2019-2020學年黑龍江大慶實驗高二下學期線上期中考試數(shù)學（文）試題（解析版）

2019-2020學年黑龍江大慶實驗高二下學期線上期中考試數(shù)學（文）試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)則“”是“是純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】分析：先由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求出實數(shù)的值，然后根據(jù)充分必要條件的定義進行判斷可得結(jié)論．詳解：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得．∴“”是“是純虛數(shù)”的充要條件．故選C．點睛：判斷p是q的什么條件，可根據(jù)定義從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p．對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題．2．為了堅決打贏新冠狀病毒的攻堅戰(zhàn)，阻擊戰(zhàn)，某小區(qū)對小區(qū)內(nèi)的名居民進行模排，各年齡段男、女生人數(shù)如下表.已知在小區(qū)的居民中隨機抽取名，抽到歲~歲女居民的概率是.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全小區(qū)抽取名居民，則應(yīng)在歲以上抽取的女居民人數(shù)為（）歲—歲歲—歲歲以上女生男生A． B． C． D．【答案】C【解析】先根據(jù)抽到歲~歲女居民的的概率是，可求出歲~歲女居民的人數(shù)，進而求出歲以上的女居民的人數(shù)為，根據(jù)全小區(qū)要抽取人，再根據(jù)分層抽樣法，即可求出結(jié)果．【詳解】因為在全小區(qū)中隨機抽取1名，抽到歲~歲女居民的概率是0.19即：，∴．歲以上的女居民的人數(shù)為，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全小區(qū)抽取名居民，應(yīng)在應(yīng)在歲以上抽取的女居民人數(shù)為名．故選：C.【點睛】本題考查分布的意義和作用，考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．3．一組數(shù)據(jù)如下表所示：1234已知變量關(guān)于的回歸方程為，若，則預(yù)測的值可能為()A． B． C． D．【答案】C【解析】令，求得之間的數(shù)據(jù)對照表，結(jié)合樣本中心點的坐標滿足回歸直線方程，即可求得；再令，即可求得預(yù)測值.【詳解】將式子兩邊取對數(shù)，得到，令，得到，根據(jù)已知表格數(shù)據(jù)，得到的取值對照表如下：由上述表格可知：，，利用回歸直線過樣本中心點，即可得，求得，則，進而得到，將代入，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用樣本中心點坐標滿足回歸直線方程求參數(shù)值，以及由回歸方程進行預(yù)測值得求解，屬中檔題.4．甲、乙兩名學生的六次數(shù)學測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學成績的中位數(shù)大于乙同學成績的中位數(shù)；②甲同學的平均分比乙同學的平均分高；③甲同學的平均分比乙同學的平均分低；④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.以上說法正確的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④【答案】A【解析】由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學成績的中位數(shù)為,乙同學成績的中位數(shù)為,故①錯誤；,,則,故②錯誤,③正確；顯然甲同學的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).5．如圖是某高三學生進入高中三年來的數(shù)學考試成績莖葉圖，第1次到第14次的考試成績依次記為，下圖是統(tǒng)計莖葉圖中成績在一定范圍內(nèi)考試次數(shù)的一個算法流程圖，那么算法流程圖輸出的結(jié)果是（）A．7 B．8C．9 D．10【答案】C【解析】根據(jù)流程圖可知該算法表示統(tǒng)計14次考試成績中大于等于90的人數(shù)，結(jié)合莖葉圖可得答案．【詳解】根據(jù)流程圖所示的順序，可知該程序的作用是累計14次考試成績超過90分的次數(shù)．根據(jù)莖葉圖可得超過90分的次數(shù)為9.故選：C．【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，以及莖葉圖的認識，解題的關(guān)鍵是弄清算法流程圖的含義，屬于基礎(chǔ)題．6．秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例，若輸入的值分別為，則輸出的值為()A．50 B．35 C．18 D．9【答案】A【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，逐步計算結(jié)果，即可求得輸出結(jié)果.【詳解】模擬執(zhí)行程序框圖如下：，，；滿足，；滿足，，滿足，，滿足，，不滿足，故輸出，此時.故選：A.【點睛】本題考查由程序框圖求解輸出結(jié)果，涉及秦九韶算法，屬基礎(chǔ)題.7．已知下列說法：①對于線性回歸方程，變量增加一個單位時，平均增加5個單位；②在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)越接近于1，則模型回歸效果越好；③兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)就越接近1；④互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件；⑤演繹推理是從特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段論”.其中說法錯誤的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】結(jié)合線性回歸直線方程的性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，以及互斥事件和對立事件的區(qū)別，結(jié)合演繹推理的知識，對選項進行逐一分析，即可判斷.【詳解】對于命題①，對于回歸直線，變量增加一個單位時，平均減少5個單位，命題①錯誤；對于命題②，相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好，命題②正確；對于命題③，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系的絕對值越接近于1，命題③錯誤；對于命題④，互斥事件不一定對立，對立事件一定互斥，故④正確；對于命題⑤，演繹推理是從一般到特殊的推理，故⑤錯誤.綜上所述，錯誤的有①③⑤.故選：C.【點睛】本題考查性回歸直線方程的性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，以及互斥事件和對立事件的區(qū)別，結(jié)合演繹推理的知識，屬綜合基礎(chǔ)題.8．“仁義禮智信”為儒家“五?！?由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，將“仁義禮智”排成一排，則“仁義”不相鄰的概率為()A． B． C． D．【答案】C【解析】利用排列數(shù)計算出所有排列的方法，求得“仁義”相鄰的排法和概率，再用1減去“仁義”相鄰的概率，則為所求概率.【詳解】“仁義禮智”排成一排，任意排有種排法，其中“仁義”相鄰的排法有，故“仁義”不相鄰的概率.故選：C.【點睛】本題考查古典概型的概率求解，涉及排列數(shù)的計算，相鄰問題，屬綜合基礎(chǔ)題.9．甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：由題為古典概型，兩人取數(shù)作差的絕對值的情況共有36種，滿足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16種情況，則概率為；【考點】古典概型的計算.10．民間有一種五巧板拼圖游戲.這種五巧板（圖1）可以說是七巧板的變形，它是由一個正方形分割而成（圖2），若在圖2所示的正方形中任取一點，則該點取自標號為③和④的巧板的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分別求出③和④的巧板的面積，根據(jù)幾何概型的概率關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積比.【詳解】設(shè)巧板①的邊長為1，則結(jié)合圖2可知大正方形的邊長為3，其面積.其中巧板③是底邊長為2的等腰直角三角形，其面積為，巧板④可看作是邊長為的正方形與腰長為1的等腰直角三角形的組合圖形，其面積為，故所求的概率.故選:C.【點睛】本題考查幾何概型的概率求法，轉(zhuǎn)化為面積比，屬于中檔題.11．A4紙是生活中最常用的紙規(guī)格．A系列的紙張規(guī)格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的紙張長寬比都相同．②在A系列紙中，前一個序號的紙張以兩條長邊中點連線為折線對折裁剪分開后，可以得到兩張后面序號大小的紙，比如1張A0紙對裁后可以得到2張A1紙，1張A1紙對裁可以得到2張A2紙，依此類推．這是因為A系列紙張的長寬比為：1這一特殊比例，所以具備這種特性．已知A0紙規(guī)格為84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈，那么A4紙的長度為（）A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米【答案】C【解析】根據(jù)對折規(guī)律可得A4紙的長度.【詳解】由題意，A0紙的長與寬分別為118.9厘米，84.1厘米，則A1紙的長為，A2紙的長為，A3紙的長為，A4紙的長為=29.7（厘米）．故選：C【點睛】本題考查的是圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意正確找出圖形變化過程中存在的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.12．已知數(shù)列的通項公式為，將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個數(shù)的和，則數(shù)列的前4項和為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，設(shè)每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項相消即可求解.【詳解】由題意，設(shè)每一行的和為故，因此：，所以故故選：D【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的求解，以及利用裂項求和法求數(shù)列的前項和，屬中檔題.二、填空題13．若復(fù)數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】利用復(fù)數(shù)的運算法則進行化簡，即可容易求得復(fù)數(shù)的模長.【詳解】因為，所以，即，，因此.故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，涉及模長求解，屬基礎(chǔ)題.14．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，用反證法研究該猜想，應(yīng)假設(shè)的內(nèi)容是_______．【答案】存在一個大于2的偶數(shù)不可以表示為兩個素數(shù)的和.【解析】從命題的否定入手可解.【詳解】反證法先否定命題，故答案為存在一個大于2的偶數(shù)不可以表示為兩個素數(shù)的和.【點睛】本題主要考查反證法的步驟，利用反證法證明命題時，先是否定命題，結(jié)合已知條件及定理得出矛盾，從而肯定命題.15．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿開_______.【答案】【解析】甲、乙兩人下棋，只有三種結(jié)果，甲獲勝，乙獲勝，和棋；甲不輸，即甲獲勝或和棋，甲不輸?shù)母怕蕿?6．如圖，圓柱內(nèi)接于球O，且圓柱的高等于球O的半徑，則從球O內(nèi)任取一點，此點取自圓柱的概率為______；【答案】【解析】設(shè)出球的半徑，利用勾股定理求得圓柱的底面半徑，分別計算圓柱和球的體積，然后利用幾何概型的概率計算公式，求得所求的概率.【詳解】設(shè)球的半徑為，依題意可知，圓柱底面半徑，故圓柱的體積為，而球的體積為，故所求概率為.【點睛】本小題主要考查有關(guān)球的內(nèi)接幾何體的問題，考查體積型的集合概型概率計算，屬于基礎(chǔ)題.對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間).有關(guān)球內(nèi)接幾何體的問題，主要是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來計算長度.三、解答題17．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求C和l的直角坐標方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．【答案】（1）；；（2）【解析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐標方程；根據(jù)極坐標與直角坐標互化原則可得的直角坐標方程；（2）利用參數(shù)方程表示出上點的坐標，根據(jù)點到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數(shù)的形式，從而根據(jù)三角函數(shù)的范圍可求得最值.【詳解】（1）由得：，又整理可得的直角坐標方程為：又，的直角坐標方程為：（2）設(shè)上點的坐標為：則上的點到直線的距離當時，取最小值則【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、求解橢圓上的點到直線距離的最值問題.求解本題中的最值問題通常采用參數(shù)方程來表示橢圓上的點，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解問題.18．經(jīng)統(tǒng)計，某校學生上學路程所需要時間全部介于與之間（單位：分鐘）．現(xiàn)從在校學生中隨機抽取人，按上學所學時間分組如下：第組，第組，第組，第組，第組，得打如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的值．（Ⅱ）若從第，，組中用分成抽樣的方法抽取人參與交通安全問卷調(diào)查，應(yīng)從這三組中各抽取幾人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若從這人中隨機抽取人參加交通安全宣傳活動，求第組至少有人被抽中的概率．【答案】（1）（2）各抽，，人．（3）【解析】【詳解】分析：（1）根據(jù)所有小長方形面積的和為1，求的值，（2）根據(jù)分層抽樣按比例抽取人數(shù)，（3）先根據(jù)枚舉法求總事件數(shù)，再求第組至少有人被抽中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.詳解：（Ⅰ），．（Ⅱ）第組人數(shù)為人，第組人數(shù)為人，第組人數(shù)為人，∴比例為，∴第組，組，組各抽，，人．（Ⅲ）記組人為，，，組人為，，組人為，共有種，符合有：種，∴．點睛：頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間的概率,所有小長方形面積之和為1;頻率分布直方圖中組中值與對應(yīng)區(qū)間概率乘積的和為平均數(shù);頻率分布直方圖中小長方形面積之比等于對應(yīng)概率之比,也等于對應(yīng)頻數(shù)之比.19．某網(wǎng)紅直播平臺為確定下一季度的廣告投入計劃，收集了近6個月廣告投入量（單位：萬元）和收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：月份123456廣告投入量/萬元24681012收益/萬元14.2120.3131.831.1837.8344.67用兩種模型①，②分別進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：7301464.24364（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由.（2）殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：(i)剔除的異常數(shù)據(jù)是哪一組？(ii)剔除異常數(shù)據(jù)后，求出（1）中所選模型的回歸方程；(iii)廣告投入量時，(ii)中所得模型收益的預(yù)報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.【答案】（1）模型①，理由見解析；(2)(i)是3月份的數(shù)據(jù)；(ii)；(iii)62.04萬元.【解析】（1）根據(jù)殘差圖中體現(xiàn)出的殘差點分布，結(jié)合其均勻程度以及帶狀區(qū)域的寬窄，即可分析比較；（2）(i)根據(jù)題意，結(jié)合殘差圖，即可求得月份的數(shù)據(jù)異常，應(yīng)該剔除；(ii)根據(jù)已知數(shù)據(jù)和月份的數(shù)據(jù)，結(jié)合和的計算公式，即可求得結(jié)果；(iii)令，代入(ii)中所求回歸直線方程，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）應(yīng)該選擇模型①，因為模型①的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回歸方程的預(yù)報精度高.（2）(i)剔除異常數(shù)據(jù)是3月份的數(shù)據(jù)，即；(ii)剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得，，.，.所以關(guān)于的回歸方程為.(iii)把代入(i)中所求回歸方程得，故預(yù)報值為62.04萬元.【點睛】本題考查殘差分析、回歸直線方程的求解，以及利用回歸方程進行數(shù)據(jù)預(yù)測，屬綜合中檔題.20．BMI指數(shù)（身體質(zhì)量指數(shù)，英文為BodyMassIndex，簡稱BMI）是衡量人體胖瘦程度的一個標準，BMI=體重（kg）/身高（m）的平方.根據(jù)中國肥胖問題工作組標準，當BMI時為肥胖.某地區(qū)隨機調(diào)查了1200名35歲以上成人的身體健康狀況，其中有200名高血壓患者，得到被調(diào)查者的頻率分布直方圖如圖：（1）求被調(diào)查者中肥胖人群的BMI平均值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能有多大（百分數(shù)）的把握認為35歲以上成人高血壓與肥胖有關(guān)？肥胖不肥胖總計高血壓非高血壓總計參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.250.100.0500.0100.0011.3232.7063.8416.63510.828【答案】（1）29.8；（2）列聯(lián)表見解析，.【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，列出肥胖人群中，高血壓患者和非高血壓患者的頻率分布表，再根據(jù)表格，求平均數(shù)即可；（2）先由頻率分布直方圖計算頻數(shù)，補全列聯(lián)表，再計算，從而進行判斷.【詳解】由圖可知，200名高血壓患者中：1000名非高血壓患者中：被調(diào)查者中肥胖人群的BMI平均值（2）由（1）及頻率分布直方圖知，200名高血壓患者中有40+20+10=70人肥胖，1000名非高血壓患者中有人肥胖，所以可得下列列表：肥胖不肥胖總計高血壓70130200非高血壓2307701000總計3009001