江浦?jǐn)?shù)值分析復(fù)習(xí)題

-.z一、填空題1.設(shè)真值*=983350,則其近似值y=98000的有效數(shù)字的位數(shù)，絕對(duì)誤差為，相對(duì)誤差為。2.*=0.1062,y=0.947,計(jì)算*+y其有效數(shù)字的位數(shù)為。3.對(duì)f(*)=*3+*+1,差商f[0,1,2,3]=;f[0,1,2,3,4]=。4.設(shè)f(*)可微，求方程*=f(*)根的牛頓迭代法格式是。5.設(shè)方程*=(*)有根**,且設(shè)(*)在含**的區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，設(shè)*0(a,b)則迭代格式*k+1=(*k)收斂的充要條件為。6.求解線性方程組A*=b的迭代格式*(k+1)=J*(k)+f收斂的充要條件為。7.,||A||=,cond(A)=。8.n次Legendre多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)為。9.中矩形公式：的代數(shù)精度為。10.求積公式：的代數(shù)精度為。11.在區(qū)間[1，2]上滿足插值條件的一次多項(xiàng)式P(*)=。12.設(shè)是函數(shù)f(*)在區(qū)間[a,b]上的插值型型求積公式，則=。13.**1=*10.5×10－3，**2=*20.5×10－2，則近似值*1，*2之差的誤差限是14用列主元消去法解線性方程組A*＝b時(shí)，在第k－1步消元時(shí)，在增廣矩陣的第k列取主元，使得.15.函數(shù)f(0.4)=0.411,f(0.5)=0.578,f(0.6)=0.697，用此函數(shù)表作牛頓插值多項(xiàng)式，則插值多項(xiàng)式*2的系數(shù)是.16.牛頓－科茨求積公式中的科茨系數(shù)滿足的兩條性質(zhì)是.17.用牛頓法求方程f(*)=0在[a,b]內(nèi)的根，f(*)在[a,b]內(nèi)不為0，f(*)在[a,b]內(nèi)不變號(hào)，則選擇初始值*0滿足，則它的迭代解數(shù)列一定收斂到方程f(*)=0的根.18．梯形公式和改進(jìn)的Euler公式都是階精度的。19.對(duì)于一元二次方程,如果具有5位有效數(shù)字,求其具有5位有效數(shù)字的根.20.用二分法求解方程在區(qū)間上的根，要求得到具有3位有效數(shù)字的近似根，需作次二分。二、選擇題1.準(zhǔn)確值**與其有t位有效數(shù)字的近似值*＝0.0a1a2…an×10s(a10)的絕對(duì)誤差**－* (A)0.5×10s－1－t(B)0.5×10s－t(C)0.5×10s＋1－t(D)0.5×10s＋t2.以下矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的為()． (A)， (B)(C)(D)3.過(0，1)，(2，4)，(3，1)點(diǎn)的分段線性插值函數(shù)P(*)=() (A)(B)(C)(D)4.等距二點(diǎn)的求導(dǎo)公式是() (A) (B) (C) (D) 5.解常微分方程初值問題的平均形式的改進(jìn)歐拉法公式是則yp,yc分別為()．(A) (B)(C) (D)6.假設(shè)誤差限為0.5×10－5，則近似數(shù)0.003400有()位有效數(shù)字. (A)2(B)3(C)4(D)67.當(dāng)線性方程組A*＝b的系數(shù)矩陣A是()時(shí)，用列主元消去法解A*＝b，A的主對(duì)角線的元素一定是主元. (A)上三角形矩陣 (B)主對(duì)角線元素不為0的矩陣 (C)對(duì)稱且嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣 (D)正定對(duì)稱矩陣8.以下條件中，不是分段線性插值函數(shù)P(*)必須滿足的條件為() (A)P(*k)=yk,(k=0,1,…,n)(B)P(*)在[a,b]上連續(xù)(C)P(*)在各子區(qū)間上是線性函數(shù)(D)P(*)在各節(jié)點(diǎn)處可導(dǎo)9.有3個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度是()次的. (A)5 (B)6 (C)7 (D)310.解微分方程初值問題的方法，()的局部截?cái)嗾`差為O(h3).(A)歐拉法 (B)改進(jìn)歐拉法 (C)三階龍格－庫塔法 (D)四階龍格－庫塔法11.數(shù)值**的近似值*=0.1215×10－2，假設(shè)滿足()，則稱*有4位有效數(shù)字. (A)×10－3(B)×10－4(C)×10－5(D)×10－612.設(shè)矩陣A＝，則以A為系數(shù)矩陣的線性方程組A*＝b的雅可比迭代矩陣為() (A)(B)(C)(D)13.y=f(*)的均差f(*0,*1,*2)=，f(*1,*2,*3)=，f(*2,*3,*4)=，f(*0,*2,*3)=,則均差f(*4,*2,*3)=()(A)(B)(C)(D)14.n=4時(shí)牛頓－科茨求積公式的科茨系數(shù)則＝()15.用簡(jiǎn)單迭代法求方程的近似根，以下迭代格式不收斂的是()(A)e*－*－1＝0，[1,1.5]，令*k+1= (B)*3－*2－1=0，[1.4,1.5],令(C)*3－*2－1=0，[1.4,1.5],令(D)4－2*=*，[1,2],令三、計(jì)算題1.利用矩陣的高斯消元法，解方程組2.設(shè)有函數(shù)值表*134679y976431試求各階差商，并寫出Newton插值多項(xiàng)式。3.求解超定方程組的最小二乘解。4.給定以下函數(shù)值表：i0123*i3468yi602-1求3次自然樣條插值函數(shù)5.給定在*=100,121,144三點(diǎn)處的值，試以這三點(diǎn)建立f(*)的二次〔拋物〕插值公式，利用插值公式求的近似值并估計(jì)誤差。6.試分別寫出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程組的第k次迭代公式，并討論它們的收斂性。7.利用積分計(jì)算ln4時(shí)，假設(shè)采用復(fù)化梯形公式，問應(yīng)取多少節(jié)點(diǎn)才能使其誤差絕對(duì)值不超過。8.建立計(jì)算的Gauss求積公式，使其具有3次代數(shù)精度。9.應(yīng)用Newton法導(dǎo)出方程f(*)=*2-a=0的根的迭代格式，并求。10.設(shè)f(*)=e*,*[0,1]。求f(*)的二次最正確平方逼近多項(xiàng)式11.求擬合三點(diǎn)A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直線方程。12．用Euler預(yù)測(cè)-校正格式求解初值問題在0.3，0.4處的數(shù)值解。要求寫出格式，步長(zhǎng)h=0.3，小數(shù)點(diǎn)后至少保存5位數(shù)字。13．利用Euler公式計(jì)算積分在點(diǎn)*=0.5,1,1.5,2的近似值。14．試分別寫出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程組的第k次迭代公式，并討論它們的收斂性。15．用簡(jiǎn)單迭代法求解的所有實(shí)根，準(zhǔn)確至3位有效數(shù)。16．試用Gauss消元法解以下方程組，計(jì)算過程按5位小數(shù)進(jìn)展：〔寫出詳細(xì)過程！〕例17求積公式≈++其余項(xiàng)的表達(dá)式為=，.試確定系數(shù)，，使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并給出該求積公式的余項(xiàng)和代數(shù)精度的次數(shù).解：當(dāng)=1時(shí)，=1+=1當(dāng)=時(shí)，=+=當(dāng)=時(shí)，==代入求得：=，=，=，從而≈++，且求積公式的代數(shù)精度至少為2，能否更高有待驗(yàn)證.為此取當(dāng)=時(shí)，==，而++=說明當(dāng)=時(shí)不能使求積公式準(zhǔn)確成立，因而該公式只有2次代數(shù)精度.下面考慮余項(xiàng)，設(shè)=+++將=代入，得到=+3！=，即余項(xiàng)為=，.例18設(shè)給定數(shù)據(jù)*11.502f(*)1.502.501.005.50作出函數(shù)f(*)的均差表；(2)寫出牛頓3次插值多項(xiàng)式.解：〔1〕011.521.00=0.50=1.00=1.501.50=2.00=4.002.50=6.005.50〔2〕=1+++=1+++19、計(jì)算積分，假設(shè)用復(fù)化梯形公式，問區(qū)間應(yīng)分成多少等份，才能使其截?cái)嗾`差不超過20、方程組，驗(yàn)證Jacobi方法和Gauss-Seidel方法的斂散性。21.用牛頓法解方程在*=0.5附近的近似根.要求<0.001.計(jì)算過程保存5位小數(shù).22.取h=0.1,用改進(jìn)歐拉法預(yù)報(bào)－校正公式求初值問題在*=0.1,0.2處的近似值.計(jì)算過程保存3位小數(shù).22．求函數(shù)在上的一次最正確逼近多項(xiàng)式23.求使得到達(dá)最小四、證明題1.證明1-2*-sin*=0在[0,1]內(nèi)有唯一根。使用二分法求誤差不大于的根要迭代多少次.2.證明：證明方程在(0，1)內(nèi)有唯一根**。并證明迭代格式：是收斂的。3.給定方程組試證明Jacobi迭代法收斂的充要條件為4.設(shè)f(*)C2[a,b],且f(a)=f(b)=0,求證：。5.設(shè)ARnn,證明當(dāng)(A)<1時(shí)，矩陣序列Sk=I+A+