函數(shù)與方程 高考 教學(xué)設(shè)計

PAGEPAGE1§2.8函數(shù)與方程2014高考會這樣考1.考查函數(shù)零點的個數(shù)和取值范圍；2.利用函數(shù)零點求解參數(shù)的取值范圍；3.利用二分法求方程近似解；4.與實際問題相聯(lián)系，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．復(fù)習(xí)備考要這樣做1.準(zhǔn)確理解函數(shù)零點與方程的根，函數(shù)圖象與x軸交點之間的關(guān)系，能根據(jù)零點存在性定理和二分法求方程近似解；2.會利用函數(shù)值域求解“a＝f(x)有解”型問題；3.利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)函數(shù)零點的個數(shù)問題．1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)幾個等價關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是f(x)＝0的根．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)兩個一個無3.二分法(1)定義：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法．(2)給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下：①確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε；②求區(qū)間(a，b)的中點c；③計算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點；(ⅱ)若f(a)·f(c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))．④判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)②③④.[難點正本疑點清源](1)函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)＝0的根；(2)函數(shù)零點的存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分條件，而不是必要條件．(3)利用圖象交點的個數(shù)：畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．1．若函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點是_______．答案－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22－2a－b＝0,32－3a－b＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝－6)).∴g(x)＝－6x2－5x－1的零點為－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3).2．已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋2有一個零點所在的區(qū)間為(k，k＋1)(k∈N*)，則k的值為________．答案3解析由題意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以該函數(shù)的零點在區(qū)間(3,4)內(nèi)，所以k＝3.3．(2012·湖北)函數(shù)f(x)＝xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為()A．4B．5C．6D．7答案C解析當(dāng)x＝0時，f(x)＝0.又因為x∈[0,4]，所以0≤x2≤16.因為5π<16<eq\f(11π,2)，所以函數(shù)y＝cosx2在x2取eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)，eq\f(7π,2)，eq\f(9π,2)時為0，此時f(x)＝0，所以f(x)＝xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為6.4．(2011·課標(biāo)全國)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為()A．(－eq\f(1,4)，0)B．(0，eq\f(1,4))C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2))D．(eq\f(1,2)，eq\f(3,4))答案C解析∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4>0.∴f(x)在其定義域上是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)．∵f(－eq\f(1,4))＝e－eq\f(1,4)－4<0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2<0，f(eq\f(1,4))＝eeq\f(1,4)－2<0，f(eq\f(1,2))＝eeq\f(1,2)－1>0，∴f(eq\f(1,4))·f(eq\f(1,2))<0.題型一函數(shù)零點的判斷例1判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．思維啟迪：第(1)問利用零點的存在性定理或直接求出零點，第(2)問利用零點的存在性定理或利用兩圖象的交點來求解．解(1)方法一∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零點．方法二令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零點．(2)方法一∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0，f(3)＝log25－3<log28－3＝0，∴f(1)·f(3)<0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零點．方法二設(shè)y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，從圖象中可以看出當(dāng)1≤x≤3時，兩圖象有一個交點，因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零點．探究提高求解函數(shù)的零點存在性問題常用的辦法有三種：一是用定理，二是解方程，三是用圖象．值得說明的是，零點存在性定理是充分條件，而并非是必要條件．函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案B解析∵f′(x)＝2xln2＋3>0，∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函數(shù)．而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，∴f(－1)·f(0)<0.故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)上有零點．題型二函數(shù)零點個數(shù)的判斷例2若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點個數(shù)是________．思維啟迪：函數(shù)零點的個數(shù)?方程解的個數(shù)?函數(shù)y＝f(x)與y＝log3|x|交點的個數(shù)．答案4解析由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù)．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如下：觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點，即函數(shù)y＝f(x)－log3|x|有4個零點．探究提高對函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：(1)結(jié)合零點存在性定理，利用函數(shù)的單調(diào)性、對稱性確定函數(shù)零點個數(shù)；(2)利用函數(shù)圖象交點個數(shù)判斷方程根的個數(shù)或函數(shù)零點個數(shù)．(2012·天津)函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是()A．0B．1C．2答案B解析因為f′(x)＝2xln2＋3x2>0，所以函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上遞增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1個零點．題型三二次函數(shù)的零點問題例3已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍．思維啟迪：設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制．解(1)由條件，拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m與x軸的交點分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，如圖(1)所示，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝2m＋1<0，,f－1＝2>0，,f1＝4m＋2<0，,f2＝6m＋5>0.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－\f(1,2)，,m∈R，,m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6).))即－eq\f(5,6)<m<－eq\f(1,2).(2)拋物線與x軸交點均落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，如圖(2)所示列不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f1>0，,Δ≥0，,0<－m<1.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－\f(1,2)，,m>－\f(1,2)，,m≥1＋\r(2)或m≤1－\r(2)，,－1<m<0.))即－eq\f(1,2)<m≤1－eq\r(2).探究提高對二次函數(shù)的零點問題，可以采用根與系數(shù)的關(guān)系和判別式解決；比較復(fù)雜的題目，可利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象尋求條件．關(guān)于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，當(dāng)a為何實數(shù)時：(1)有兩不同正根；(2)不同兩根在(1,3)之間；(3)有一根大于2，另一根小于2；(4)在(1,3)內(nèi)有且只有一解．解設(shè)f(x)＝x2－2ax＋a＋2，Δ＝4a2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)＝4(a－2)(a(1)由已知條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2＝2a>0，,x1·x2＝a＋2>0，))解得a>2.(2)由已知條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,1<a<3，,f1>0，,f3>0，))解得2<a<eq\f(11,5).(3)由已知條件f(2)<0，解得a>2.(4)由已知條件f(1)f(3)<0，解得eq\f(11,5)<a<3.檢驗：當(dāng)f(3)＝0，即a＝eq\f(11,5)時，方程的兩解為x＝eq\f(7,5)，x＝3，當(dāng)f(1)＝0，即a＝3時，方程的兩解為x＝1，x＝5，可知eq\f(11,5)≤a<3.當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,1<a<3))?a＝2.即a＝2時f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，方程的解x1＝x2＝2，∴a＝2，綜上有a＝2或eq\f(11,5)≤a<3.題型四函數(shù)零點的應(yīng)用例4若關(guān)于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有實根，求實數(shù)a的取值范圍．思維啟迪：方程的根也就是與方程對應(yīng)的函數(shù)零點，判斷方程的根是否存在，可以通過構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點的存在性問題求解，也可直接通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解．解方法一(換元法)設(shè)t＝2x(t>0)，則原方程可變?yōu)閠2＋at＋a＋1＝0，(*)原方程有實根，即方程(*)有正根．令f(t)＝t2＋at＋a＋1.①若方程(*)有兩個正實根t1，t2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4a＋1≥0，,t1＋t2＝－a>0，,t1·t2＝a＋1>0，))解得－1<a≤2－2eq\r(2)；②若方程(*)有一個正實根和一個負(fù)實根(負(fù)實根，不合題意，舍去)，則f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；③當(dāng)a＝－1時，t＝1，x＝0符合題意．綜上，a的取值范圍是(－∞，2－2eq\r(2)]．方法二(分離變量法)由方程，解得a＝－eq\f(22x＋1,2x＋1)，設(shè)t＝2x(t>0)，則a＝－eq\f(t2＋1,t＋1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(2,t＋1)－1))＝2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t＋1＋\f(2,t＋1)))，其中t＋1>1，由基本不等式，得(t＋1)＋eq\f(2,t＋1)≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\r(2)－1時取等號，故a≤2－2eq\r(2).探究提高對于“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)y＝f(x)的值域來解決．(2012·天津)已知函數(shù)y＝eq\f(|x2－1|,x－1)的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________．答案(0,1)∪(1,4)解析根據(jù)絕對值的意義，y＝eq\f(|x2－1|,x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1x>1或x<－1，,－x－1－1≤x<1.))在直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象，如圖中實線所示．根據(jù)圖象可知，當(dāng)0<k<1或1<k<4時有兩個交點．5.數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用典例：(12分)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零點，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．審題視角(1)y＝g(x)－m有零點即y＝g(x)與y＝m的圖象有交點，所以可以結(jié)合圖象求解．(2)g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根?y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有兩個不同交點，所以可利用它們的圖象求解．規(guī)范解答解(1)方法一∵g(x)＝x＋eq\f(e2,x)≥2eq\r(e2)＝2e，等號成立的條件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，[3分]因而只需m≥2e，則y＝g(x)－m就有零點．[6分]方法二作出g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)的大致圖象如圖．[3分]可知若使y＝g(x)－m有零點，則只需m≥2e.[6分](2)若g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點，作出g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)的大致圖象如圖．[8分]∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.∴其圖象的對稱軸為x＝e，開口向下，最大值為m－1＋e2.[10分]故當(dāng)m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1時，g(x)與f(x)有兩個交點，即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．[12分]溫馨提醒(1)求函數(shù)零點的值，判斷函數(shù)零點的范圍及零點的個數(shù)以及已知函數(shù)零點求參數(shù)范圍等問題，都可利用方程來求解，但當(dāng)方程不易甚至不可能解出時，可構(gòu)造兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．(2)本題的易錯點是確定g(x)的最小值和f(x)的最大值時易錯．要注意函數(shù)最值的求法．方法與技巧1．函數(shù)零點的判定常用的方法有(1)零點存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，實質(zhì)就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點．3．二分法是求方程的根的近似值的一種計算方法．其實質(zhì)是通過不斷地“取中點”來逐步縮小零點所在的范圍，當(dāng)達(dá)到一定的精確度要求時，所得區(qū)間的任一點就是這個函數(shù)零點的近似值．4．轉(zhuǎn)化思想：方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題．失誤與防范1．函數(shù)f(x)的零點是一個實數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．2．函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不必要；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象.(時間：60分鐘)A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題(每小題5分，共20分)1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個數(shù)是()A．1B．2C．3答案B解析∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個交點．∴方程有兩解．點評y＝|x2－2x|的圖象畫不準(zhǔn)確致誤．2．(2011·福建)若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案C解析∵方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2.3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零點個數(shù)為()A．3B．2C．1答案B解析當(dāng)x≤0時，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；當(dāng)x>0時，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2，故選B.4．已知三個函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點依次為a，b，c，則()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．b<a<cD．c<a<b答案B解析由于f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)<0，f(0)＝1>0，且f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)．故f(x)＝2x＋x的零點a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零點b＝2；heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)<0，h(1)＝1>0，故h(x)的零點c∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，因此a<c<b.二、填空題(每小題5分，共15分)5．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x>0時，f(x)＝2014x＋log2014x，則在R上，函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為________．答案3解析函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當(dāng)x>0時，f(x)＝2014x＋log2014x在區(qū)間(0，eq\f(1,2014))內(nèi)存在一個零點，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個零點．根據(jù)對稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點的個數(shù)為3.6．(2012·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－eq\r(x)－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是______________．答案x1<x2<x3解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，設(shè)y＝2x，y＝－x；令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，設(shè)y＝lnx，y＝－x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如圖：x1<0<x2<1，令x－eq\r(x)－1＝0，則(eq\r(x))2－eq\r(x)－1＝0，∴eq\r(x)＝eq\f(1＋\r(5),2)，即x3＝eq\f(3＋\r(5),2)>1，所以x1<x2<x3.7．若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－1，x≥2或x≤－1，,1，－1<x<2，))則函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點為____________．答案1＋eq\r(2)或1解析即求f(x)＝x的根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2或x≤－1，,x2－x－1＝x))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<2，,x＝1.))解得x＝1＋eq\r(2)或x＝1.∴g(x)的零點為x＝1＋eq\r(2)或x＝1.三、解答題(共25分)8．(12分)判斷函數(shù)f(x)＝4x＋x2－eq\f(2,3)x3在區(qū)間[－1,1]上零點的個數(shù)，并說明理由．解因為f(－1)＝－4＋1＋eq\f(2,3)＝－eq\f(7,3)<0，f(1)＝4＋1－eq\f(2,3)＝eq\f(13,3)>0，所以f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝eq\f(9,2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2，當(dāng)－1≤x≤1時，0≤f′(x)≤eq\f(9,2)，所以f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞增．所以f(x)在[－1,1]上有且只有一個零點．9．(13分)已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點．解∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅有一個實根．設(shè)2x＝t(t>0)，則t2＋mt＋1＝0.當(dāng)Δ＝0，即m2－4＝0，∴m＝－2時，t＝1；m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合題意．當(dāng)Δ>0，即m>2或m<－2時，t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負(fù)根，即f(x)有兩個零點或沒有零點．∴這種情況不符合題意．綜上可知，m＝－2時，f(x)有唯一零點，該零點為x＝0.B組專項能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1．(2012·遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x3.又函數(shù)g(x)＝|xcos(πx)|，則函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的零點個數(shù)為()A．5B．6C．7答案B解析根據(jù)題意，函數(shù)y＝f(x)是周期為2的偶函數(shù)且0≤x≤1時，f(x)＝x3，則當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以當(dāng)x＝0時，f(x)＝g(x)．當(dāng)x≠0時，若0<x≤eq\f(1,2)，則x3＝xcos(πx)，即x2＝|cosπx|.同理可以得到在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上的關(guān)系式都是上式，在同一個坐標(biāo)系中作出所得關(guān)系式等號兩邊函數(shù)的圖象，如圖所示，有5個根．所以總共有6個．2．(2011·陜西)函數(shù)f(x)＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)內(nèi)()A．沒有零點B．有且僅有一個零點C．有且僅有兩個零點D．有無窮多個零點答案B解析在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝eq\r(x)和y＝cosx的圖象，如圖，由于x>1時，y＝eq\r(x)>1，y＝cosx≤1，所以兩圖象只有一個交點，即方程eq\r(x)－cosx＝0在[0，＋∞)內(nèi)只有一個根，所以f(x)＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)內(nèi)只有一個零點，所以選B.3．(2012·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，若實數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，則f(x1)的值為()A．恒為負(fù)B．等于零C．恒為正D．不小于零答案A解析在同一坐標(biāo)系中作出y＝log2x和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的圖象