第二章2.12一橢圓的簡單幾何性質_第1頁
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文檔簡介

(c=(c=x軸、y軸知識點 橢圓的離心思 觀察不同的橢圓可見它們的扁平程度不一樣,哪些量影響其扁平程度?怎樣刻畫答 小,橢圓越扁;e越小,∠BF2O越大,橢圓越圓梳 (1)定義:橢圓的焦距與長軸長的比e=c,叫做橢圓的離心率a(2)e的取值范圍是(0,1)e1e0,橢圓a類型 橢圓的幾何性例 求橢圓9x2+16y2=144的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標 于是 16-9=∴2a=8e=c=7x 4∴F1(-7,0)F2(A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3)4x2+9y2=36,求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率 把橢圓的方程化為標準方程9+4xa=3,短半軸長b=2.又得半焦距 9-4=2a=62b=4;兩個焦點的坐標分別是(-5,0),(5,0).頂點的坐標分別是(-3,0),(3,0),(0,-2),(0,2).e=c= 的焦點在哪個坐標軸上,再利用a,b,c之間的關系和定義,求橢圓的基本量.訓練 設橢圓方程 點坐標及頂點坐標

1 橢圓方程化為標準形式為4+m=1,且0<m<44,23,焦點坐標為F1(-1,0),F2(1,0),A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-3),B2(0,m>4時,長軸長和短軸長分別為833,4,焦點坐標為F1(0,-233),F2(0,233),類型 求橢圓的離心命題角度 利用焦點三角形性質求橢圓的離心 例 正三角形的另兩條邊,則橢圓的離心率 答 解 方法 如圖NDF2 4c2-c2=則由橢圓的定義可知∴∴e=c= = 方法 注意到焦點三角形NF1F2中= sin = sin∠NF1F2+sin sin90° sin30°+sin= 1+ ==與感 涉及到焦點三角形注意利用橢圓的定義找到a與c求解 訓練 △F2PF1是底角為30°的等腰三角形,則E的離心率為 答 2解 如圖,設直線x=3a交x軸于D點2因為△F2PF130°的等腰三角形,因為所以所以 即3a-c=1×2c ?即 44命題角度 利用a,c的齊次式,求橢圓的離心率(或其取值范圍 例 答案3 解 直線AB:x=c,代入b2by=a bb bb--a -∴kBF

1

∴直線b2bx=0 a

由 b2∴3b2=2ac,即∴3e22e--2± 4-4-2± 4-4××-2222 2

2233則橢圓的離心率e的取值范圍 [2 解 橢圓F1F2為直徑的圓至少與橢圓有一個公共點,則c≥b,即c2≥b2,e21e2,

2e的取值范圍是[2與感悟a,ca,b,ca2=b2+c2a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范圍.訓練 若一個橢圓的長軸長、短軸長和焦距成等差數列,則該橢圓的離心率 答 55 由題意知2a+2c=2(2b),即a+c=2b,又c2=a2-b2,消去b整理得5c2=3a2-2ac,即5e2+2e-3=0,∴e=3或e=-1(舍去).5類型 利用幾何性質求橢圓的標準方=例 6,求橢圓的標準方程=(2)xFB1,B2的連線互相垂A的距離為10-5,求這個橢圓的方程. ①x軸上時,(3,0)∵e=c=6,∴c=6=6×3= 3 ∴b2=a2-c2=32-( ∴橢圓的標準方程為93②y軸上時,(3,0)∵e=c=6,∴c=6 3

綜上可知,橢圓的標準方程是93=1或279 又B1F⊥B2F,,即|FA|=10-a-c=10-5將上面三式聯立,得a-c=10- 與感 訓練 根據下列條件,求中心在原點,對稱軸在坐標軸上的橢圓方程(1)2倍,且過點(2)x (1)當焦點在x軸上時,設橢圓方程為

解得

∴橢圓方程為y 橢圓方程為故所求的橢圓方程為

148+37=1或 ∴所求的橢圓方程為 33

B.

C.

22答 22

解 由2x+3y=m(m>0),得 ∴c2=m-m=m,∴e2=1,∴e= 與橢圓9x2+4y2=36有相同焦點,且短軸長為2的橢圓標準方程是

2+4 B.x+6

C.6+y 答 解 由已知c=5,b=1,故方程為6+x 答 解 y2y

已知點(m,n)在橢圓8x2+3y2=24上,則2m+4的取值范圍 答 [4-23,4+2

解 的取值范圍|x|≤3,|y|≤22,因此|m|≤3,即-3≤m≤32m+4∈[4-222 答案(0,±解析y軸上,且a=13,b=10c=a2-b2=69,故焦點坐標為(0,±69).量有長軸長、短軸長、離心率e、焦距.40分鐘作,橢圓4x2+49y2=196的長軸長,短軸長,離心率依次是 ,, 3,, ,答

35 5, ,解 b=2,a=7,c=3714,4,37 3已知焦點在y軸上的橢圓m+y=1,其離心率為2,則實數m的值是 或 或

22答 解 ∵焦點在y軸上 3 1-m=244焦點在x軸上,長、短半軸長之和為10,焦距為45,則橢圓的方程為 C.6+4 答 解 依題意得c=2 ,又a2=b2+c2,從而解得 所以所求橢圓的方程為橢圓(m+1)x2+my2=1的長軸長是 -2 A.2-2 2 2C.

1 m解 橢圓方程可簡化為1+1=1,由題意知

<m,∴a=m,∴m2a=2m

22 C.3+4 答 解 由題意知 由①② a2-c2=2 ∴橢圓的標準方程為 從橢圓a2+b2=1(a>b>0)PxF1,Ax半軸的交點,B是橢圓與y軸正半軸的交點,且AB∥OP(O是坐標原點),則該橢圓的離心 2323 答 解 由題意可設P(-c,y0)(c為半焦距 ∵OP∥AB,∴-y0=-b a

2a2P(-ca)代入橢圓方程,得a2

b2∴c

2(a)=2,∴e=a=2 AB是橢圓a2+b2=1(a>b>0)AB100AB 答 解析≤ 3,則長軸長的取值范圍是 ≤答 1解 1-1≤ 若橢圓長軸長是短軸長的2倍,且焦距為2,則此橢圓的標準方程 答案41=1或41 解 由題意可知1+b2=4b2 則此橢圓的標準方程為41=1或14 答 解 ∴tan∠BAO=tan即b=c,得 e2+e-1=0,22

→OF分別為橢圓43=1P的最大值 答 解 由題意,得F(-1,0),設點 則有0+0=1y2=3(1- FP=(x+FP=(x+1,y),OP=(x,y

→ → 所以OP·FP=x0(x0+1)+y2= x0=-2,因為-2≤x0≤2,所以當x0=2時,→ OP·FP取得最大值4

y軸上 (1)由橢圓C1:100+64=1,可得其長半軸長為58,焦點坐標(6,0),(-6,0)5 離心率55 設橢圓方程為a2+b2=1(a>b>0),F1,F2分別

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