高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理13組合教學(xué)案蘇教版選修23

1.3組合第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式從1，3，5，7中任取兩個(gè)數(shù)相除或相乘．問題1：所得商和積的個(gè)數(shù)同樣嗎？提示：不同樣．問題2：它們是擺列嗎？提示：從1，3，5，7中任取兩個(gè)數(shù)相除是擺列，而相乘不是擺列．問題3：一個(gè)小組有7名學(xué)生，現(xiàn)抽調(diào)5人參加勞動(dòng)．所抽出的這5人與次序相關(guān)嗎？提示：沒關(guān)．問題4：你能舉個(gè)這樣的示例嗎？提示：從班里選7名同學(xué)構(gòu)成班委會(huì)．一般地，從n個(gè)不一樣元素中拿出不一樣元素的一個(gè)組合.

m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從

n個(gè)元素中拿出

m個(gè)從1，3，5，7中任取兩個(gè)數(shù)相除．問題1：能夠獲得多少個(gè)不一樣的商？2提示：A4＝4×3＝12種．問題2：怎樣用分步法理解“任取兩個(gè)數(shù)相除”？2提示：第一步，從這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)元素，其組合數(shù)為C4，第二步，將每一組合中的兩個(gè)不一樣元素作全擺列，有A22種排法．2問題3：你能得出C4的結(jié)果嗎？222224提示：因?yàn)椋?.44242問題4：試用列舉法求得從1，3，5，7中任取兩個(gè)元素的組合數(shù)？提示：1，3；1，5；1，7；3，5；3，7；5，7共6種．組合數(shù)與組合數(shù)公式組合數(shù)從n個(gè)不一樣元素中拿出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不定義同元素中拿出m個(gè)元素的組合數(shù)表示法m用符號(hào)Cn表示乘積mn（n－1）（n－2）（n－m＋1）Cn＝形式m！組合數(shù)階乘公式形式性質(zhì)備注

mn！Cn＝m?。╪－m）！mn－mmmmCn＝Cn；Cn＋1＝Cn＋Cn*且m≤n.②規(guī)定0nmC＝1n1．組合的特色是只取不排組合要求n個(gè)元素是不一樣的，被拿出的m個(gè)元素也是不一樣的，即從n個(gè)不一樣的元素中進(jìn)行m次不放回地拿出．2．組合的特征元素的無序性，即拿出的m個(gè)元素不講究次序，沒有地點(diǎn)的要求．3．同樣的組合依據(jù)組合的定義，只需兩個(gè)組合中的元素完整同樣(不論次序怎樣)，就是同樣的組合．2[例1]判斷以下問題是擺列問題仍是組合問題？并計(jì)算出結(jié)果．高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信？②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？(2)高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組有10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學(xué)比賽，有多少種不一樣的選法？[精解詳析](1)①是擺列問題，共通了A112＝110封信；②是組合問題，共握手2＝55次．11(2)①是擺列問題，共有2A10＝90種選法；②是組合問題，共有2＝45種選法．10[一點(diǎn)通]劃分?jǐn)[列與組合的重點(diǎn)是看拿出元素后是按次序擺列仍是無序地組在一起．而劃分有無次序的方法是：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來，而后互換這個(gè)結(jié)果中隨意兩個(gè)元素的地點(diǎn)，看能否會(huì)產(chǎn)生新的變化．如有新變化，即說明有次序，是擺列問題；若無新變化，即說明無次序，是組合問題．1．以下問題：①鐵路線有5個(gè)車站，要準(zhǔn)備多少車票？②鐵路線有5個(gè)車站，有多少種票價(jià)？③有4個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，有多少種冠亞軍的狀況？④從a，b，c，d4名學(xué)生中選出2名學(xué)生，有多少種不一樣選法？⑤從a，b，c，d4名學(xué)生中選出2名學(xué)生達(dá)成兩件不一樣的工作有多少種不一樣選法？此中是組合問題的是________．(將正確的序號(hào)填在橫線上)分析：來往的車票是不一樣的，因?yàn)樗鼡碛蟹较蛐?，即有序；而來往的票價(jià)是同樣的，沒3有方向性；單循環(huán)是無序的，但冠亞軍卻有顯然的次序；從4名學(xué)生中選出2名學(xué)生無次序；而2名學(xué)生達(dá)成兩件不一樣的工作是有序的．答案：②④2．求出問題1中組合問題的組合數(shù)．2解：②鐵路線有5個(gè)車站，有C5＝10種不一樣的票價(jià)．2④從a，b，c，d4名學(xué)生中選出2名學(xué)生，有C4＝6種不一樣的選法.[例2]433(1)計(jì)算：C10－C7·A3；(2)x－72解方程3Cx－3＝5Ax－4.[思路點(diǎn)撥](1)直接利用公式計(jì)算；(2)由計(jì)算公式化為對(duì)于x的方程．[精解詳析](1)43原式＝C10－A710×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.由擺列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為（x－3）！（x－4）！3·（x－7）！4?。?·（x－6）！，3（x－3）5則4?。絰－6，即為(x－3)(x－6)＝40.因此，x2－9x－22＝0，解之可得x＝11或x＝－2.經(jīng)查驗(yàn)知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．因此，方程的根為x＝11.[一點(diǎn)通]組合數(shù)公式的乘積形式表現(xiàn)了組合數(shù)與相應(yīng)擺列數(shù)的關(guān)系，一般在計(jì)算詳細(xì)的組合數(shù)時(shí)會(huì)用到．組合數(shù)公式階乘形式的主要作用有：計(jì)算m，n較大時(shí)的組合數(shù)；對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和證明．nmmn－m2nnn333．計(jì)算C6＋C8＝________．4336×5×48×7×6分析：C6＋C8＝＋＝20＋56＝76.答案：764．計(jì)算以下各式的值．98199(2)C3456(1)C＋C；＋C＋C＋C.1002007789解：(1)C9819921100×99＋C＝C＋C＝2×11002001002004565664(2)原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210.88999101038－n3n5．(1)求C3n＋C21＋n的值；534Cn－1＋Cn－3(2)求等式3＝3中的n值．n－319≤≤38，0≤38－n≤3n，2n1921解：(1)∵即21∴≤n≤.0≤3n≤21＋n，220≤n≤2，∵n∈N*，∴n＝10，38－n3n283021∴C3n＋C21＋n＝C30＋C31＝C30＋C31＝466.545143C(2)原方程可變形為n－1，Cn－1＝Cn－3，3＋1＝3C55n（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）（n－5）即5！（n－3）（n－4）（n－5）＝5·3！，化簡整理，得2－3－54＝0.nn解此二次方程得＝9或＝－6(不合題意，舍去)，nn故n＝9為所求.[例3]在一次數(shù)學(xué)比賽中，某學(xué)校有12人經(jīng)過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn)，在以下條件下，有多少種不一樣的選法？隨意選5人；(2)甲、乙、丙三人一定參加；(3)甲、乙、丙三人不可以參加；(4)甲、乙、丙三人只好有1人參加．[思路點(diǎn)撥]此題屬于組合問題中的最基本問題，可依據(jù)題意分別對(duì)不一樣問題中的“含”與“不含”作出正確的判斷，而后利用組合數(shù)公式解決．[精解詳析]5種不一樣的選法．(1)C＝79212(2)甲、乙、丙三人一定參加，只需從此外的2＝36種不一樣的選法．9人中選2人，共有C95(3)甲、乙、丙三人不可以參加，只需從此外的9人中選5人，共有5C9＝126種不一樣的選法．(4)甲、乙、丙三人只好有1人參加．分兩步，先從甲、乙、丙中選1種1人，有C＝33414選法，再從此外的9人中選4人有C9種選法．共有C3C9＝378種不一樣的選法．[一點(diǎn)通]解簡單的組合應(yīng)用題時(shí)，要先判斷它能否是組合問題，拿出元素不過構(gòu)成一組，與次序沒關(guān)則是組合問題；拿出元素排成一列，與次序相關(guān)則是擺列問題．只有當(dāng)該問題能構(gòu)成組合模型時(shí)，才能運(yùn)用組合數(shù)公式求出其組合數(shù)．在解題時(shí)還應(yīng)注意兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，在分類和分步時(shí)，注意有無重復(fù)或遺漏．6．從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中隨意拿出3臺(tái)，此中起碼有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不一樣的取法共有________種．分析：抽出的3臺(tái)電視機(jī)中甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)的取法有C14C25種；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)的取21法有C4C5種．依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得總的取法有C14C25＋C24C15＝40＋30＝70(種)．答案：707．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小同樣的7個(gè)白球和1個(gè)黑球．從口袋內(nèi)拿出3個(gè)球，共有多少種取法？從口袋內(nèi)拿出3個(gè)球，使此中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？從口袋內(nèi)拿出3個(gè)球，使此中不含黑球，有多少種取法？38×7×6解：(1)因?yàn)榕c次序、地點(diǎn)沒關(guān)，是組合問題，由組合定義知有C8＝3×2×1＝56(種)．(2)是組合問題，只需從7個(gè)白球中取2個(gè)即可，因此有2種)．C7＝21((3)是組合問題，只需從7個(gè)白球中取3個(gè)即可，因此有3種)．C＝35(71．劃分一個(gè)問題是擺列問題，仍是組合問題，重點(diǎn)是看它有無“次序”，有次序就是排列問題，而無次序就是組合問題．判斷它能否有次序的方法：將元素拿出來，看互換元素的次序后對(duì)結(jié)果有無影響，有影響就是“有序”，也就是擺列問題；沒有影響就是“無序”，也就是組合問題.2．同“擺列”與“擺列數(shù)”是兩個(gè)不一樣的觀點(diǎn)同樣，“組合”與“組合數(shù)”也是兩個(gè)不同的觀點(diǎn)．“組合”是指“從n個(gè)不一樣元素中取m(m≤n)個(gè)元素合成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，6而是詳細(xì)的一件事；“組合數(shù)”是指“從n個(gè)不一樣元素中拿出m(m≤n)個(gè)元素的所有不一樣組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)．比如，從3個(gè)不一樣元素a，b，c中每次拿出兩個(gè)元素的組合為ab，ac，bc，此中每一種都叫一個(gè)組合，這些組合共有3個(gè)，則組合數(shù)為3.課下能力提高(五)一、填空題1．給出下邊幾個(gè)問題，此中是組合問題的是________．從1，2，3，4中選出2個(gè)構(gòu)成的會(huì)合；由1，2，3構(gòu)成兩位數(shù)的不一樣方法；由1，2，3構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)．分析：由題意知：(1)與次序沒相關(guān)系；(2)(3)與次序相關(guān)，故是擺列問題．答案：(1)2nn2n（n－1）＝10，解之得n＝5.分析：Cn＝2×1答案：53．男女學(xué)生共有8人，從男生中選用2人，從女生中選用1人，共有30種不一樣的選法，此中女生有________人．分析：設(shè)男生有n人，則女生有(8－)人，由題意可得21＝5或＝6，CnC8－n＝30，解得nnn代入考證，可知女生有2人或3人．答案：2或3x3x－82828x3x－8，分析：∵C28＝C287x＝3x－8或x＋(3x－8)＝28，即x＝4或x＝9.答案：4或95．從2，3，5，7四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不一樣的數(shù)相乘，有個(gè)不一樣的積；任取兩個(gè)不一樣的m數(shù)相除，有n個(gè)不一樣的商，則m∶n＝________．221分析：∵m＝C4，n＝A4，∴m∶n＝2.1答案：2二、解答題6．列出從5個(gè)元素A，B，C，D，E中拿出2個(gè)元素的所有組合．解：從5個(gè)元素，，，，中拿出2個(gè)元素的所有組合有：，，，，，ABCDEABACADAEBCBD，BE，CD，CE，DE共10個(gè)．222234510022222222解：原式＝C3A2＋C4A2＋C5·A2＋＋C100·A2＝222223451002＝3222232(C＋C＋C＋C＋＋C－C)·A334510032＝322232(C4＋C4＋C5＋＋C100－C3)·A2＝32232(C＋C＋＋C－C)·A5510032＝332(C101－C3)·A2＝32C101－2＝333298.8．現(xiàn)有10名教師，此中男教師6名，女教師4名．現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不一樣的選法？選出2名男教師或2名女教師去外處學(xué)習(xí)的選法有多少種？現(xiàn)要從中選出男、女老師各2名去參加會(huì)議，有多少種不一樣的選法？解：(1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不一樣元素中拿出2個(gè)元素的組合數(shù)，即有210×9C＝2×110可把問題分兩類狀況：2第一類，選出的2名是男教師有C6種方法；8第二類，選出的2名是女教師有2C4種方法．依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有22C＋C＝15＋6＝21種不一樣的選法．64(3)分步：第一從6名男教師中任選2名，有C62種選法；再從4名女教師中任選2名，2種選法；依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，因此共有22有C4C6·C4＝90種不一樣的選法．第2課時(shí)組合的應(yīng)用[例1]課外活動(dòng)小組共13人，此中男生8人，女生5人，而且男、女生各指定一名隊(duì)長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依以下條件各有多少種選法？只有1名女生；兩名隊(duì)長入選；起碼有1名隊(duì)長入選．[思路點(diǎn)撥]特別元素特別對(duì)待，特別地點(diǎn)優(yōu)先安排．[精解詳析](1)1名女生，144名男生，故共有C5·C8＝350種．(2)將兩名隊(duì)長作為一類，其余11人作為一類，故共有C22·C113＝165種．(3)起碼有1名隊(duì)長含有兩類：只有1名隊(duì)長；2名隊(duì)長，故共有選法1423＝211211825種，或采納間接法共有55種．C13－C11＝825[一點(diǎn)通]解答組合應(yīng)用題的整體思路：整體分類：從會(huì)合的意義講，分類要做到各種的并集等于全集，即“不漏”，隨意兩類的交集等于空集，即“不重”，計(jì)算結(jié)果時(shí)使用分類計(jì)數(shù)原理．局部分步：整體分類此后，對(duì)每類進(jìn)行局部分步，分步要做到步驟連續(xù)，保證分步不遺漏，同時(shí)步驟要獨(dú)立．91．從6名男生和2名女生中選出3名志愿者，此中起碼有1名女生的選法共有________種．分析：法一：選出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生121名男生，共有C2C621種)選法；＋C2C6＝2×15＋6＝36(法二：從8名學(xué)生中選出3名，減去所有是男生的狀況，共有3386選法．答案：362．有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生構(gòu)成一個(gè)醫(yī)療小組，則不一樣的選法共有________種．分析：從中選出2215種，從中選出1名女醫(yī)生的選法有1名男醫(yī)生的選法有C＝C＝565種，因此不一樣的選法共有15×5＝75種．答案：753．設(shè)會(huì)合I＝{1，2，3，4，5}．選擇會(huì)合I的兩個(gè)非空子集A和，若會(huì)合B中最小B的元素大于會(huì)合A中最大的元素，則不一樣的選擇方法共有多少種？2解：從5個(gè)元素中選出2個(gè)元素，小的給會(huì)合A，大的給會(huì)合B，有C5＝10種選擇方法；33個(gè)元素從小到大擺列，中間5有2個(gè)空，用一個(gè)隔板將其分開，一邊給會(huì)合A、一邊給會(huì)合B，方法種數(shù)是2，故此時(shí)有410×2＝20種選擇方法；從5個(gè)元素中選出4個(gè)元素，有C5＝5種選擇方法，從小到大擺列，中間有3個(gè)空，用一個(gè)隔板將其分開，一邊給會(huì)合A、一邊給會(huì)合B，方法種數(shù)是3，故此時(shí)有5×3＝15種選擇方法；從5個(gè)元素中選出5個(gè)元素，有5C5＝1種選擇方法，同理分開方法有4種，故此時(shí)有1×4＝4種選擇方法．依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，總計(jì)為10＋20＋15＋4＝49種選擇方法.[例2]平面上有9個(gè)點(diǎn)，此中有4個(gè)點(diǎn)共線，除其余無3點(diǎn)共線．經(jīng)過這9個(gè)點(diǎn)，可確立多少條直線？以這9個(gè)點(diǎn)為極點(diǎn)，能夠確立多少個(gè)三角形？以這9個(gè)點(diǎn)為極點(diǎn)，能夠確立多少個(gè)四邊形？[思路點(diǎn)撥]解答此題可用直接法或間接法進(jìn)行．10[精解詳析]法一：(直接法)(1)可確立直線4112條．C＋CC＋C＝314455(2)可確立三角形C24C15＋C14C25＋C35＝80個(gè)．(3)可確立四邊形22134個(gè)．C4C5＋C4C5＋C5＝105法二：(間接法)2可確立直線C9－C4＋1＝31條．3可確立三角形C9－C4＝80個(gè)．4431(3)可確立四邊形C9－C4－C4C5＝105個(gè)．[一點(diǎn)通]解答幾何組合應(yīng)用題的思慮方法與一般的組合應(yīng)用題基本同樣，只需把圖形隱含的條件視為組合應(yīng)用題的限制條件即可．計(jì)算時(shí)可用直接法，也可用間接法，要注意在限制條件許多的狀況下，需要分類計(jì)算切合題意的組合數(shù)．4．正六邊形的中心和極點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以此中三個(gè)點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形共有________個(gè)．分析：C37－3＝32.答案：325．平面內(nèi)有兩組平行線，一組有m條，另一組有n條，這兩組平行線訂交，能夠構(gòu)成__________個(gè)平行四邊形．分析：第一步，從m條中任選2n條中任選22條，Cm；第二步，從2條Cn.22由分步計(jì)數(shù)原理，得Cm·Cn.22答案：Cm·Cn6．已知平面α∥β，在α內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)有6個(gè)點(diǎn)．過這10個(gè)點(diǎn)中的隨意3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不一樣的平面？以這些點(diǎn)為極點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？上述三棱錐中最多能夠有多少個(gè)不一樣的體積？解：(1)所作出的平面有三類：①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確立的平面，有1246②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確立的平面，有21C4·C6個(gè)；③α，β自己．因此所作的不一樣平面最多有1221＋2＝98(個(gè))．C·C＋C·C4646(2)所作的三棱錐有三類：11①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)3點(diǎn)確立的三棱錐，有13C4·C6個(gè)；②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確立的三棱錐，有22C·C個(gè)；46③α內(nèi)3點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確立的三棱錐，有31C·C個(gè)．46因此最多可作出的三棱錐有132231個(gè))．C4·C6＋C4·C6＋C4·C6＝194((3)因?yàn)楫?dāng)?shù)鹊酌娣e、等高的狀況下三棱錐的體積相等，又平面α∥β，因此體積不相3322個(gè))．6464解有限制條件的組合應(yīng)用題的基本方法是“直接法”和“間接法”(清除法)．用直接法求解時(shí)，則應(yīng)堅(jiān)持“特別元素優(yōu)先選用”、“特別地點(diǎn)優(yōu)先安排”的原則．選擇間接法的原則是“正難則反”，也就是若正面問題分類許多、較復(fù)雜或計(jì)算量較大，不如從反面問題下手，試一試看能否簡捷些，特別是波及“至多”“起碼”等組合問題時(shí)更是這樣，此時(shí)，正確理解“都不是”“不都是”“至多”“起碼”等詞語確實(shí)切含義是解決這些組合問題的重點(diǎn)．課下能力提高(六)一、填空題1．某施工小組有男工7人，女工3人，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去增援另一施工隊(duì)，不一樣的選法有________種．分析：每個(gè)被選的人都無角色差別，是組合問題，分2步達(dá)成：第1步，選女工，有1步，選男工，有2C3種選法；第2C7種選法．1237答案：63122．上海某區(qū)政府招集5家公司的負(fù)責(zé)人開年關(guān)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)溝通會(huì)，此中甲公司有2人到會(huì)，其余4家公司各有1人到會(huì)，會(huì)上選舉3人講話，則這3人來自3家不一樣公司的可能情況的種數(shù)為________．分析：若3人中有一人來自甲公司，則共有12C2C4種狀況，若3人中沒有甲公司的，則共有3人來自3家不一樣公司的可能狀況共有123＝C4種狀況，由分類計(jì)數(shù)原理可得，這3C2C4＋C416(種)．答案：163．圓周上有20個(gè)點(diǎn)，過隨意兩點(diǎn)連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有________個(gè)．分析：在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多，相當(dāng)于從圓周上的20個(gè)點(diǎn)，隨意選4個(gè)點(diǎn)獲得的，故最多有C420＝20×19×18×17＝4845個(gè)．4×3×2×1答案：48454.如下圖的幾何體是由一個(gè)正三棱錐P-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不一樣顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不一樣色，則不一樣的染色方案共有________種．分析：先涂三棱錐-的三個(gè)側(cè)面，而后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，1111＝共有C3×C2×C1×C2PABC3×2×