《常微分方程》教學(xué)大綱（本科）

PAGEPAGE1“常微分方程”（本科）課程教學(xué)大綱課程編號(hào)：n08032020課程名稱：常微分方程/ordinarydifferentialequations學(xué)時(shí)：72學(xué)時(shí)學(xué)分:4學(xué)分適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開課學(xué)期：第3學(xué)期開課部門：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院先修課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)考核要求：閉卷考試（卷面成績(jī)和平時(shí)成績(jī)各占70％和30％）使用教材及主要參考書：王高雄等主編，《常微分方程》（第三版），高等教育出版社，東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，《常微分方程》（第二版），高等教育出版社，2005年一、課程的性質(zhì)和任務(wù)常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，也是應(yīng)用性很強(qiáng)的一門數(shù)學(xué)課。本課程的任務(wù)是使學(xué)生鞏固和加深已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)等基礎(chǔ)課所學(xué)的知識(shí)，也是為以后學(xué)習(xí)偏微分方程、微分幾何、泛函分析作好準(zhǔn)備。二、教學(xué)目的和要求本課程以微積分、線性代數(shù)、解析幾何、普通物理等為基礎(chǔ)課，是數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等課程的重要基礎(chǔ)課之一，同時(shí)它的發(fā)展也離不開實(shí)變函數(shù)論、復(fù)變函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)幾何的發(fā)展。目的是培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。要求學(xué)生掌握常見類型的線性常微分方程以及常微分方程組的解法，理解一階常微分方程的解的存在性定理。三、學(xué)時(shí)分配章節(jié)課程內(nèi)容講課1緒論42一階微分方程的初等解法203一階微分方程的解的存在定理124高階微分方程185線性微分方程組18四、教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題教學(xué)中應(yīng)本課程應(yīng)重視基本概念的正確理解，基本理論的系統(tǒng)闡述以及基本運(yùn)算能力的嚴(yán)格訓(xùn)練，同時(shí)注意與已有知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活中的例子結(jié)合，做到學(xué)以致用。教學(xué)內(nèi)容的選擇應(yīng)努力貫徹少而精的原則，在教學(xué)中，應(yīng)注意思想方法的傳授，解題思路的培養(yǎng)，由淺入深，注意闡明本課程與其它課程的聯(lián)系，特別與數(shù)學(xué)分析的銜接．在基本運(yùn)算方面，應(yīng)通過(guò)例題及習(xí)題，使學(xué)生受到足夠的訓(xùn)練，掌握有關(guān)方法。五、教學(xué)內(nèi)容第一章緒論1．基本內(nèi)容：某些物理過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，基本概念，常微分方程的發(fā)展歷史。2．教學(xué)基本要求：理解常微分方程及其解的概念，能判別方程的階數(shù)、線性與非線性，掌握將實(shí)際問(wèn)題建立成常微分方程模型的一般步驟，理解積分曲線的概念。3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題建立成常微分方程模型，積分曲線。4．教學(xué)建議：講授4課時(shí)。第二章一階微分方程的初等解法1．基本內(nèi)容：變量分離方程與變量變換，線性方程與常數(shù)變易法，恰當(dāng)方程與積分因子，一階隱方程與參數(shù)表示。2．教學(xué)基本要求：理解變量分離方程以及可化為變量分離方程的類型（齊次方程），熟練掌握變量分離方程的解法。熟練掌握常數(shù)變易法及伯努利方程的求解，掌握恰當(dāng)方程的解法及簡(jiǎn)單積分因子的求法。理解一階隱式方程的可積類型，掌握隱式方程的參數(shù)解法。3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：一階微分方程的各類初等解法，積分因子的求法以及隱式方程的解法。

4．教學(xué)建議：講授18課時(shí)，習(xí)題課2課時(shí)。第三章一階微分方程的解的存在定理1．基本內(nèi)容：解的存在唯一性定理與逐步逼近法、解的延拓，解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理。2．教學(xué)基本要求：理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐步逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。了解解的延拓定理及延拓條件。理解解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。

3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：解的存在唯一性定理的證明，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。4．教學(xué)建議：講授10課時(shí)，習(xí)題課2課時(shí)。第四章高階微分方程1．基本內(nèi)容：線性微分方程的一般理論，常系數(shù)線性方程的解法，高階方程的降價(jià)和冪級(jí)數(shù)解法。2．教學(xué)基本要求：理解高階線性微分方程的一般理論，階齊次（非齊次）線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，熟練掌握階常系數(shù)齊次線性微分方程的待定指數(shù)函數(shù)解法。掌握階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，理解階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的待定系數(shù)法和Laplace變換法。熟練歐拉方程與高階方程的降階法和冪級(jí)數(shù)解法。3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，高階方程的各種解法，待定系數(shù)法求特解。

4．教學(xué)建議：講授16課時(shí)，習(xí)題課2課時(shí)。第五章線性微分方程組1．基本內(nèi)容：存在唯一性定理，線性微分方程組的一般理論，常系數(shù)線性微分方程組。2．教學(xué)基本要求：理解線性微分方程組解的存在唯一性定理，掌握一階齊（非齊）線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，理解階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系。掌握非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法，理解常系數(shù)齊線性微分方程組基解矩陣的概念，掌握求基