2020年福州市高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測(文數(shù))及答案

準(zhǔn)考證號姓名.（在此卷上答題無效）2020年福州市高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文科）試卷（完卷時間:120分鐘；滿分:150分）（在此卷上答題無效）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至5頁．注意事項(xiàng)：答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名．考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．第Ⅱ卷用毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答．在試題卷上作答，答案無效．考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．設(shè)全集集合則A． B． C． D．已知純虛數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)等于A．B．C． D．曲線在處的切線方程為A． B． C． D．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的

A．1B．2 C．3D．4已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的公差為

A．B．C．D．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在某次軍訓(xùn)射擊測試中，各射擊10次．四人測試成績對應(yīng)的條形圖如下：以下關(guān)于這四名同學(xué)射擊成績的數(shù)字特征判斷不正確的是

A．平均數(shù)相同B．中位數(shù)相同 C．眾數(shù)不完全相同D．方差最大的是丁為了得到曲線，只需把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移A．個單位長度 B．個單位長度 C．個單位長度 D．個單位長度已知平面兩兩垂直，直線滿足：，則直線可能滿足以下關(guān)系：①兩兩相交；②兩兩垂直；③兩兩平行；④兩兩異面．其中所有正確結(jié)論的編號是

A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④已知橢圓的右焦點(diǎn)為，以上點(diǎn)為圓心的圓與軸相切于點(diǎn)，并與軸交于，兩點(diǎn)．若，則的焦距為A．B． C． D．已知定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，.若時，的最大值為，則

A．B． C．D．2019年世界讀書日，陳老師給全班同學(xué)開了一份書單，推薦同學(xué)們閱讀，并在2020年世界讀書日時交流讀書心得．經(jīng)了解，甲、乙兩同學(xué)閱讀書單中的書本有如下信息：①甲同學(xué)還剩的書本未閱讀；②乙同學(xué)還剩5本未閱讀；③有的書本甲、乙兩同學(xué)都沒閱讀．則甲、乙兩同學(xué)已閱讀的相同的書本有A．2本 B．4本 C．6本 D．8本若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當(dāng)該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為A. B. C. D.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：用毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答．在試題卷上作答，答案無效．本卷包括必考題和選考題兩部分．第(13)～(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答．第(22)、(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.已知向量，，若夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為．已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則的離心率為．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以拆分為兩個素?cái)?shù)的和”，如，30有3種拆分方式；，6只有1種拆分方式.現(xiàn)從大于4且小于16的偶數(shù)中隨機(jī)任取一個，取出的數(shù)有不止一種上述拆分方式的概率為．“熔噴布”是口罩生產(chǎn)的重要原材料，1噸熔噴布大約可供生產(chǎn)100萬只口罩．2020年，制造口罩的企業(yè)甲的熔噴布1月份的需求量為100噸，并且從2月份起，每月熔噴布的需求量均比上個月增加10%．企業(yè)乙是企業(yè)甲熔噴布的唯一供應(yīng)商，企業(yè)乙2020年1月份的產(chǎn)能為100噸，為滿足市場需求，從2月份到月份，每個月比上個月增加一條月產(chǎn)量為50噸的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，從月份到9月份不再增加新的生產(chǎn)線．計(jì)劃截止到9月份，企業(yè)乙熔噴布的總產(chǎn)量除供應(yīng)企業(yè)甲的需求外，還剩余不少于990噸的熔噴布可供給其它廠商，則企業(yè)乙至少要增加條熔噴布生產(chǎn)線．（參考數(shù)據(jù)：，）三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（本小題滿分12分）的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，是上的點(diǎn)，平分，求的面積．（本小題滿分12分）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別稱為藥，藥）的療效，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)地選取位患者服用藥，位患者服用藥，觀察這位患者的睡眠改善情況．這些患者服用一段時間后，根據(jù)患者的日平均增加睡眠時間（單位：），以整數(shù)部分當(dāng)莖，小數(shù)部分當(dāng)葉，繪制了如下莖葉圖：藥藥873598776543320052100.1.2.3.45789122345678916723（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種藥對增加睡眠時間更有效？并說明理由；（2）求這名患者日平均增加睡眠時間的中位數(shù)，并將日平均增加睡眠時間超過和不超過的患者人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過服用藥服用藥（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為兩種藥的療效有差異？附：.0.010.0050.0016.6357.87910.828（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，平面平面，，，，，．（1）求多面體的體積；（2）已知是棱的中點(diǎn)，在棱是否存在點(diǎn)使得，若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.（本小題滿分12分）已知拋物線，直線與交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求直線斜率的最大值；（2）若點(diǎn)在直線上，且為等邊三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo).（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．請考生在第（22）、（23）兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做第一個題目計(jì)分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．（本小題滿分10分）選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時，的軌跡為曲線．（1）求的普通方程；（2）設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，求的最大值．（本小題滿分10分）選修：不等式選講已知，．（1）當(dāng)時，求證：；（2）求的最小值．2020年福州市高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評分細(xì)則評分說明：1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則。2．對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分。3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)。選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分60分．1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D7．A 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分20分．13． 14． 15． 16．5三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．【命題意圖】本小題以解三角形為載體，考查正弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性．【解析】解法一：（1）因?yàn)榍遥裕?1分根據(jù)正弦定理，得， 3分因?yàn)椋?，所以?4分因?yàn)?，所以?5分（2）由（1）知，，因?yàn)?，，所以的面積， 7分因?yàn)槭巧系狞c(diǎn)，平分，所以， 9分因?yàn)椋?10分所以． 12分解法二：（1）根據(jù)正弦定理，得，及得，所以， 2分又因?yàn)?，所以?3分所以， 4分因?yàn)?，所以?5分（2）由（1）知，，因?yàn)?，，所以的面積， 7分因?yàn)槭巧系狞c(diǎn)，平分，所以的面積， 8分所以的面積， 9分因?yàn)椋?10分所以，所以． 11分所以． 12分18．【命題意圖】本小題以“治療失眠癥的藥”為載體設(shè)計(jì)試題，主要考查莖葉圖、樣本的數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與應(yīng)用性．【解析】(1)藥的療效更好． 1分（以下理由任說一種都可得3分）①從以上莖葉圖可以看出，藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖和上，而藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖和上，由此可看出藥的療效更好．②從莖葉圖的分布情況可以看出，服用藥的患者日平均增加睡眠時間的平均數(shù)大于，而服用藥的患者日平均增加睡眠時間的平均數(shù)小于，因此可知藥的療效更好．③由莖葉圖可知，服用藥的患者日平均增加睡眠時間的中位數(shù)是，而服用藥的患者日平均增加睡眠時間的中位數(shù)是，因此藥的療效更好．④由莖葉圖可知，服用藥的患者日平均增加睡眠時間分布在莖上的最多，關(guān)于莖大致呈對稱分布；而服用藥的患者日平均增加睡眠時間分布在莖上的最多，關(guān)于莖大致呈對稱分布；又患者在服用兩種藥后日平均增加睡眠時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為服用藥的患者日平均增加睡眠時間比服用藥的患者日平均增加睡眠時間更多，因此藥的療效更好． 4分（2）由莖葉圖可知，組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為， 6分因此列聯(lián)表如下：超過不超過服用藥服用藥 8分（3）由于， 11分所以有的把握認(rèn)為兩種藥的療效有差異． 12分19．【命題意圖】本小題以四棱錐為載體，考查線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)、空間幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性．【解析】解法一：（1）如圖，作交的延長線于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，所以平面?2分所以為點(diǎn)到平面的距離． 3分因?yàn)椋?，所以?4分又， 5分所以． 6分（2）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得．連接，取的中點(diǎn)，在△中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以． 8分因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，所以與重合．因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，又，所以是與的交點(diǎn)，即就是，而與相交， 10分這與相矛盾， 11分所以假設(shè)不成立，故棱上不存在點(diǎn)使得． 12分解法二：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面?2分依題意，，所以． 3分在梯形中，由知， 4分所以， 5分所以． 6分（2）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得，顯然與點(diǎn)不同，所以四點(diǎn)共面，記該平面為，………………8分所以，，，又，，所以，，所以共面于， 10分這與為四棱錐相矛盾， 11分所以假設(shè)不成立，故棱上不存在點(diǎn)使得． 12分20．【命題意圖】本小題以拋物線為載體考查拋物線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、直觀想象能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性．【解析】解法一：（1）設(shè)，由，消去得，， 1分且． 2分所以因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以的坐標(biāo)為，即， 3分又因?yàn)?，所以?5分（當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立．）所以直線的斜率的最大值為 6分（2）由（1）知，=， 8分由得， 9分因?yàn)闉榈冗吶切危裕?10分所以，所以，所以，解得因?yàn)樗裕?11分則，直線的方程為，即，所以時，，所以所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為． 12分解法二：（1）設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且直線，所以 1分由得所以所以即． 2分所以即， 3分又因?yàn)椋裕?5分（當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立．）所以直線的斜率的最大值為 6分（2）由，消去得，，且． 7分=， 8分由（1）知，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為：．令，得線段的垂直平分線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)為 9分因?yàn)闉榈冗吶切危裕?10分所以，所以，所以，解得因?yàn)樗裕?11分則，直線的方程為，即，所以時，，所以所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為． 12分21．【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、以及不等式恒成立基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、創(chuàng)新意識等，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性．【解析】（1）因?yàn)椋裕?1分令，，①當(dāng)，即時，，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為． 2分②當(dāng)，即或時，若，則，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為． 3分若，令，得．由，即得或；由，即得．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． 5分綜上，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為． 6分(2)由（1）得，若有兩個極值點(diǎn)，則是方程的兩個不等正實(shí)根，由（1）知．則，則， 8分要使恒成立，只需恒成立．因?yàn)?10分令，則，當(dāng)時，，為減函數(shù)，所以． 11分由題意，要使恒成立，只需滿足．所以實(shí)數(shù)的取值范圍． 12分22．【命題意圖】本小題以曲線的參數(shù)方程為載體，考查參數(shù)方程和普通方程的互化、橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，圓與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性．【解析】解法一：（1）消去參數(shù)得的普通方程為， 1分消去參數(shù)得的普通方程為． 2分聯(lián)立消去得， 4分所以的普通方程為（）． 5分（2）依題意，圓心的坐標(biāo)為，半徑． 6分由（1）可知，的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）， 7分設(shè)（），則， 8分當(dāng)時，取得最大值， 9分又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在線段上時，等號成立．所以． 10分解法二：（