線性代數(shù)矩陣的相似對(duì)角化演示文稿

線性代數(shù)矩陣的相似對(duì)角化演示文稿當(dāng)前1頁，總共30頁。（優(yōu)選）線性代數(shù)矩陣的相似對(duì)角化.當(dāng)前2頁，總共30頁。一、相似矩陣的基本概念與性質(zhì)1.相似矩陣的概念定義對(duì)于n階矩陣

A和B，則稱A

與

B

相似，稱對(duì)A所進(jìn)行的運(yùn)算為對(duì)

A

進(jìn)行相似變換。稱可逆矩陣

P為把A

變成B

的相似變換矩陣。記為若存在可逆的n階方陣

P使得或者稱A

相似于

B，注矩陣相似是矩陣等價(jià)的一種特殊情況。P144定義5.2當(dāng)前3頁，總共30頁。一、相似矩陣的基本概念與性質(zhì)1.相似矩陣的概念2.相似矩陣的性質(zhì)(1)反身性性質(zhì)(2)對(duì)稱性若則(3)傳遞性若則(4)若則(5)若則P144定理5.5P144當(dāng)前4頁，總共30頁。定理若

n

階矩陣

A

與

B

相似，則

A

與

B

有相同的特征多項(xiàng)式,證明因A與B相似，即存在可逆的矩陣P使得即A與B有相同的特征多項(xiàng)式。從而A與B有相同的特征值。故一、相似矩陣的基本概念與性質(zhì)1.相似矩陣的概念2.相似矩陣的性質(zhì)P144定理5.5

(3)當(dāng)前5頁，總共30頁。二、矩陣相似對(duì)角化的概念與問題分析定義對(duì)于n階矩陣

A，則稱A可相似對(duì)角化

；若存在可逆的n階方陣

P，使得記為▲P145定義5.3當(dāng)前6頁，總共30頁。若存在可逆矩陣P使則則特別地，若二、矩陣相似對(duì)角化的概念與問題分析好處(之一)當(dāng)前7頁，總共30頁。例證明矩陣不能相似對(duì)角化。證(反證法)假設(shè)存在可逆矩陣P，使得即得故它們有相同的特征值，由矩陣A與

L相似，矛盾！故矩陣A不能相似對(duì)角化。當(dāng)前8頁，總共30頁。1.問題分析(1)L如何構(gòu)成？L的主對(duì)角線上的元素由A的全部特征值構(gòu)成。由于是

L

的

n

個(gè)特征值，而

A

與

L

相似，因此就是A的n個(gè)特征值

.記為所考慮的問題是尋找可逆的n階方陣P，使得即二、矩陣相似對(duì)角化的概念與問題分析當(dāng)前9頁，總共30頁。1.問題分析(2)P如何構(gòu)成？P的列向量由A的線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成。設(shè)即則由有于是有又因?yàn)镻可逆，且線性無關(guān)，故因此是

A

的

n

個(gè)線性無關(guān)的特征向量

.即二、矩陣相似對(duì)角化的概念與問題分析當(dāng)前10頁，總共30頁。A

有

n

個(gè)線性無關(guān)的特征向量，推論如果n階矩陣A

有

n

個(gè)不同的特征值，則矩陣A

可以相似對(duì)角化。定理n階矩陣A

能夠相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件是1.問題分析2.矩陣可相似對(duì)角化的條件即

A

每個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)必須恰好等于該特征值的重?cái)?shù)。二、矩陣相似對(duì)角化的概念與問題分析P145定理5.6P146推論2P145推論1當(dāng)前11頁，總共30頁。三、矩陣相似對(duì)角化的方法步驟步驟(1)求n階方陣A的特征值其重?cái)?shù)分別為(2)對(duì)每一個(gè)特征值求矩陣A特征向量，并找出其中線性無關(guān)的特征向量，其最大個(gè)數(shù)為(3)若則A不能相似對(duì)角化；(4)若從而有則以這些特征向量作為列向量構(gòu)成矩陣P，當(dāng)前12頁，總共30頁。其中個(gè)個(gè)個(gè)三、矩陣相似對(duì)角化的方法步驟步驟(4)若從而有則以這些特征向量作為列向量構(gòu)成矩陣P，當(dāng)前13頁，總共30頁。三、矩陣相似對(duì)角化的方法步驟(2)因是的基礎(chǔ)解系中的解向量，故的因此P也不是唯一的。(3)由于的根只有

n

個(gè)(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)，所以則是唯一的。如果不計(jì)特征值的排列順序，幾點(diǎn)說明(1)P中的列向量(即特征向量)的排列順序要與特征值的順序一致。取法不是唯一的。當(dāng)前14頁，總共30頁。例試將矩陣相似對(duì)角化。解令(三重根)得A

的特征值為由得A

的特征向量為顯然，最多能找到兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此矩陣A不能相似對(duì)角化。當(dāng)前15頁，總共30頁。例將矩陣相似對(duì)角化，并求解(1)由得A

的特征值為對(duì)對(duì)取特征向量令則(重根)(單根)取特征向量當(dāng)前16頁，總共30頁。解有(2)由例將矩陣相似對(duì)角化，并求當(dāng)前17頁，總共30頁。則P可逆，解(1)令且例設(shè)三階方陣A的三個(gè)特征值為且對(duì)應(yīng)的特征向量分別是求矩陣A和當(dāng)前18頁，總共30頁。(2)因此有當(dāng)前19頁，總共30頁。證(1)由題意可知：n維基本向量是A的特征向量，例設(shè)任意非零n維向量都是n階方陣A的特征向量，證明A為數(shù)量陣。令即則存在使得當(dāng)前20頁，總共30頁。例設(shè)任意非零n維向量都是n階方陣A的特征向量，證(2)又n維向量也是A的特征向量，證明A為數(shù)量陣。故存在使得即因此即A為數(shù)量陣。當(dāng)前21頁，總共30頁。例四、矩陣相似對(duì)角化的應(yīng)用1.人口流動(dòng)問題P148例10當(dāng)前22頁，總共30頁。第一年末城鄉(xiāng)人口為解(1)設(shè)最初城市和農(nóng)村人口分別為即第k年末城鄉(xiāng)人口為即記則有當(dāng)前23頁，總共30頁。(2)由求得A的特征值為它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為令則且因而有當(dāng)前24頁，總共30頁。(3)第k年末城鄉(xiāng)人口為故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，城與農(nóng)村的人口之比為2:1

.當(dāng)前25頁，總共30頁。

由A的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量分別為故第k年末城鄉(xiāng)人口為注本題還可以直接利用特征值與特征向量的性質(zhì)來求解(線性無關(guān))有當(dāng)前26頁，總共30頁。例求解常系數(shù)線性常微分方程組四、矩陣相似對(duì)角化的應(yīng)用1.人口流動(dòng)問題2.微分方程組求解問題其中，設(shè)想:假如微分方程組為則它們是三個(gè)獨(dú)立其解非常容易得到.的齊次型微分方程,當(dāng)前27頁，總共30頁。解(1)將微分方程組改寫為矩陣形式令簡記為則微分方程組可改寫為簡寫為簡記為當(dāng)前28頁，總共30頁。解(