線性代數(shù)3學分linalg第五章相似矩陣及二次型

第五似矩陣及二次 向量的內積、長度及正交一.內積,長度和夾角在平面中,向量的數(shù)量積(即內積)OPOQdefOPOQcos 其 的長度,是向量OP和OQ的夾角

分別是向量OPOPOQOPOQ

xy OP OP x2x2OPOQ OPOPOP

1 2若OP0

OQ0,則cos

,所以 a1定義.設

(,)defab a

T稱為的內積

1 na bn n性質.設,(,)(,)

n,是實數(shù)(,)(,)(,)(,)(,)0,0.即0,0由(i),(ii)知(,(,(類似的由(i),(iii)知(,施瓦茨不等式

(,)2(,)(,)a1(,定義(,

a21n,稱為向量的長度a21n

a2a 1,則稱為單位向量

ana性質

0,

00

,其中是實數(shù),n維向量.(別.An階矩陣,是實數(shù),則|A|n|A|(iii)三角不等式

證(i)與(ii)是顯然的.下面我們證明(iii).222(,)(,)(,)(,)(,)(,)2(,)(,(,(,)(,(,)

(,)(

若0

0,則arccos()稱為向量的夾角因為我們知道|cos|1,所以我們需要證明()1.根據(jù)施瓦茨不等式,我們有()2,.()

(,)((,)(,

.()1若(0,則稱正交.注意:1.零向量與任何向量正交.

若0

0,則正交(0arccos()90二.規(guī)范正交基

定義.正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量定理.若n維向量1, ,m是一個正交向量組,則1, ,m線性無關.證:設k11 kmm0.要證k1 km0.則0(i,0)(i,k11 kmm)k1(i,1) km(i,m),(1im但是(i,j)0,ij.所以k1(i,1) km(i,m)ki(i,i)0因為(i,i)0,所以ki0,(1im).所以1 ,m線性無關 定義.設1 ,r是向量空間V

n)的一個基

1 ,r是正交向量組,且都是單位向量則稱1 ,r是V的一個規(guī)范正交基例.若

00,,1(i,(1in.則e

是n的一個規(guī)范正交基 00

,a1,性質.設1 是V

V

a 則(i,ai

rarr證:a11 arr,所以(i,)(i,a11 ai(i,i)arr定理.設1 ,r是向量空間V的一個基A為正交陣,A1AT也是正交陣,且|A|1或AB都是正交陣,AB也是正交陣1T1證1.根據(jù)定義

A( ,)為正交矩陣 (

)ATA Tn(

)T

若i.所以結論成立0 0

若iATAE,A1AT.ATAA1AEATAE|AT||A||ATA|1.所以|A|1或ATAE,BTBE所以(AB)TABBTATABBTBE 定義.Pn階矩陣

X,Y

n,則關系式YPXX到變量Y的線性變換P是可逆矩陣,則稱YPX是可逆的線性變換,P是正交矩陣,則稱YPX為正(PX)TXTPTXT性質.設YPX為正交變換(PX)TXTPTXTYTY證:YTY

X 方陣的特征值與特征向定義.An階矩陣,如果存在數(shù)和0A的屬于特征值的一個特征向量

n,A,則A的特征值n階矩陣A的特征值AX

有非零解

AEX0有非零R(AE)nA A的屬于特征值的一個特征向量是AEX0的非零解f(AE是一個關于的多項式,A的特征多項式 11.A020的特征值和特征向量 1 2 解:AE

2 = 3A的特征值為=–1,= 當1=–1時,解方程組A1EXA+E)X1 1

xx

x 13AE030 3

,x1,求得

1 14

x2

x2 0

10是基礎解系.所以對應1kpk0 11當2=3=2時,解方程組A2EXA–2E)X= 1 4

x 4 0 0 x1x

,分別令2和.求得1

x 0 4 1x1和1.p4,p0是基礎解系 00

44所以對應于==2的所有特征向量為kp+kp(k,k不同時為零 2 3 2性質1.An階矩陣,f(AEn個根(重根按重數(shù)計算).(f(0)0,則稱0為多項式f()的根 所以A有n個特征值1 ,n na11 ann n|A|性質2.設是矩陣A的特征值,(x)=aax axm m是矩陣Am的特征值(m1);()是矩陣多項式(A)的特征A可逆時,則1A1的特征值證:因為A的特征值,所以存在0,AA2AAA2.所以2A2的特征值A3A(A2)2A3Akk.所以kAk的特征值(A)(a0Ea1A am(aa

m) 當A可逆時,則0,(否則0 A可得,A1AA1.A11所以1是逆陣A1的特征值 2.設3A的特征值為112.求|A*3A2E|.A*3A2E有3個特征值,則|A*3A2E| A*3A2E

12

A |A

|A|

1(1)2

2A令(x2x13x2,則A2A13A2A*3A2雖然A所以A)的特征值分別是(1)1,(1)3,(2)3.所以|A*3A2E|(1)(3)39 3.設,,···,Am個互不相等的特征值,p,p,···,

pi是特征值i的特征向量1imkm證:設k1p1 0.要證k1 kmkmAs0sm1s1則有(kp ,kp) sk

sk

As(k

k

)0(0sm1 m

s

11

mm 1 mm m1所以(kp ,k

)K0,K

1 m 1 m1 因為|K|是范德蒙行列式,,,···,互不相等,所以|K|0, 所以(k1p1 ,kmpm) ,0).所以kipi0,1im.但是pi0(1im).所以ki0 1im.所以,p,p

線性無關 3.12A的兩個不同的特征值,對應的特征向量依次為p1p2.證明p1p2A的特征向量證:反證法.

A(p1p2)(p1p2

(

p 1 22A(p)p,A( 1 22(1)p1(2)p20

1 2 因為p1,p2線性無關.所以120.所以12. 相似矩定義.ABn階矩陣,P,P1APB,AB相似.若存在對角矩陣,A和對角矩陣相似,A可對角化.0000P1AP

(x)x的一元多項式.P1AkP

,k n0( 0

n P1(A)P 0 0( n定理.nAB相似,AB的特征多項式相同,AB的特征值亦相同.證:要證|AE||BE|AB相似,P,P-1AP所以|BE||P1APE||P1APP1(E)P||P1AE)P||P1||AE||P|AE| 0推論.若n階方陣A與對角陣= 相似,則,,···,既是A的n個特征值0 0

n證:|E|(1 (n).所以,,···,是對角陣的特征值 因為相似矩陣有相同的特征值,A與對角陣相似,,所以,,···,是A的n個特征值 結論.f()A的特征多項式,AA和對角陣相似時很容易證明0f( 0 f(A)Pf()P1P P1P0P10 0 0f( n定理 n階矩陣A可對角化A有n個線性無關的特征向量 0證:“”存在可逆陣P,使P1AP .設P(p ,p)0 0 n,Apn,Apn)A( ,pn)APP010( ,pn)nn ,npn)i所以Api=p (1in).因為P可逆,所以p1, ,pn是線性無關.所以p1, ,pn是A的線性無關的特征向量.i i“”設Ap= (1in).p1 ,pn).則P可逆 i00n,pn,pn)(1p1 ,npn)(p1 ,pn

0AP

P n 0 0所以PAP 0 n推論.nAn個互不相等的特征值,A可對角化證明口述,不板書證:前面我們證明了屬于不同特征值的特征向量是線性無關的,而矩陣A有n個互不相等的特征值,所以矩陣A有n個線性無關的特征向量.所以根據(jù)上面的定理我們知道矩陣A可以 0AE的根出現(xiàn)的重數(shù),稱為0的代數(shù)重數(shù)例:AE1)2(2),則1的代數(shù)重數(shù)是2,2的代數(shù)重數(shù)是設0A的特征值,則A0EX0的解空間的維數(shù)稱為0的幾何重數(shù)定理2.設1 ,s是n階矩陣A的全部不同的特征值,(AiE)X0的解集的秩rinRAiE.A可對角化nri的幾何重數(shù)i的代數(shù)重數(shù),(1is 1例.設A x.問x為何值時,A可對角化 0 1解:|AE|(1)2(1.A的所有不同特征值為11

2A可對角化33RA1E3RA2R(A1E)R(A2E)3101 1 1AE xr102x1.RAE2 r 101 310 0 101 1 1AE10xr100x1 r 10 10 0 A可對角化R(A1E)R(A2E)3R(A2E)1x10x 對稱矩陣的對角1.實對稱矩陣的特征值為實數(shù)證:設A的特征值.則存在0,Ax1

x1用表示的共軛復數(shù),設 ,記 ,A(a)A xn xx AAAATAT

nTAT

()T TTTxx|x|2 因為0xx|x|2 所以.所以是實數(shù) 注意:A是實對稱矩陣,A的特征值為實數(shù),設0A的特征值,A0EX0的系數(shù)矩陣是實矩陣,所以它的基礎解系可取實向量,A對應的特征向 性質2. 都是對稱矩陣A的特征值 p,p是對應的實特征向量.則p與 證:由條件知Appi=1,2),

AAT i pTppTATppTAppTp.11 21所以(pT

0.因為,所以(p,p)pTp0 所以p與p正交 1

1 000定理.An階對稱矩陣,P,P1APPTAP0

, nA的所有特征值.A正交相似于一個對角矩陣推論.An階對稱矩陣0Ak重根,RA0Enk,從而k,所以0的代數(shù)重數(shù)0的幾何重數(shù)

0

0證:設P1AP ,則P1(AE)P 000 000 0

n 因為0是|AE|(1) (n)0的k重根,所以1, ,n中恰好有k個數(shù)等于0.0 0 所以 的對角線元素恰好有k個0.所以R(A0E)nk 0 0 0求正交矩陣,nA化為對角矩陣設|EA|( ()ks,其中(ij)則的代數(shù)重數(shù)為k i求出(AiE)X0的基礎解系:ii,pi,kipi1,,pi,kipi1,i令P(p11 ,p1,k , ,ps,k),則P是正交陣,

兩兩正交(1is)1ij(ij)

1 ,p1,k ,ps11

,ps,k兩兩正交 這些向量都是單位向量,而sk kn,所以p ,s

,

是n的一組規(guī)范正交基.P是正交陣 且

0 0 P1AP 0s 0s sP中列向量的排列是 0(因為如果P(p p)可逆,App,(1in),則P1AP 0 i0

n 11 例.設A 1.求一個正交陣P,使P1AP 0 解:|AE110111c20011.111111(1)((1)2)(1)2(2)A的所有不同的特征值為12(1重

21(2重對12,解方程A2EXA1EX0A

11 1

r

xx

1

0

1

xx 0

x1,則

.所以

1是基礎解系 x

2

11 1把單位化,得p 11 1

11||1

3 對21,解方程AEXA2EX0 1AE 1 xx

0.分別令x21和0,x1和

x 0 1

3 1所以

10 0 2 2

0是基礎解系1313把,正交化:取,

(2,3)

(,)(,)

(2,2

(2,2)2,2)2,所以

10

1 111

1 2

1112 2 2 111111 02將,單位化,p

111,p 1

||2

2

3 |||| 3 0令P(p,p,p),則P是正交陣,且P1AP 0

01 0如果令Q(p,p,p),則Q1AQ 0 例.A

1,An

1 2 解:P,P1AP為對角陣2 |AE

2

(1)(3)對11,解方程AEX0 AE

1

.

x

0.x1,x1所以

1 0 1是基礎解對23,解方程A3EX0A3E

1

1.

x

0.x1,x1

0 所以

1 P1

).則P1AP 0 3 n所以AP 0P1.所以 P P1P n 3

例.(Ex9)A23A2E0A的特征值只能取1或2證:設0A的特征值,則存在0A0 所以232A23A2E)0.所以2

20所以01或2 例.(Ex10)A為正交陣,且|A|1.證明1A的特征值.證.只要證|AE||A(1E|0.AATAE所以|AE||AATA||E|AE||A||AE|所以|AE|0 例.(Ex20)設矩陣A 2與 相似,求x,y;并求一個正交 1 y PP1APxyA的所有特征值為54y5(4)y1x所以|A4E||A5E|

x4y5一.二次型的定義

二次型及其標準定義

f(x1 稱為,x)ax2ax2 11 22ax22axx2axx22 121 131,x)ax2ax2 11 22ax22axx2axx22 121 131 n1,nn1,x)ax2axx 11 121axxaxxax21n1 212 22ax2n2axxaxxn1n n2nnnf(x1 n aijxix aijxjxii,j

i1j a11x1a12x2 a1nxna21x1a

ax(x,x ,x)

22 2nn1 n axax axn1

n2

nnn

a1nx1

xx,x ,x

2n2

xx1

na1n

nnnx aX

2,A

2n

A是對稱矩陣 x an nn則f(x ,x)XTAX A稱為二次f的矩陣.A的秩稱為二次f的秩注意:1.fA是對稱矩陣.若ij,axx的系數(shù)的一半.ax2的系數(shù) i 2.顯然二次型和對稱矩陣是一一對應的.fXXTAX(A對稱 0

例.二次型fx22x23x24xx6xx的矩陣為A 1 2 3 0 例.二次型fx23z24xyyz的矩陣為A 100 4 例.求二次型f(X)XT 7X

2解.fXx22x23x226)xx42)xx(73)x 1 1 2x22x23x28xx6xx10xx 1 1 2 3 所以二次型f的矩陣是 4 3 二.二次型的標準形和規(guī)范形 0 fXXT Xdx2稱為標準二次型0 0d d n

i定義.Pn階矩陣

x1 y1 X ,Y ,XPY稱為 x yn nP可逆,XPY是可逆的線性變換,P是正交矩陣,XPY為正交變換二次型f(X)XTAX(A對稱)可逆)f(X CYTACYYTCTACYx1 其中X

y1 Y .gYYTCTACY x yn n1.關于變量Yg的矩陣是CTAC.(A是對稱矩陣,CTACTCTATCTTCTAC,所以CTAC是對稱矩陣,g的矩陣是CTAC定義.如果C可逆,則稱CTACA合同gf的矩陣是合同的2.R(CTAC)RA).f的秩g的秩定理.任給二次型f(x ,x)XTAX,(A對稱),總有正交變換XPY,使 f(PY)y2y2 y21 2 n2n其中 ,是二次型f的矩陣A的所有特征值.稱y22n

為二次型 1 2f(x1 xn的標準形.注意二次型的標準形不是唯一的 00證:因為A對稱,所以存在正交矩陣P,使得PTAPP1AP 0 XPY,

n 0f(PY)PYTAPYYTPTAPYYT Yy2y2 y2 0 0

1 2 n n推論.任給二次型f(x ,x)XTAX,(A對稱),總有可逆變換XPY, f(CY)y2 y2y2 y2.其中rR(A).稱之為二次型f(x ,x)的規(guī)范形