第二章2.12一橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

(c＝(c＝x軸、y軸知識(shí)點(diǎn) 橢圓的離心思 觀察不同的橢圓可見(jiàn)它們的扁平程度不一樣，哪些量影響其扁平程度？怎樣刻畫(huà)答 小，橢圓越扁；e越小，∠BF2O越大，橢圓越圓梳 (1)定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比e＝c，叫做橢圓的離心率a(2)e的取值范圍是(0,1)e1e0，橢圓a類(lèi)型 橢圓的幾何性例 求橢圓9x2＋16y2＝144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo) 于是 16－9＝∴2a＝8e＝c＝7x 4∴F1(－7，0)F2(A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)4x2＋9y2＝36，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率 把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程9＋4xa＝3，短半軸長(zhǎng)b＝2.又得半焦距 9－4＝2a＝62b＝4；兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－5，0)，(5，0).頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2).e＝c＝ 的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.訓(xùn)練 設(shè)橢圓方程 點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)

1 橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為4＋m＝1，且0<m<44,23，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－3)，B2(0，m>4時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為833，4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，－233)，F(xiàn)2(0，233)，類(lèi)型 求橢圓的離心命題角度 利用焦點(diǎn)三角形性質(zhì)求橢圓的離心 例 正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率 答 解 方法 如圖NDF2 4c2－c2＝則由橢圓的定義可知∴∴e＝c＝ ＝ 方法 注意到焦點(diǎn)三角形NF1F2中＝ sin ＝ sin∠NF1F2＋sin sin90° sin30°＋sin＝ 1＋ ＝＝與感 涉及到焦點(diǎn)三角形注意利用橢圓的定義找到a與c求解 訓(xùn)練 △F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為 答 2解 如圖，設(shè)直線(xiàn)x＝3a交x軸于D點(diǎn)2因?yàn)椤鱂2PF130°的等腰三角形，因?yàn)樗运?即3a－c＝1×2c ?即 44命題角度 利用a，c的齊次式，求橢圓的離心率(或其取值范圍 例 答案3 解 直線(xiàn)AB：x＝c，代入b2by＝a bb bb--a -∴kBF

1

∴直線(xiàn)b2bx＝0 a

由 b2∴3b2＝2ac，即∴3e22e－－2± 4－4－2± 4－4××－2222 2

＝

＝

2233則橢圓的離心率e的取值范圍 [2 解 橢圓F1F2為直徑的圓至少與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，則c≥b，即c2≥b2，e21e2，

2e的取值范圍是[2與感悟a，ca，b，ca2＝b2＋c2a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.訓(xùn)練 若一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率 答 55 由題意知2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝3或e＝－1(舍去).5類(lèi)型 利用幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方＝例 6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程＝(2)xFB1，B2的連線(xiàn)互相垂A的距離為10－5，求這個(gè)橢圓的方程. ①x軸上時(shí)，(3,0)∵e＝c＝6，∴c＝6＝6×3＝ 3 ∴b2＝a2－c2＝32－( ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為93②y軸上時(shí)，(3,0)∵e＝c＝6，∴c＝6 3

綜上可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是93＝1或279 又B1F⊥B2F，，即|FA|＝10－a－c＝10－5將上面三式聯(lián)立，得a－c＝10－ 與感 訓(xùn)練 根據(jù)下列條件，求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上的橢圓方程(1)2倍，且過(guò)點(diǎn)(2)x (1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為

解得

∴橢圓方程為y 橢圓方程為故所求的橢圓方程為

148＋37＝1或 ∴所求的橢圓方程為 33

B.

C.

22答 22

解 由2x＋3y＝m(m>0)，得 ∴c2＝m－m＝m，∴e2＝1，∴e＝ 與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是

2＋4 B.x＋6

C.6＋y 答 解 由已知c＝5，b＝1，故方程為6＋x 答 解 y2y

已知點(diǎn)(m，n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則2m＋4的取值范圍 答 [4－23，4＋2

解 的取值范圍|x|≤3，|y|≤22，因此|m|≤3，即－3≤m≤32m＋4∈[4－222 答案(0，±解析y軸上，且a＝13，b＝10c＝a2－b2＝69，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±69).量有長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率e、焦距.40分鐘作，橢圓4x2＋49y2＝196的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，離心率依次是 ，， 3，， ，答

35 5， ，解 b＝2，a＝7，c＝3714,4，37 3已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓m＋y＝1，其離心率為2，則實(shí)數(shù)m的值是 或 或

22答 解 ∵焦點(diǎn)在y軸上 3 1－m＝244焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)之和為10，焦距為45，則橢圓的方程為 C.6＋4 答 解 依題意得c＝2 ，又a2＝b2＋c2，從而解得 所以所求橢圓的方程為橢圓(m＋1)x2＋my2＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是 －2 A.2－2 2 2C.

答

1 m解 橢圓方程可簡(jiǎn)化為1＋1＝1，由題意知

<m，∴a＝m，∴m2a＝2m

22 C.3＋4 答 解 由題意知 由①② a2－c2＝2 ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 從橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)PxF1，Ax半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心 2323 答 解 由題意可設(shè)P(－c，y0)(c為半焦距 ∵OP∥AB，∴－y0＝－b a

2a2P(－ca)代入橢圓方程，得a2

b2∴c

2(a)＝2，∴e＝a＝2 AB是橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)AB100AB 答 解析≤ 3，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是 ≤答 1解 1－1≤ 若橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且焦距為2，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案41＝1或41 解 由題意可知1＋b2＝4b2 則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為41＝1或14 答 解 ∴tan∠BAO＝tan即b＝c，得 e2＋e－1＝0，22

→OF分別為橢圓43＝1P的最大值 答 解 由題意，得F(－1,0)，設(shè)點(diǎn) 則有0＋0＝1y2＝3(1－ FP＝(x＋FP＝(x＋1，y)，OP＝(x，y

→ → 所以O(shè)P·FP＝x0(x0＋1)＋y2＝ x0＝－2，因?yàn)椋?≤x0≤2，所以當(dāng)x0＝2時(shí)，→ OP·FP取得最大值4

y軸上 (1)由橢圓C1：100＋64＝1，可得其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為58，焦點(diǎn)坐標(biāo)(6,0)，(－6,0)5 離心率55 設(shè)橢圓方程為a2＋b2＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別