2＋4－4ACcosC即AC2－4cosCAC＋1＝0．………………（8分）由題，關(guān)于AC的一元二次方程應(yīng)該有解，令△＝（4cosC）2－4≥0,得cosC≥eq\f(1,2)，或cosC≤－eq\f(1,2)（舍去，因?yàn)锳B＜AC）,所以，0＜C≤eq\f(π,3)，即角C的取值范圍是（0，eq\f(π,3)）?！?2分）19．（本小題滿分12分）解：⑴當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0；…………（2分）當(dāng)0＜x≤24時(shí)，eq\f(1,t)＝x＋eq\f(1,x)．對(duì)于函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)，∵y′＝，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)單調(diào)遞增，當(dāng)1＜x≤24時(shí)，y′＞0，函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)單調(diào)遞增，∴y[2，＋∞)．∴eq\f(1,t)(0，eq\f(1,2)]．綜上，t的取值范圍是[0，eq\f(1,2)]．……………（5分）⑵當(dāng)a[0，eq\f(1,2)]時(shí)，f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋eq\f(2,3)＝eq\b\lc\{(\a\al(3a－t＋eq\f(2,3)，0≤t≤a，,t＋a＋eq\f(2,3)，a≤t≤eq\f(1,2)．))………（8分）∵g(0)＝3a＋eq\f(2,3)，g(eq\f(1,2))＝a＋eq\f(7,6)，g(0)－g(eq\f(1,2))＝2a－eq\f(1,2)．故M(a)＝eq\b\lc\{(\a\al(g(eq\f(1,2))，0≤a≤eq\f(1,4)，,g(0)，eq\f(1,4)＜a≤eq\f(1,2)))＝eq\b\lc\{(\a\al(a＋eq\f(7,6)，0≤a≤eq\f(1,4)，,3a＋eq\f(2,3)，eq\f(1,4)＜a≤eq\f(1,2)))．………（10分）當(dāng)且僅當(dāng)a≤eq\f(4,9)時(shí)，M(a)≤2，故a[0，eq\f(4,9)]時(shí)不超標(biāo)，a(eq\f(4,9)，1]時(shí)超標(biāo)．………………（12分）20．（本小題滿分12分）解：⑴∵PF1⊥x軸，∴F1（-1，0），c=1，F(xiàn)2（1，0），|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，橢圓E的方程為：；………（3分）⑵設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=③1,-），所以x1+x2=③-2，y1+y2=（2-③）①……（5分）又，，兩式相減得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0.②以①式代入可得AB的斜率k===e；……（8分）⑶設(shè)直線AB的方程為y=x+t，與聯(lián)立消去y并整理得x2+tx+t2-3=0,△=3（4-t2），AB|=，點(diǎn)P到直線AB的距離為d=，△PAB的面積為S=|AB|×d=，……（10分）設(shè)f（t）=S2=（t4-4t3+16t-16）（-2<t<2），f’（t）=-3（t3-3t2+4）=-3（t+1）（t-2）2，由f’（t）=0及-2<t<2得t=-1．當(dāng)t∈（-2,-1）時(shí)，f’（t）>0，當(dāng)t∈（-1,2）時(shí)，f’（t）<0，f（t）=-1時(shí)取得最大值，所以S的最大值為．此時(shí)x1+x2=-t=1=③-2，③=3．……（12分）21.（本小題滿分12分）解：⑴f′(x)=－+a=……………（1分）(i)若a=0時(shí)，f′(x)=＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減?！?分）（ii）若時(shí)，f′(x)≤0對(duì)x∈R恒成立?！鄁(x)在R上單調(diào)遞減?！?分）(iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0ax2+2x+a＞0＜x＜由f′(x)＜0可得x＞或x＜∴f(x)在[，]單調(diào)遞增在（-∞，]，[上單調(diào)遞減。綜上所述：當(dāng)a=0時(shí),f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減。當(dāng)a≤－1時(shí)，f(x)在（－∞，+∞）上單調(diào)遞減。當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f(x)在[，]單調(diào)遞增在（-∞，]，[上單調(diào)遞減?！?分）⑵由（1）當(dāng)a=－1時(shí)，f(x)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減。當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f(x)＜f(0)∴l(xiāng)n（1+x2）－x＜0即ln（1+x2）＜x∴l(xiāng)n[（1+）（1+）……(1+)]=ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++……+＜=1-+-+…+=1-＜1∴（1+）（1+）……(1+)＜e……（12分）22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講證明：⑴連接OD，可得OD∥AE………（3分）又DE是⊙O的切線．………（5分）⑵過D作于H，則有