第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量上

第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量上第一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第1節(jié)

表示力學(xué)量的算符(2)定理厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)

容易證明坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符都是厄米算符（見書p56)。量子力學(xué)基本假定：體系處于力學(xué)量算符的本征態(tài)時(shí)，該力學(xué)量有確定值，就是該力學(xué)量算符本征態(tài)對(duì)應(yīng)的本征值。上章已經(jīng)知道：體系處于動(dòng)量算符本征態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量有確定值，就是動(dòng)量算符的本征值。處于能量算符(哈密頓量)本征態(tài)(定態(tài))時(shí)，系統(tǒng)的能量有確定值——能量本征值。推廣之！厄米算符：力學(xué)量的數(shù)值是實(shí)數(shù)，要求力學(xué)量算符的本征值應(yīng)該是實(shí)數(shù)。因此要求：力學(xué)量算符是(線性)厄米算符。線性：疊加原理，說(shuō)明干涉衍射等。取由厄米算符的定義得第二頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第2節(jié)

動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符——求解本征值方程1、動(dòng)量本征值方程容易得到方程的解公式（d維）它滿足“歸一化”條件在三維情況下有時(shí)希望解決：1、不能歸一化2、連續(xù)譜——分立譜

(箱歸一化)

上述解實(shí)都成立——連續(xù)譜而且解也不能滿足歸一化條件沒有嚴(yán)格意義上的自由粒子第三頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第2節(jié)

動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符——求解本征值方程動(dòng)量本征函數(shù)1、動(dòng)量本征值方程——箱歸一化

滿足箱歸一化條件箱歸一化周期性邊界條件動(dòng)量本征函數(shù)連續(xù)譜分立譜

第四頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第2節(jié)

動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符——求解本征值方程2、角動(dòng)量算符球坐標(biāo)結(jié)果(推導(dǎo)見后，或略去)角動(dòng)量平方算符注意因單位矢量是坐標(biāo)的函數(shù)求的共同本征函數(shù)?為什么不是求的共同本征函數(shù)？第五頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日球坐標(biāo)系單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)預(yù)備知識(shí)—xzyφ=φ0φ0

0球(r,,φ)r=r

0=

0P0O第六頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日球坐標(biāo)系拉普拉斯算符預(yù)備知識(shí)—(較好的選擇!)第七頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日角動(dòng)量算符角動(dòng)量平方算符球坐標(biāo)結(jié)果角動(dòng)量算符00第八頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第2節(jié)

動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符2、角動(dòng)量算符求的共同本征函數(shù)單值性要求令該方程是數(shù)學(xué)物理中的標(biāo)準(zhǔn)方程。結(jié)論是：P是非零有限函數(shù)的條件是——勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式——微分表示球諧函數(shù)方程連帶勒讓德方程第九頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日預(yù)備知識(shí)——連帶勒讓德方程解法若則級(jí)數(shù)解法：作冪級(jí)數(shù)展開比較同冪次項(xiàng)系數(shù)結(jié)論是：P是非零有限函數(shù)的條件是——勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式——微分表示——正交性第十頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第2節(jié)

動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符2、角動(dòng)量算符最后結(jié)果的共同本征函數(shù)Y稱為球諧函數(shù)——?dú)w一化常數(shù)——Legendre多項(xiàng)式本征值正交歸一化條件的狀態(tài)分別成為s,p,d,f態(tài)。習(xí)題(p1013.5題+1問)求剛性轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量及波函數(shù)。哈密頓量分別是1)2)3)簡(jiǎn)并度第十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子1、預(yù)備知識(shí)——兩體問題轉(zhuǎn)化為單體問題引入質(zhì)心坐標(biāo)相互作用勢(shì)能能量(哈密頓量)質(zhì)心動(dòng)量相對(duì)動(dòng)量總質(zhì)量約化質(zhì)量或折合質(zhì)量量子力學(xué)也是如此！定態(tài)薛定諤方程可變成相對(duì)坐標(biāo)無(wú)耦合！能量(哈密頓量)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)是質(zhì)量為M的自由粒子的運(yùn)動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)是質(zhì)量為μ的粒子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。1x+r1r2rR2Oyz第十二頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子2、預(yù)備知識(shí)——三維問題轉(zhuǎn)化為一維問題定態(tài)薛定諤方程折合質(zhì)量由于勢(shì)能只是距離的函數(shù)—與方向無(wú)關(guān)=>可分離變量球坐標(biāo)系中其中離心勢(shì)能3)基態(tài)是s態(tài)結(jié)論1)離心勢(shì)能的引入—與經(jīng)典力學(xué)非常類似2)3維可解（勢(shì)能V(r)）1維可解（勢(shì)能)徑向方程角向方程第十三頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子氫原子問題決定定態(tài)能量的方程是簡(jiǎn)化E>0時(shí)為非束縛態(tài)——連續(xù)譜考慮E<0的束縛定態(tài)——分立譜令求容許能量轉(zhuǎn)化為求容許n勢(shì)能:本征函數(shù):第十四頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子不滿足波函數(shù)有限的要求令標(biāo)準(zhǔn)型的合流超幾何方程

其2個(gè)獨(dú)立解都稱為合流超幾何函數(shù)

只有解F才可能滿足波函數(shù)有限的條件締合拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式徑量子數(shù)第十五頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子氫原子問題波函數(shù)E>0時(shí)為非束縛態(tài)——對(duì)應(yīng)連續(xù)譜E<0—束縛態(tài)能量玻爾半徑徑向波函數(shù)歸一化常數(shù)主量子數(shù)角量子數(shù)磁量子數(shù)簡(jiǎn)并度共同本征函數(shù)締合Laguerre多項(xiàng)式其中歸一化條件考慮例如第十六頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子徑向概率密度圖略，見書p75圖20概率分布徑向—角向獨(dú)立s,p,d,f,…,態(tài)角向概率分布徑向概率分布例題1求基態(tài)氫原子的最可幾半徑?；鶓B(tài)徑向波函數(shù)：。電子-p角向概率密度繞z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的立體圖形！或注意（玻爾半徑）第十七頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子——例題氫原子波函數(shù)例題2p100-1013.3-3.4題求氫原子中電子的電流密度和相應(yīng)的磁矩和回磁比幾率流密度矢量電流密度矢量定態(tài)時(shí)變?yōu)殡娏鳝h(huán)的磁矩環(huán)圍繞面積環(huán)電流環(huán)的體積總磁矩電流環(huán)的磁矩軌道回轉(zhuǎn)磁比率第十八頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子——例題例題3氫原子的典型物理量——量綱分析精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電磁耦合強(qiáng)度、能級(jí)精細(xì)結(jié)構(gòu)（相對(duì)論修正）氫原子典型速度電離能非相對(duì)論描述氫原子典型能量氫原子典型角動(dòng)量電子相關(guān)典型長(zhǎng)度氫原子典型線度Compton波長(zhǎng)相對(duì)論、量子理論非相對(duì)論量子理論電子經(jīng)典半徑相對(duì)論經(jīng)典理論量子理論的標(biāo)識(shí)常數(shù)相對(duì)論的標(biāo)識(shí)常數(shù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)非相對(duì)論描述的條件或動(dòng)能<<靜能第十九頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子——例題例題4簡(jiǎn)單常數(shù)代換氫原子中所有結(jié)果中類氫原子Π介子原子、電子空穴對(duì)、等等氫原子中所有結(jié)果中介質(zhì)中氫原子半導(dǎo)體施主、受主能級(jí)量級(jí)（還要考慮有效質(zhì)量修正）引力“原子”2個(gè)中子氫原子中所有結(jié)果中引力太微弱！第二十頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子——例題例題5

一維氫原子三維氫原子結(jié)果2度簡(jiǎn)并偶奇例題6

二維氫原子例題6

堿金屬原子——原子實(shí)+價(jià)電子零級(jí)近似就是氫原子結(jié)果考慮原子實(shí)的極化、電子軌道貫穿（半經(jīng)典描述）第二十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日與氫原子的差別（1）能量由（n,

）兩個(gè)量子數(shù)決定，主量子數(shù)相同，角量子數(shù)不同的能級(jí)不相同。各能級(jí)均低于氫原子相應(yīng)能級(jí)。（2）對(duì)同一n值，不同值的能級(jí)，值較大的能級(jí)與氫原子的差別較??；對(duì)同一值，不同n值