2022年遼寧省沈陽市第三十中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測試題含解析

2022年遼寧省沈陽市第三十中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)y=﹣x2+1的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）參考答案：A【考點】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)y=﹣x2+1是二次函數(shù)，它的圖象是開口向上的拋物線，圖象的對稱軸為x=0，故該函數(shù)的遞增區(qū)間為（﹣∞，0]，故選：A．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2.sin1，cos1，tan1的大小關(guān)系是（）A．tan1＞sin1＞cos1 B．tan1＞cos1＞sin1C．cos1＞sin1＞tan1 D．sin1＞cos1＞tan1參考答案：A【考點】三角函數(shù)線．【分析】利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷三角函數(shù)值的取值范圍即可．【解答】解：∵，∴tan1＞1，cos1＜sin1＜1，∴tan1＞sin1＞cos1，故選：A．【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的大小比較，比較基礎(chǔ)．3.若實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，則函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像與x軸交點的個數(shù)為（

）

A0個

B

1個

C

2個

D不能確定參考答案：Ａ略4.已知則=（

）

參考答案：C5.（5分）設(shè)有直線m、n和平面α、β，下列四個命題中，正確的是（） A． 若m∥α，n∥α，則m∥n B． 若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β C． 若α⊥β，m?α，則m⊥β D． 若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α參考答案：D考點： 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．專題： 證明題．分析： 由面面平行的判定定理和線面平行的定理判斷A、B、D；由面面垂直的性質(zhì)定理判斷C．解答： 解：A不對，由面面平行的判定定理知，m與n可能相交，也可能是異面直線；B不對，由面面平行的判定定理知少相交條件；C不對，由面面垂直的性質(zhì)定理知，m必須垂直交線；故選：D．點評： 本題考查了線面的位置關(guān)系，主要用了面面垂直和平行的定理進行驗證，屬于基礎(chǔ)題．6.方程的零點所在區(qū)間是（

）

A.(1,2)

B.(0,2)

C.(3,4)

D.(2,3)參考答案：D7.設(shè)x、y滿足約束條件，則的最大值為（

）A.0 B.2C.3 D.4參考答案：C【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，觀察直線在軸上的截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)可得出結(jié)果.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分區(qū)域表示：聯(lián)立，得，可得點的坐標(biāo)為.平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點時，直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即，故選：C.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，一般作出可行域，利用平移直線結(jié)合在坐標(biāo)軸上截距取最值來取得，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.8.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A.（1，2）

B.（2，3）

C.（1，）和（3，4）

D.參考答案：B9.與函數(shù)是同一個函數(shù)的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知是方程的兩個不等實根，函數(shù)的定義域為，，若對任意，恒有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C.. D.參考答案：A【詳解】試題分析：是方程的兩個不等實根，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，，所以恒成立，故，在恒成立，故函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以.①，又因為是方程的兩個不等實根，則，代入①化簡得：，由對任意的，成立，得：，結(jié)合，得，故實數(shù)a的取值范圍是；考點：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.求函數(shù)最大值；3.分離參數(shù)解決恒成立問題；二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域是

參考答案：略12.函數(shù)y＝log2(x2-x-2)的遞增區(qū)間是

．參考答案：略13.已知關(guān)于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集為，其中a，c∈R，則關(guān)于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是

．參考答案：（﹣2，3）【考點】一元二次不等式的解法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；判別式法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)二次方程的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出a、c的值，即可求出不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集．【解答】解：∵關(guān)于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集為（﹣，），∴﹣，是一元二次方程ax2+2x+c=0的兩實數(shù)根，且a＜0；即，解得a=﹣12，c=2；∴不等式﹣cx2+2x﹣a＞0化為﹣2x2+2x+12＞0，即x2﹣x﹣6＜0，化簡得（x+2）（x﹣3）＜0，解得﹣2＜x＜3，該不等式的解集為（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．【點評】本題考查了一元二次不等式與對應(yīng)二次方程的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．14.函數(shù)的定義域為．參考答案：（﹣∞，﹣]【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出不等式求出解集即可．【解答】解：函數(shù)，∴﹣8≥0，可化為21﹣3x≥23，即1﹣3x≥3，解得x≤﹣，∴f（x）的定義域為（﹣∞，﹣]．故答案為：（﹣∞，﹣]．15.函數(shù)的最小值是_________________。參考答案：略16.已知冪函數(shù)的圖象過點，則這個冪函數(shù)的解析式為

▲

.

參考答案：略17.一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四面體容器內(nèi)可向各個方向自由運動，則該小球永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是

．參考答案：試題分析：由題意，考慮小球與正四面體的一個面相切時的情況，易知小球在面上最靠近變得切點的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長為，故小三角形的邊長為，小球與一個面不能接觸到的部分的面積為，所以幾何體的四個面永遠不可能接觸到容器的內(nèi)壁的面積是.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知集合，，.（1）求A∪B，；

（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ），………2分∵………4分

……………6分（Ⅱ）∵，①當(dāng)時，滿足，此時，得；……………8分②當(dāng)時，要，則，………10分解得；

………11分由①②得，

∴a的取值范圍是

…12分19.如圖所示，把一些長度均為4米（PA＋PB＝4米）的鐵管折彎后當(dāng)作骨架制作“人字形”帳蓬，根據(jù)人們的生活體驗知道：人在帳蓬里“舒適感”k與三角形的底邊長和底邊上的高度有關(guān)，設(shè)AB為x，AB邊上的高PH為y，則，若k越大，則“舒適感”越好。（I）求“舒適感”k的取值范圍；（II）已知M是線段AB的中點，H在線段AB上，設(shè)MH＝t，當(dāng)人在帳蓬里的“舒適感”k達到最大值時，求y關(guān)于自變量t的函數(shù)解析式；并求出y的最大值（請說明詳細理由）。

參考答案：20.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且=λ（0＜λ＜1）．（1）求二面角A﹣BE﹣F的大小；（2）當(dāng)λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD？參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我們易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分別是AC、AD上的動點，且AE：AC=AF：AD=λ，λ∈（0，1）．故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．（2）由（1）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，BE⊥平面ACD，BE⊥AC．故只須讓所求λ的值能證明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．【解答】解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD?面BCD，∴AB⊥CD，又∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．

又∵，∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC，∴二面角A﹣BE﹣F的大小為900．

（2）由（1）知，BE⊥EF，若平面BEF⊥平面ACD，又∵平面BEF∩平面ACD=EFBE?平面BEF，則BE⊥平面ACD，…∴BE⊥AC．

…∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴，，∴，由AB2=AE?AC得，∴，故當(dāng)時，平面BEF⊥平面ACD．21.已知函數(shù)，且，的定義域為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性；（3）求函數(shù)的值域.參考答案：略22.（本小題滿分13分）在甲、乙兩個盒子中分別裝有標(biāo)號為1、2、3、4的四個球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的兩個球上標(biāo)號為相同數(shù)字的概率；（Ⅱ）求取出的兩個球上標(biāo)號之積能被3整除的概率．參考答案：.解：設(shè)從甲、乙兩個盒子中各取1個球，其數(shù)字分別為，用表示抽取結(jié)果，則所有可能的結(jié)果有16種，即，，，，，，，，，，，，，，