北京市第四十三中學屆高三數(shù)學12月月考試題含解析

PAGE18-北京市第四十三中學2021屆高三數(shù)學12月月考試題（含解析）第一部分選擇題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求兩個集合，再求.【詳解】，解得：或，即或，，所以.故選：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】分析：將復(fù)數(shù)化為最簡形式，求其共軛復(fù)數(shù)，找到共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對應(yīng)點，判斷其所在象限.詳解：的共軛復(fù)數(shù)為對應(yīng)點為，在第四象限，故選D.點睛：此題考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于送分題，解題時注意審清題意，切勿不可因簡單導致馬虎丟分.3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和基本初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項進行判斷即可．【詳解】y為奇函數(shù)，不符合題意，y＝為偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞增，符合題意，定義域為（0，+∞），是非奇非偶函數(shù)，不符合題意，是偶函數(shù)，且x＞0時，y＝1-x單調(diào)遞減，不符合題意．故選：B．4.已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則下列式子中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由數(shù)軸知，不妨取檢驗選項得解.【詳解】由數(shù)軸知，不妨取，對于A，，不成立.對于B，，不成立.對于C，，不成立.對于D，，因此成立.故選：D．【點睛】利用不等式性質(zhì)比較大小．要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法．5.已知三條不同的直線，，和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的為（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.若，，則，或相交，或異面，A錯誤；B.若，，則或，B錯誤；C.若，，則或相交，C錯誤；D.若，，則，D正確.故選：D.【點睛】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學生的推斷能力和空間想象能力.6.如圖，半徑為1的圓M與直線l相切于點A，圓M沿著直線l滾動.當圓M滾動到圓時，圓與直線相切于點B，點A運動到點，線段AB的長度為則點到直線的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】線段AB長度為即圓滾動了圈，此時到達，，則點到直線的距離可求.【詳解】線段AB的長度為設(shè)圓滾動了圈，則即圓滾動了圈，此時到達，，則點到直線的距離為.故選：C．【點睛】本題考查圓的漸開線變式運用.圓的漸開線性質(zhì):(1)漸開線的發(fā)生線滾過的距離等于其在基圓滾過的弧長.(2)漸開線上任一點的法線恒與基圓相切.7.若向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得，即，再由，，可得，根據(jù)可得答案．【詳解】解：，，即，又，，，得，而，，故選：．8.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長的棱長為（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】【分析】首先畫出三棱錐的直觀圖，再根據(jù)垂直關(guān)系和長度，分別計算棱長.【詳解】如圖，是三視圖表示的三棱錐，其中平面平面，，且，，，且，如圖，三棱錐的棱長分別為，，，，,綜上比較可知最長的棱長為.故選：C9.函數(shù)的圖象大致為A.

B.

C.

D.

【答案】D【解析】∵∴∴，即為奇函數(shù)，故排除∵∴當時，，即在上為減函數(shù)，故排除故選D點睛：本題考查了函數(shù)的圖象的判斷，屬于基礎(chǔ)題；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)圖象，再通過函數(shù)的單調(diào)性及值域進行排除.10.為了預(yù)防新型冠狀病毒的傳染，人員之間需要保持一米以上的安全距離．某公司會議室共有四行四列座椅，并且相鄰兩個座椅之間的距離超過一米，為了保證更加安全，公司規(guī)定在此會議室開會時，每一行、每一列均不能有連續(xù)三人就座．例如下圖中第一列所示情況不滿足條件（其中“√”表示就座人員）．根據(jù)該公司要求，該會議室最多可容納的就座人數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】考慮每一列最多有3個人，故最多有12個人，排除12人的情況，將11人的情況作圖得到答案.【詳解】考慮每一列最多有3個人，故最多有12個人；若人數(shù)為12，則每一列的空位置必須在2行或者第3行，則會產(chǎn)生第1行和第4行有連續(xù)的3個人，不滿足；而11個人滿足，如下圖：故選：C.【點睛】本題考查了邏輯推理，意在考查學生的理解能力和推理能力.第二部分非選擇題二、填空題11.已知直線過點（4，－1），且與直線垂直，則直線的方程為______．【答案】．【解析】【分析】由垂直得直線斜率，由點斜式得直線方程并整理．【詳解】由題意直線斜率為，方程為，即．故答案為：．12.若圓的半徑為1，其圓心與點關(guān)于直線對稱，則圓的標準方程為__________.【答案】【解析】【分析】直接求出點關(guān)于直線的對稱點，即可求出圓的標準方程.【詳解】因為圓心與點關(guān)于直線對稱，所以圓心的坐標為，又圓的半徑為1，所以圓的標準方程為.故答案為：【點睛】本題主要考查圓的標準方程，同時考查求點關(guān)于直線的對稱點，屬于基礎(chǔ)題.13.已知，且．則______，______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用誘導公式和二倍角的余弦公式可求得的值，求出的值，利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】，因為，且，則，，因此，.故答案為：；.14.已知矩形，，，點P滿足，則_________；_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得以及的值.【詳解】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，，則點，，，因此，，.故答案為：；.15.某次高三英語聽力考試中有5道選擇題，每題1分，每道題在，，三個選項中只有一個是正確的．下表是甲、乙、丙三名同學每道題填涂的答案和這5道題的得分：12345得分甲4乙3丙2則甲同學答錯的題目的題號是______；此正確的選項是______．【答案】(1).5(2).A【解析】【分析】根據(jù)圖表，依次分析甲錯的習題，比較甲，乙，丙的選項，即可求得甲同學答錯的題號以及正確答案．【詳解】由甲得4分，則正確4個，乙得3分，正確答案為3個，若甲第1題答錯，則其他均答對，會導致乙135題錯，這樣乙就沒有3分，故不可能；若甲第2題答錯，則其他均答對，會導致乙235題錯，這樣乙就沒有3分，故不可能；若甲第3題答錯，則其他均答對，會導致丙至少對3個，故不符合題意；若甲第4題答錯，則其他均答對，會導致乙3，4,5題錯，這樣乙就沒有3分，故不可能；若甲第5題答錯，則其他均答對，會導致丙135錯，滿足條件，會導致乙3,5錯，故成立，所以甲，乙，丙第5題都做，所以正確答案為A.故答案為：5；A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是從甲的5個選項中分析，對比，判斷甲做錯的題號.三、解答題16.在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，其中，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式列式可解得，，從而可得數(shù)列的通項公式；（2）求出，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有解得，.所以數(shù)列的通項公式為.（2）.因為數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差、等比數(shù)列的前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.17.設(shè)函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．【答案】（1）最小正周期是，增區(qū)間是．（2）最大值是2，最小值是．【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式、二倍角公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）由（1）的單調(diào)性可得最值．【詳解】（1），所以最小正周期是，由得，∴單調(diào)增區(qū)間是．（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，又，，∴．【點睛】方法點睛：本題考查兩角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)．此類問題的解題方法是：利用二倍角公式降冪，利用誘導公式、兩角和與差的正弦（余弦）公式展開與合并，最終把函數(shù)化為形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解．18.如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正方形，平面，，且．（1）求證：平面平面；（2）求證：；（3）求鈍二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）由得線面平行，再得面面平行；（2）證明平面后可得線線垂直；（3）取中點，證明是二面角的平面角，然后在三角形中求解．【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面，由，平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面；（2）因為平面，，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以；（3）取中點，連接，由上面證明可得，又，所以，所以是二面角的平面角，由平面，平面，得，，，，又，中，．【點睛】本題考查證明面面平行，線線垂直，求二面角，掌握線面間平行垂直的判定、性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．證明時定理的條件需要一一列舉出來，缺少一個證明過程都不完整．而求二面角本題使用的是定義法，即作出二面角的平面角并證明，然后解三角形得結(jié)論．19.在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，______．求和的面積．從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）選①，，選②，【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化邊為角后，利用三角函數(shù)恒等變換公式變形后可求得．（Ⅱ）選①，由余弦定理求得，再由面積公式得三角形面積；選②，由內(nèi)角和公式得，求出后由正弦定理求得，再由面積公式得三角形面積．【詳解】（Ⅰ）因為，由正弦定理得，三角形中，所以，，則，即，因為，則，所以，，所以；（Ⅱ）選①，由余弦定理得，得，，解得（舍去），．選②，則，，由得，．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，解題時注意三角形的條件，確定選用正弦定理還是余弦定理求解，在已知兩邊及一邊對角時先由正弦定理求角，也可由余弦定理求得第三邊．20.已知函數(shù).（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，直接寫出的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.【答案】（1）0；（2）當時，無遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）1.【解析】【分析】（1）令，根據(jù)函數(shù)奇函數(shù)，由求解.（2）求導，分，和三種情況，由求解.（3）將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立求解.【詳解】（1）已知函數(shù)，所以，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以，解得.（2）.當時，，在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，由得：；當時，由得：.綜上所述，當時，無遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）因為在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.所以在區(qū)間上恒成立.因為，所以.所以.所以若在區(qū)間上恒成立，的最大值為1.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；21.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）判斷函數(shù)的零點的個數(shù)，并說明理由；（3）設(shè)是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線.【答案】（1）（2）有且僅有兩個零點，詳見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果；（2）根據(jù)單調(diào)性和零點存在性定理可得在和上各有唯一一個零點，由此可得答案；（3）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線為，設(shè)曲線在點處的切線斜率為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程為，根據(jù)是的一個零點，可證兩條