梁的變形計(jì)算演示文稿

梁的變形計(jì)算演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共72頁(yè)。梁的變形計(jì)算當(dāng)前2頁(yè)，總共72頁(yè)。上一章的分析結(jié)果表明，在平面彎曲的情形下，梁的軸線將彎曲成平面曲線。如果變形太大，也會(huì)影響構(gòu)件正常工作。因此，對(duì)機(jī)器中的零件或部件以及土木工程中的結(jié)構(gòu)構(gòu)件設(shè)計(jì)時(shí)，除了滿足強(qiáng)度要求外，還必須滿足一定的剛度要求，即將其變形限制在一定的范圍內(nèi)。為此，必須分析和計(jì)算梁的變形。另一方面，某些機(jī)械零件或部件，則要求有較大的變形，以減少機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生的振動(dòng)。汽車中的鈑簧即為一例。這種情形下也需要研究變形。此外，求解靜不定梁，也必須考慮梁的變形以建立補(bǔ)充方程。梁的位移分析與剛度問(wèn)題當(dāng)前3頁(yè)，總共72頁(yè)。本章將在上一章得到的曲率公式的基礎(chǔ)上，建立梁的撓度曲線微分方程；進(jìn)而利用微分方程的積分以及相應(yīng)的邊界條件確定撓度曲線方程。在此基礎(chǔ)上，介紹工程上常用的計(jì)算梁變形的疊加法。此外，還將討論簡(jiǎn)單的靜不定梁的求解問(wèn)題。梁的位移分析與剛度問(wèn)題當(dāng)前4頁(yè)，總共72頁(yè)。梁的變形與梁的位移疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角簡(jiǎn)單的靜不定梁結(jié)論與討論梁的剛度問(wèn)題梁的小撓度微分方程及其積分梁的位移分析與剛度問(wèn)題當(dāng)前5頁(yè)，總共72頁(yè)。在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的撓度曲線（deflectioncurve）。

梁的曲率與位移當(dāng)前6頁(yè)，總共72頁(yè)。根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點(diǎn)的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：

梁的曲率與位移當(dāng)前7頁(yè)，總共72頁(yè)。梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三個(gè)部分：

橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用w表示；

變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope）用表示；撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系

橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。當(dāng)前8頁(yè)，總共72頁(yè)。在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度w相比為高階小量，故通常不予考慮。

撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：

在小變形條件下，撓曲線較為平坦，即很小，因而上式中tan。于是有w＝w（x），稱為撓度方程（deflectionequation）。當(dāng)前9頁(yè)，總共72頁(yè)。梁的位移分析的工程意義位移分析中所涉及的梁的變形和位移，都是彈性的。盡管變形和位移都是彈性的，工程設(shè)計(jì)中，對(duì)于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的彈性位移都有一定的限制。彈性位移過(guò)大，也會(huì)使結(jié)構(gòu)或構(gòu)件喪失正常功能，即發(fā)生剛度失效。當(dāng)前10頁(yè)，總共72頁(yè)。機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過(guò)大時(shí)(圖中虛線所示)，兩齒輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的撓度和轉(zhuǎn)角，這不僅會(huì)影響兩個(gè)齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。同時(shí)，還會(huì)加大齒輪磨損，同時(shí)將在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生很大的噪聲。此外，當(dāng)軸的變形很大使，軸在支承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽命。

梁的位移分析的工程意義當(dāng)前11頁(yè)，總共72頁(yè)。工程設(shè)計(jì)中還有另外一類問(wèn)題，所考慮的不是限制構(gòu)件的彈性位移，而是希望在構(gòu)件不發(fā)生強(qiáng)度失效的前提下，盡量產(chǎn)生較大的彈性位移。例如，各種車輛中用于減振的板簧，都是采用厚度不大的板條疊合而成，采用這種結(jié)構(gòu)，板簧既可以承受很大的力而不發(fā)生破壞，同時(shí)又能承受較大的彈性變形，吸收車輛受到振動(dòng)和沖擊時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)能，受到抗振和抗沖擊的效果。梁的位移分析的工程意義當(dāng)前12頁(yè)，總共72頁(yè)。力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式小撓度微分方程當(dāng)前13頁(yè)，總共72頁(yè)。小撓度情形下彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號(hào)與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。?0小撓度微分方程當(dāng)前14頁(yè)，總共72頁(yè)。

小撓度微分方程

本書(shū)采用向下的w坐標(biāo)系，有當(dāng)前15頁(yè)，總共72頁(yè)。對(duì)于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫(xiě)出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對(duì)x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：

其中C、D為積分常數(shù)。

小撓度微分方程

當(dāng)前16頁(yè)，總共72頁(yè)。小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于零：w=0;

連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：w=0，θ＝0。當(dāng)前17頁(yè)，總共72頁(yè)。PABCPD支點(diǎn)位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：C小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定當(dāng)前18頁(yè)，總共72頁(yè)。適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件平面彎曲。可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定當(dāng)前19頁(yè)，總共72頁(yè)。例題求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。

已知：左端固定右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q

，梁的彎曲剛度為EI、長(zhǎng)度為l。q、EI、l均已知。當(dāng)前20頁(yè)，總共72頁(yè)。解：1．建立Oxw坐標(biāo)系建立Oxw坐標(biāo)系如圖所示。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分布載荷，所以在梁的全長(zhǎng)上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，即無(wú)需分段。

2．建立梁的彎矩方程O(píng)xw例題當(dāng)前21頁(yè)，總共72頁(yè)。從坐標(biāo)為x的任意截面處截開(kāi)，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€(gè)約束力，考慮截面左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：

解：2．建立梁的彎矩方程xM(x)FQ(x)3．

建立微分方程并積分將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得

例題當(dāng)前22頁(yè)，總共72頁(yè)。積分后，得到

3．

建立微分方程并積分例題當(dāng)前23頁(yè)，總共72頁(yè)。解：4．

利用約束條件確定積分常數(shù)固定端處的約束條件為：

例題當(dāng)前24頁(yè)，總共72頁(yè)。解：5．

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程解：6．

確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角從撓度曲線可以看出，懸臂梁在自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均最大值。于是，將x=l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：

例題當(dāng)前25頁(yè)，總共72頁(yè)。求：加力點(diǎn)B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。已知：簡(jiǎn)支梁受力如圖示。FP、EI、l均為已知。例題當(dāng)前26頁(yè)，總共72頁(yè)。解：1．

確定梁約束力2．

分段建立梁的彎矩方程AB段

BC段

于是，AB和BC兩段的彎矩方程分別為

例題當(dāng)前27頁(yè)，總共72頁(yè)。解：3．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分積分后，得

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定確定。例題當(dāng)前28頁(yè)，總共72頁(yè)。解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等:

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2例題當(dāng)前29頁(yè)，總共72頁(yè)。解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0例題當(dāng)前30頁(yè)，總共72頁(yè)。解：5．

確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：

AB段

BC段

據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為

例題當(dāng)前31頁(yè)，總共72頁(yè)。確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微分方程微分方程的積分利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié)分段寫(xiě)出彎矩方程當(dāng)前32頁(yè)，總共72頁(yè)。疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角在很多的工程計(jì)算手冊(cè)中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡(jiǎn)稱為撓度表?；跅U件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結(jié)果這兩個(gè)重要概念，以及在小變形條件下的力的獨(dú)立作用原理，采用疊加法（superpositionmethod）由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復(fù)雜情形下梁的位移。當(dāng)前33頁(yè)，總共72頁(yè)。疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時(shí)，都可以將其分解為各種載荷單獨(dú)作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角，再將所得結(jié)果疊加后，便得到幾種載荷同時(shí)作用的結(jié)果。當(dāng)前34頁(yè)，總共72頁(yè)。已知：簡(jiǎn)支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC；B截面的轉(zhuǎn)角B疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形例題當(dāng)前35頁(yè)，總共72頁(yè)。例題解：1.將梁上的載荷變?yōu)?種簡(jiǎn)單的情形。當(dāng)前36頁(yè)，總共72頁(yè)。解：2.由撓度表查得3種情形下C截面的撓度；B截面的轉(zhuǎn)角。例題當(dāng)前37頁(yè)，總共72頁(yè)。例題解：3.應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷作用時(shí)的結(jié)果分別疊加將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角:

當(dāng)前38頁(yè)，總共72頁(yè)。疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形對(duì)于間斷性分布載荷作用的情形，根據(jù)受力與約束等效的要求，可以將間斷性分布載荷，變?yōu)榱喝L(zhǎng)上連續(xù)分布載荷，然后在原來(lái)沒(méi)有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷，最后應(yīng)用疊加法。當(dāng)前39頁(yè)，總共72頁(yè)。例題已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度和轉(zhuǎn)角wC和C當(dāng)前40頁(yè)，總共72頁(yè)。解：1.首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為利用撓度表中關(guān)于梁全長(zhǎng)承受均布載荷的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為了不改變?cè)瓉?lái)載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

例題當(dāng)前41頁(yè)，總共72頁(yè)。兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起撓度和轉(zhuǎn)角。

例題當(dāng)前42頁(yè)，總共72頁(yè)。解：3．將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果疊加

例題當(dāng)前43頁(yè)，總共72頁(yè)。結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價(jià)等價(jià)xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf當(dāng)前44頁(yè)，總共72頁(yè)。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，求C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角與撓度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM例題當(dāng)前45頁(yè)，總共72頁(yè)。P2BCa=++圖1圖2圖3解：1結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單

載荷變形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf例題當(dāng)前46頁(yè)，總共72頁(yè)。P2BCa=++圖1圖2圖3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf疊加求復(fù)雜載荷下的變形例題當(dāng)前47頁(yè)，總共72頁(yè)。計(jì)算結(jié)果例題當(dāng)前48頁(yè)，總共72頁(yè)。剛度計(jì)算的工程意義對(duì)于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過(guò)大會(huì)影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過(guò)大會(huì)影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過(guò)大會(huì)增加軸承的磨損等等。

當(dāng)前49頁(yè)，總共72頁(yè)。梁的剛度條件對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件：上述二式中w和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對(duì)于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。當(dāng)前50頁(yè)，總共72頁(yè)。已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角θ=0.5°。試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。B例題當(dāng)前51頁(yè)，總共72頁(yè)。例題解：根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過(guò)許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計(jì)算。

B1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為當(dāng)前52頁(yè)，總共72頁(yè)。例題2．根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計(jì)要求，

其中，的單位為rad（弧度），而θ的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑

當(dāng)前53頁(yè)，總共72頁(yè)。簡(jiǎn)單的靜不定梁多余約束與靜不定次數(shù)靜不定次數(shù)——未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差靜定問(wèn)題與靜定結(jié)構(gòu)——未知力（內(nèi)力或外力）個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜不定問(wèn)題與靜不定結(jié)構(gòu)——未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)多余約束——保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束當(dāng)前54頁(yè)，總共72頁(yè)。求解靜不定問(wèn)題的基本方法根據(jù)以上分析，求解靜不定問(wèn)題．除了平衡方程外，還需要根據(jù)多余約束對(duì)位移或變形的限制，建立各部分位移或變形之間的幾何關(guān)系，即建立幾何方程，稱為變形協(xié)調(diào)方程（compatibilityequation）,并建立力與位移或變形之間的物理關(guān)系，即物理方程或稱本構(gòu)方程（constitutiveequations）。將這二者聯(lián)立才能找到求解靜不定問(wèn)題所需的補(bǔ)充方程。

可見(jiàn)，求解靜不定問(wèn)題，需要綜合考察結(jié)構(gòu)的平衡、變形協(xié)調(diào)與物理等三方面，這就是求解靜不定問(wèn)題的基本方法。這與第8章中分析正應(yīng)力的方法是相似的。當(dāng)前55頁(yè)，總共72頁(yè)。3-3=04-3=1MA

ABFAyFAx

ABMAFAyFAxFB多余約束與靜不定次數(shù)當(dāng)前56頁(yè)，總共72頁(yè)。5－3＝26－3＝3FBxMBBl

AMAFAyFAxFByBl

AMAFAyFAxFBxFBy多余約束與靜不定次數(shù)當(dāng)前57頁(yè)，總共72頁(yè)。應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量由于在小變形條件下，梁的軸向位移忽略不計(jì)，靜定梁自由端B處水平位移u=0。既然u=0，在沒(méi)有軸向載荷作用的情形下，固定鉸支座和固定端處便不會(huì)產(chǎn)生水平約束力，即FAx＝FBx=0。因此，求解這種靜不定問(wèn)題只需1個(gè)補(bǔ)充方程。可以寫(xiě)出變形協(xié)調(diào)方程為FBxBl

AMAFAyFAxFBy當(dāng)前58頁(yè)，總共72頁(yè)。應(yīng)用對(duì)稱性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB對(duì)于兩端固定的梁，同樣有FBx=0，但這時(shí)的多余約束力除FBy外，又增加了MB。于是需要兩個(gè)補(bǔ)充方程。但是，利用對(duì)稱性分析，這種梁不僅結(jié)構(gòu)和約束都對(duì)稱，而且外加載荷也是對(duì)稱的，即梁的中間截面為對(duì)稱面。于是可以確定：MBBl

AMAFAyFAxFBxFBy與未知力偶MB對(duì)應(yīng)的約束是對(duì)截面B轉(zhuǎn)角的限制，故這種情形下的變形協(xié)調(diào)方程為

當(dāng)前59頁(yè)，總共72頁(yè)。求:梁的約束力已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI、

長(zhǎng)度為lFBxBl

AMAFAyFAxFBy例題解：1、平衡方程:FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0當(dāng)前60頁(yè)，總共72頁(yè)。2、變形協(xié)調(diào)方程：

wB=wB(q)+wB(FBy)=03、物性關(guān)系：wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIwB(q)wB(FBy)Bl

AMAFAyFAxlB

AMAFAyFAxFB例題當(dāng)前61頁(yè)，總共72頁(yè)。解：4、綜合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(