大學(xué)物理-質(zhì)點(diǎn)力學(xué)習(xí)題

質(zhì)點(diǎn)力學(xué)復(fù)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本物理量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述（在直角坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系）運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問(wèn)題新內(nèi)容新內(nèi)容動(dòng)力學(xué)的基本物理量之一——力牛頓第二定律的描述（在直角坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系）動(dòng)力學(xué)的兩類問(wèn)題積分微分問(wèn)題切向法向加速度難點(diǎn)兼重點(diǎn)精選ppt描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)的物理量線量：位置矢量：位移：速度：加速度：角量：角位置：角位移：角速度：角加速度：角量和線量之間的關(guān)系：精選ppt質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)牛頓第二定律F=ma質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理Fdt=d(mv)1、力對(duì)時(shí)間的累積—沖量2、動(dòng)量定義：P=mv質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理Fdt=dP動(dòng)量守恒定律F=0

P=C1、力對(duì)空間的累積—功2、動(dòng)能定義質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理功能原理A外+A非保守內(nèi)力=E-E0機(jī)械能守恒定律精選ppt質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本題型1、已知運(yùn)動(dòng)方程求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度、加速度、切向加速度、法向加速度、任意時(shí)刻的位置以及軌道方程等。

2、已知質(zhì)點(diǎn)的加速度（或速度）隨時(shí)間的變化規(guī)律和初始條件（t=0s時(shí)刻的初位矢r0和初速度v0），求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和運(yùn)動(dòng)方程。這是積分問(wèn)題，根據(jù)加速度的表示有三種情況：對(duì)每種情況有不同的積分方法。精選ppt例1.速度矢量和加速度矢量是怎樣定義的?寫(xiě)出定義式.若一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=x(t),y=y(t),有人求速度加速度作法如下:(1)試就質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)這一特例說(shuō)明.如此作法是否正確?并說(shuō)明理由.各式的含義.(2)寫(xiě)出v和v、;a和a的正確表達(dá)式.例題(3)試就質(zhì)點(diǎn)作一般曲線運(yùn)動(dòng)情況分別標(biāo)出;并討論.精選ppt(1)不正確，以圓周運(yùn)動(dòng)為例：xy結(jié)果不正確，做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度和加速度顯然不為零仍以圓周運(yùn)動(dòng)為例，解：精選ppt

P1ΔSΔrxyz

0（3）由圖可見(jiàn)，為做曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度；為速度的大小，即速率；而所以，在圓周運(yùn)動(dòng)中，既不是速度也不是速率，它是速度沿徑向分量的大小。

P2

0精選ppt為速度大小的增量，所以，為加速度在速度方向上的分量，即切向加速度為物體的加速度矢量是加速度的大小

P1xyz

0（3）

P2精選ppt例2、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面上作曲線運(yùn)動(dòng)，它的速度矢量和加速度矢量的夾角α始終保持不變。試證明它的速度大小可以表示為式中θ是速度v與x軸的夾角，并且當(dāng)θ=θ0時(shí)，速度v=v0θOxyPva解：如圖所示，題設(shè)的條件可以表示為：從而：精選ppt而：代入得到：精選ppt分離變量并積分：得到：精選ppthlv1v2θ對(duì)于相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，在計(jì)算相對(duì)速度和相對(duì)加速度時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確研究對(duì)象和參考系的關(guān)系，即誰(shuí)相對(duì)與誰(shuí)，然后根據(jù)相關(guān)的矢量式求解。也可以根據(jù)矢量式畫(huà)出矢量圖來(lái)求解，這是一種簡(jiǎn)明有效的解題方法。例3、一輛汽車在雨中沿直線行駛，其速率為v1，雨滴下落的速度方向偏與垂直方向之前θ角，速率為v2。若車后有一長(zhǎng)方形物體，如圖所示。問(wèn)車速至少多大時(shí)，此物體正好不會(huì)被雨水淋濕？精選ppt分析：這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，把雨點(diǎn)作為研究對(duì)象，取地面為靜止參考系，汽車為運(yùn)動(dòng)參考系。要使物體不淋濕，在車上觀察雨點(diǎn)下落的方向（雨點(diǎn)相對(duì)于汽車運(yùn)動(dòng)速度的方向）應(yīng)當(dāng)滿足α>=arctanl/h。解：雨滴相對(duì)速度的矢量關(guān)系如圖:則根據(jù)：

由矢量圖可以得到：v1V2’v2θαhlv1v2θ精選ppt而要使則所以精選ppt例4、討論物體受下述變力作用時(shí)，求加速度的解題思路（1）力是時(shí)間的函數(shù)F=F(t):一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)A受周期性外力F=F0cos

t的作用沿x軸運(yùn)動(dòng),其中F0、均為常量，且t=0時(shí)靜止于坐標(biāo)原點(diǎn),求位置、速度與時(shí)間的關(guān)系。思路：加速度是時(shí)間的函數(shù)a=a(t):即a=(F0

/

m)cost,精選ppt(2)力是位置的函數(shù)F=F(x):一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)B沿x軸運(yùn)動(dòng)受力F=F0+kx的作用,其中F0、k均為常量，且B在x=0處的速度為v0,求B的速度與坐標(biāo)間的關(guān)系。思路：加速度是位置的函數(shù)a=a(x):即a=(F0

/

m)+(k/m)x,精選ppt(3)力是速度的函數(shù)F=F(v):一質(zhì)量為m的輪船C在?？看a頭之前關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)這時(shí)的速率為v0，設(shè)水的阻力與輪船的速率成正比,比例常數(shù)為k，求發(fā)動(dòng)機(jī)停機(jī)后,C所能前進(jìn)的最大距離。思路：加速度是速度的函數(shù)F=F(v):F=-kv,a=-(k/m)v精選ppt例5、路燈距離地面高度為H，一個(gè)身高為h的人，在燈下水平路面上以v0勻速度步行，如下圖所示，試求當(dāng)人與燈的水平距離為x時(shí)，他的頭頂在地面上的影子移動(dòng)的速度的大小。Hxv0hHxhx’v0yx精選ppt解：建立如圖坐標(biāo)系，t時(shí)刻頭頂影子的坐標(biāo)為x+x’，設(shè)頭頂影子的移動(dòng)速度為v，則

由圖中可以看出：則有

所以有Hxhx’v0yx精選ppt例6、兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A和B，用長(zhǎng)度為l的兩根繩子相連，如圖所示。它們始終保持在同一個(gè)鉛直面內(nèi)以恒定的角速度旋轉(zhuǎn)，成為兩個(gè)連在一起的圓錐擺。證明A擺的擺線與鉛直線間的夾角小于B擺的擺線與鉛直線間的夾角。如果擺線與鉛直線間的夾角很小，求擺的旋轉(zhuǎn)角速度。

精選ppt解：兩個(gè)擺球的受力情況如圖所示：對(duì)A擺有：T2anGAT1Aan’T2GBB精選ppt對(duì)B擺有：代入式（1）、（3），可以消去T1、T2，可以得到：an’T2GBB精選ppt比較以上兩個(gè)式子，可見(jiàn)：所以如果這兩個(gè)夾角很小的話，則（5）、（6）可以簡(jiǎn)化為：這個(gè)系數(shù)行列式等于零。即精選ppt解得：例7、質(zhì)量為m的小球，用一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧1懸掛起來(lái)。當(dāng)彈簧的伸長(zhǎng)量超過(guò)臨界長(zhǎng)度lc(lc>mg/k)時(shí)，彈簧將被拉斷。在小球下方再掛一根完全相同的彈簧2。如果慢慢拉彈簧2時(shí)，拉力緩慢增大，彈簧1先被拉斷，快拉時(shí)，拉力迅速增大，彈簧2先被拉斷。若作用于彈簧2的拉力F(t)=at，其中a是一個(gè)常量，以小球在平衡位置時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。求兩彈簧同時(shí)被拉斷時(shí)，a應(yīng)滿足的關(guān)系式。精選ppt解：取彈簧原長(zhǎng)時(shí)小球的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸豎直向下，如下圖。則小球的平衡位置為x0=mg/k。拉力作用后，小球向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)在任意時(shí)刻t，小球位于x1處，x1也就是彈簧1在t時(shí)刻的伸長(zhǎng)量。設(shè)此時(shí)刻彈簧2的伸長(zhǎng)量為x2。則此時(shí)彈簧2作用于小球的彈性力為f2=kx2，方向向下，此力應(yīng)當(dāng)?shù)扔诶(t)，即f2=kx2=F(t)=at，由牛頓第二定律，小球的運(yùn)動(dòng)方程可以得到：Oxx0x1f1f2G精選ppt令2=k/m，將F(t)代入，可以得到：此方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為(c1cost+c2sint)，其中c1、c2為兩個(gè)任意常數(shù)，非齊次方程的特解為g/2+at/k，所以方程的解為：精選ppt常數(shù)c1、c2可以由初始條件確定。當(dāng)t=0時(shí)，小球位于x0=mg/k，初速度為零，所以有 c1=0，c2=-a/kω，所以彈簧1的伸長(zhǎng)量x1隨時(shí)間t的變化規(guī)律為：由已知條件知道：

精選ppt設(shè)在t0時(shí)刻兩個(gè)彈簧同時(shí)被拉斷，即在t0時(shí)刻x1和x2同時(shí)達(dá)到lc，所以有如下表達(dá)式：即將代入得到：精選ppt例8、一個(gè)表面光滑的楔形物體，斜面長(zhǎng)為l，傾角為θ，質(zhì)量為m1，靜止于一個(gè)光滑水平桌面上。今將一個(gè)質(zhì)量為m2的物體放在斜面頂端，讓它自由滑下，如圖所示。求當(dāng)物體滑到桌面時(shí)，楔形物體移動(dòng)的距離和速度。

m2m1θ分析：動(dòng)量守恒定律適用于系統(tǒng)，系統(tǒng)選擇后，應(yīng)當(dāng)分清楚內(nèi)力和外力，只有當(dāng)系統(tǒng)的合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量才守恒。動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的速度都是相對(duì)于同一個(gè)慣性系。如果以物體和斜面作為系統(tǒng)，他們?cè)谒椒较蛏喜皇芡饬Γ韵到y(tǒng)的水平分量動(dòng)量守恒。另外，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由此可以求出斜面的滑行速度。精選ppt解：設(shè)楔形物體對(duì)地的速度為v1，方向向左；物體m2對(duì)地的速度為v2，物體相對(duì)于楔形物體的速度為u，注意：u的方向總是沿著斜面向下，如圖。由于系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒，有聯(lián)立求得：v1v1uv2θθm2精選ppt所以楔形物體向左移動(dòng)的距離為：在物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于機(jī)械能守恒，有上面兩式聯(lián)立，求得：精選ppt例9、ABC是一個(gè)有光滑弧形槽AC的木座，質(zhì)量為m1，放在光滑的水平桌面上?；⌒尾跘C在C點(diǎn)與水平面正好相切。A點(diǎn)高出水平面的高度為h。今有一質(zhì)量為m2的物體從頂端沿AC滑下，試求物體m2滑到C點(diǎn)時(shí)的速度。BACm2m1h解：選m1、m2為系統(tǒng)，此系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，所以在水平方向的動(dòng)量守恒。設(shè)m2滑到C點(diǎn)時(shí)的速度為v2，m1的速度為v1，且v1和v2的方向都沿水平方向，有：精選ppt聯(lián)立上述方程求得：又根據(jù)動(dòng)能定理，有BACm2m1h精選ppt變質(zhì)量問(wèn)題這里所謂的變質(zhì)量問(wèn)題是指在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中主體排出或者吸附一部分質(zhì)量的問(wèn)題，一般可以運(yùn)用動(dòng)量定理來(lái)處理，具體方法如下：設(shè)在某時(shí)刻t主體質(zhì)量為m，速度為v，在dt時(shí)間內(nèi)，吸附的物體為dm，速度為u（相對(duì)于與v相同的慣性系），因此在t+dt時(shí)刻，主體的質(zhì)量變?yōu)閙+dm，速度變?yōu)関+dv，這樣在t到t+dt時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的動(dòng)量變化為：忽略二階小量dmdv，而u-v=vr為吸附前被吸附物質(zhì)對(duì)于運(yùn)動(dòng)主體相對(duì)速度，則有：精選ppt由動(dòng)量定理Fdt=dp可以得到：這里F是運(yùn)動(dòng)主體以及吸附物所受的外力。對(duì)于排出質(zhì)量問(wèn)題，上式仍然適用，而vr應(yīng)理解為被排出的那部分物質(zhì)在排出后相對(duì)于運(yùn)動(dòng)主體的相對(duì)速度，這時(shí)dm/dt<0例9、雨滴在重力場(chǎng)中下落，下落過(guò)程中，水蒸氣不斷凝結(jié)為雨滴。如果視雨滴為球形，其質(zhì)量增加率dm/dt正比于它的表面積，設(shè)開(kāi)始時(shí)雨滴的半徑近似為零，試求雨滴下落的速度和加速度。精選ppt分析：這是一個(gè)變質(zhì)量問(wèn)題，不能用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律來(lái)求解，但是可用動(dòng)量定理來(lái)求解。解：根據(jù)動(dòng)量定理得到：雨滴下落過(guò)程中受到重力作用，所以F=mg，吸附前水氣是靜止的，即u=0，所以vr=-v，代入上式得到：上面式子可以改寫(xiě)成：精選ppt設(shè)水的密度為ρ，則有：將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到：由于dm/dt與雨滴的表面積成正比，即：得到：精選ppt所以：代入（1）得到：兩邊積分得到：代入m的表達(dá)式可以得到：精選ppt例10：一質(zhì)量M的水桶，開(kāi)始時(shí)靜止，桶中裝水m，以恒定作用力P將桶從井中提出，桶中水以不變速率從桶中漏出，經(jīng)T時(shí)間后桶變空。求：變成空桶瞬時(shí)，桶速度等于多少？PMm解：分離體dm，相對(duì)速度為零，根據(jù)變質(zhì)量問(wèn)題可以得到：精選ppt討論：當(dāng)m=0時(shí)，有如下式子：這就是恒