北京市第四十三中學(xué)屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題含解析

PAGE18-北京市第四十三中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題（含解析）第一部分選擇題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求兩個(gè)集合，再求.【詳解】，解得：或，即或，，所以.故選：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】分析：將復(fù)數(shù)化為最簡(jiǎn)形式，求其共軛復(fù)數(shù)，找到共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，判斷其所在象限.詳解：的共軛復(fù)數(shù)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限，故選D.點(diǎn)睛：此題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于送分題，解題時(shí)注意審清題意，切勿不可因簡(jiǎn)單導(dǎo)致馬虎丟分.3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和基本初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】y為奇函數(shù)，不符合題意，y＝為偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞增，符合題意，定義域?yàn)椋?，+∞），是非奇非偶函數(shù)，不符合題意，是偶函數(shù)，且x＞0時(shí)，y＝1-x單調(diào)遞減，不符合題意．故選：B．4.已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由數(shù)軸知，不妨取檢驗(yàn)選項(xiàng)得解.【詳解】由數(shù)軸知，不妨取，對(duì)于A，，不成立.對(duì)于B，，不成立.對(duì)于C，，不成立.對(duì)于D，，因此成立.故選：D．【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件．解決此類問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．5.已知三條不同的直線，，和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的為（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.若，，則，或相交，或異面，A錯(cuò)誤；B.若，，則或，B錯(cuò)誤；C.若，，則或相交，C錯(cuò)誤；D.若，，則，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的推斷能力和空間想象能力.6.如圖，半徑為1的圓M與直線l相切于點(diǎn)A，圓M沿著直線l滾動(dòng).當(dāng)圓M滾動(dòng)到圓時(shí)，圓與直線相切于點(diǎn)B，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)度為則點(diǎn)到直線的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】線段AB長(zhǎng)度為即圓滾動(dòng)了圈，此時(shí)到達(dá)，，則點(diǎn)到直線的距離可求.【詳解】線段AB的長(zhǎng)度為設(shè)圓滾動(dòng)了圈，則即圓滾動(dòng)了圈，此時(shí)到達(dá)，，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓的漸開(kāi)線變式運(yùn)用.圓的漸開(kāi)線性質(zhì):(1)漸開(kāi)線的發(fā)生線滾過(guò)的距離等于其在基圓滾過(guò)的弧長(zhǎng).(2)漸開(kāi)線上任一點(diǎn)的法線恒與基圓相切.7.若向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得，即，再由，，可得，根據(jù)可得答案．【詳解】解：，，即，又，，，得，而，，故選：．8.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】【分析】首先畫(huà)出三棱錐的直觀圖，再根據(jù)垂直關(guān)系和長(zhǎng)度，分別計(jì)算棱長(zhǎng).【詳解】如圖，是三視圖表示的三棱錐，其中平面平面，，且，，，且，如圖，三棱錐的棱長(zhǎng)分別為，，，，,綜上比較可知最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為.故選：C9.函數(shù)的圖象大致為A.

B.

C.

D.

【答案】D【解析】∵∴∴，即為奇函數(shù)，故排除∵∴當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，故排除故選D點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的圖象的判斷，屬于基礎(chǔ)題；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)圖象，再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性及值域進(jìn)行排除.10.為了預(yù)防新型冠狀病毒的傳染，人員之間需要保持一米以上的安全距離．某公司會(huì)議室共有四行四列座椅，并且相鄰兩個(gè)座椅之間的距離超過(guò)一米，為了保證更加安全，公司規(guī)定在此會(huì)議室開(kāi)會(huì)時(shí)，每一行、每一列均不能有連續(xù)三人就座．例如下圖中第一列所示情況不滿足條件（其中“√”表示就座人員）．根據(jù)該公司要求，該會(huì)議室最多可容納的就座人數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】考慮每一列最多有3個(gè)人，故最多有12個(gè)人，排除12人的情況，將11人的情況作圖得到答案.【詳解】考慮每一列最多有3個(gè)人，故最多有12個(gè)人；若人數(shù)為12，則每一列的空位置必須在2行或者第3行，則會(huì)產(chǎn)生第1行和第4行有連續(xù)的3個(gè)人，不滿足；而11個(gè)人滿足，如下圖：故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理，意在考查學(xué)生的理解能力和推理能力.第二部分非選擇題二、填空題11.已知直線過(guò)點(diǎn)（4，－1），且與直線垂直，則直線的方程為_(kāi)_____．【答案】．【解析】【分析】由垂直得直線斜率，由點(diǎn)斜式得直線方程并整理．【詳解】由題意直線斜率為，方程為，即．故答案為：．12.若圓的半徑為1，其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】直接求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心的坐標(biāo)為，又圓的半徑為1，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)考查求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.13.已知，且．則______，______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式可求得的值，求出的值，利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】，因?yàn)椋?，則，，因此，.故答案為：；.14.已知矩形，，，點(diǎn)P滿足，則_________；_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得以及的值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，則點(diǎn)，，，因此，，.故答案為：；.15.某次高三英語(yǔ)聽(tīng)力考試中有5道選擇題，每題1分，每道題在，，三個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的．下表是甲、乙、丙三名同學(xué)每道題填涂的答案和這5道題的得分：12345得分甲4乙3丙2則甲同學(xué)答錯(cuò)的題目的題號(hào)是______；此正確的選項(xiàng)是______．【答案】(1).5(2).A【解析】【分析】根據(jù)圖表，依次分析甲錯(cuò)的習(xí)題，比較甲，乙，丙的選項(xiàng)，即可求得甲同學(xué)答錯(cuò)的題號(hào)以及正確答案．【詳解】由甲得4分，則正確4個(gè)，乙得3分，正確答案為3個(gè)，若甲第1題答錯(cuò)，則其他均答對(duì)，會(huì)導(dǎo)致乙135題錯(cuò)，這樣乙就沒(méi)有3分，故不可能；若甲第2題答錯(cuò)，則其他均答對(duì)，會(huì)導(dǎo)致乙235題錯(cuò)，這樣乙就沒(méi)有3分，故不可能；若甲第3題答錯(cuò)，則其他均答對(duì)，會(huì)導(dǎo)致丙至少對(duì)3個(gè)，故不符合題意；若甲第4題答錯(cuò)，則其他均答對(duì)，會(huì)導(dǎo)致乙3，4,5題錯(cuò)，這樣乙就沒(méi)有3分，故不可能；若甲第5題答錯(cuò)，則其他均答對(duì)，會(huì)導(dǎo)致丙135錯(cuò)，滿足條件，會(huì)導(dǎo)致乙3,5錯(cuò)，故成立，所以甲，乙，丙第5題都做，所以正確答案為A.故答案為：5；A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是從甲的5個(gè)選項(xiàng)中分析，對(duì)比，判斷甲做錯(cuò)的題號(hào).三、解答題16.在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列式可解得，，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有解得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）.因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.17.設(shè)函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．【答案】（1）最小正周期是，增區(qū)間是．（2）最大值是2，最小值是．【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式、二倍角公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）由（1）的單調(diào)性可得最值．【詳解】（1），所以最小正周期是，由得，∴單調(diào)增區(qū)間是．（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，又，，∴．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查兩角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)．此類問(wèn)題的解題方法是：利用二倍角公式降冪，利用誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦（余弦）公式展開(kāi)與合并，最終把函數(shù)化為形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解．18.如圖，在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，且．（1）求證：平面平面；（2）求證：；（3）求鈍二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）由得線面平行，再得面面平行；（2）證明平面后可得線線垂直；（3）取中點(diǎn)，證明是二面角的平面角，然后在三角形中求解．【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，由，平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面；?）因?yàn)槠矫?，，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以；?）取中點(diǎn)，連接，由上面證明可得，又，所以，所以是二面角的平面角，由平面，平面，得，，，，又，中，．【點(diǎn)睛】本題考查證明面面平行，線線垂直，求二面角，掌握線面間平行垂直的判定、性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．證明時(shí)定理的條件需要一一列舉出來(lái)，缺少一個(gè)證明過(guò)程都不完整．而求二面角本題使用的是定義法，即作出二面角的平面角并證明，然后解三角形得結(jié)論．19.在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，______．求和的面積．從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）選①，，選②，【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化邊為角后，利用三角函數(shù)恒等變換公式變形后可求得．（Ⅱ）選①，由余弦定理求得，再由面積公式得三角形面積；選②，由內(nèi)角和公式得，求出后由正弦定理求得，再由面積公式得三角形面積．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，由正弦定理得，三角形中，所以，，則，即，因?yàn)?，則，所以，，所以；（Ⅱ）選①，由余弦定理得，得，，解得（舍去），．選②，則，，由得，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，解題時(shí)注意三角形的條件，確定選用正弦定理還是余弦定理求解，在已知兩邊及一邊對(duì)角時(shí)先由正弦定理求角，也可由余弦定理求得第三邊．20.已知函數(shù).（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，直接寫(xiě)出的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.【答案】（1）0；（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）1.【解析】【分析】（1）令，根據(jù)函數(shù)奇函數(shù)，由求解.（2）求導(dǎo)，分，和三種情況，由求解.（3）將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立求解.【詳解】（1）已知函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以，解得.（2）.當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得：；當(dāng)時(shí)，由得：.綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.所以在區(qū)間上恒成立.因?yàn)?，所?所以.所以若在區(qū)間上恒成立，的最大值為1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；21.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.【答案】（1）（2）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，詳見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果；（2）根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可得在和上各有唯一一個(gè)零點(diǎn)，由此可得答案；（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程為，根據(jù)是的一個(gè)零點(diǎn)，可證兩條