函數(shù)思想在等差數(shù)列中的應用

-.z函數(shù)思想在等差數(shù)列中的應用教學目標1．對等差數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式的認識進一步深化，提高學生解決問題的能力．2．幫助引導學生用函數(shù)的觀點對待數(shù)列，借助函數(shù)的研究方法研究數(shù)列．教學重點和難點用函數(shù)的思想研究等差數(shù)列．教學過程設(shè)計〔一〕復習引入師：我們已學習了數(shù)列的根本知識，等差數(shù)列的定義、通項公式與前n項和的公式，今天，我們一起應用這些知識來解決一些問題．請看題目．練習：｛an｝是等差數(shù)列，其中a1=31，公差d=-8．求數(shù)列前n項和的最大值，并求出對應n的取值．師：拿到這個題目，大家有什么想法.生：我一下子得不出Sn的最大值．不過……師：那你能得出些什么.生：我可以得出a2=a1+d=31-8=23，a3=a1+2d=31-8×2=15，a4=a1+3d=31-8×3=7，a5=a1+4d=31-8×4=-1，a6=a1+5d=31-8×5=-9，……〔學生口述，教師板書〕師：既然得出了這些，不就可以得到對應的Sn的值了嗎.生：可以．S1=31，S2=S1+a2=54，S3=S2+a3=69，S4=S3+S4=76，S5=S4+a5=75，S6=S5+a6=66，……〔教師板書〕師：從這之中，你又能發(fā)現(xiàn)什么呢.生：可以看出當n=4時，Sn取得取大值，最大值為S4=76．在前4項中，Sn越來越大，從第4項開場，Sn又越來越?。畮煟簭那皫醉椫?，確實可以看出S4最大，可是，當n再大一些的時候，Sn會不會又變大呢.生：不會的．由于a5＜0，d＜0，則ak＜0〔k≥5，k∈N+〕，進而Sk＜S4〔k≥5，k∈N+〕．因此當n=4時，Sn有最大值，S4=31+23+15+7=76．〔學生口述，教師板書〕師：他根據(jù)數(shù)列前n項和的定義，解決了這道題．但是把數(shù)列各項分別求出來，未免有些麻煩．請同學們思考他的解題過程是否存在規(guī)律.我們能否尋求到更好的解題方法.〔二〕新課師：在剛剛的練習中，我們求出了一個數(shù)列前n項和的最大值．現(xiàn)在大家想這樣一個問題，是不是所有的等差數(shù)列都有前n項和的最大值呢.生：不是的，比方自然數(shù)組成的等差數(shù)列1，2，3，4，…，n，…，就沒有最大值．師：那到底什么樣的等差數(shù)列前n項和有最大值呢.生：首項大于0，公差小于0的等差數(shù)列就有前n項和的最大值，即an=a1+〔n-1〕d中，a1＞0，d＜0的時候.師：這時的數(shù)列有什么特點.生：數(shù)列中的各項分布在一條橫截距為正，斜率為負的直線上，也就是說可以把等差數(shù)列當作一個一次函數(shù)來對待．師：同學們已經(jīng)知道，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它是定義在自然數(shù)集〔或它的子集｛1，2，3，…，n｝〕上的函數(shù)．當自變量從小到大依次取值時，對應的一列函數(shù)值就是數(shù)列．則等差數(shù)列會是什么樣的函數(shù).這個問題我們又該如何下手研究呢.生甲：首先研究等差數(shù)列的通項公式．因為它表達了數(shù)列的項與項數(shù)的對應關(guān)系．在等差數(shù)列｛an｝中，公差為d〔d是常數(shù)〕．當d≠0時，其通項公式an=a1+〔n-1〕d=dn+〔a1-d〕．f〔n〕=dn+〔a1-d〕，是關(guān)于自變量n的一次函數(shù)．反之，假設(shè)an可寫成an=an+b的形式，則an+1-an=[a〔n+1〕+b]-〔an+b〕=a，即｛an｝是以a為公差的等差數(shù)列．所以，通項an可以寫在關(guān)于n的一次函數(shù)形式是｛an｝成等差數(shù)列的充要條件．師：想得好，推得也好．則，等差數(shù)列的通項an一定是項數(shù)n〔n∈N+〕的一次函數(shù)嗎.生乙：不一定．當d=0時，an=a1，而一次函數(shù)要求一次項的系數(shù)一定不為0，所以當d=0時，an不是關(guān)于n的一次函數(shù)．只有在d≠0時，才可以進展剛剛的研究．但不管公差d是否等于0，我們都可以認為｛an｝分布在一條直線上，d相當于該直線的斜率．師：完全正確．這樣就得到d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，我們實際是在用函數(shù)思想來研究數(shù)列．這正是我們今天要研究的課題．〔板書課題〕比方，我們可以研究數(shù)列的單調(diào)性、前n項和最大〔小〕值等問題．首先來考慮，數(shù)列的大小變化受誰影響.生：等差數(shù)列｛an｝中．當d＞0時，數(shù)列｛an｝各項一個比一個大；當d＜0時，數(shù)列｛an〕各項一個比一個?。划攄=0時，數(shù)列｛an｝為常數(shù)列．師：請試著分析等差數(shù)列｛an｝的前n項和的最值問題．生：對于首項為a1，公差為d的等差數(shù)列｛an｝，其各項可表示為a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，…，a1+〔n-1〕d，…．研究前n項和Sn的最值首先應對a1，d的符號進展分類．〔1〕當a1＞0時，①假設(shè)d＞0，則數(shù)列｛an｝是一個各項均為正數(shù)且遞增的數(shù)列，隨項數(shù)n的增大，前n項和Sn的值也不斷增大，所以此時，Sn沒有最大值，當n=1時，Sn有最小值S1=a1；②假設(shè)d＜0，則數(shù)列｛an｝是一個首項為正數(shù)的遞減數(shù)列，且從*一項開場，其后面的各項均為負數(shù)，所以數(shù)列的所有正項的和最大．因所以Sn沒有最小值．師：不錯．這正是我們課前練習所涉及的情況，但是，這里有一點值得注意，如果恰有一項為0呢.比方把我們課前練習改為a1=32，其余不變，則a4=8，a5=0，a6=-8，Sn會受什么影響.請完善你的結(jié)論．生：此時S4=S5=80均為最大值．剛剛的結(jié)論可改良為：當師：這樣結(jié)論才比擬完善．請接著分析首項小于0的情況．生：〔2〕當a1＜0時，①假設(shè)d＞0，則數(shù)列｛an｝是一個首項為負數(shù)的遞增數(shù)列．數(shù)列的小值．由于an隨n的不斷增大而增大，所以Sn沒有最大值；②假設(shè)d＜0，則數(shù)列｛an｝是一個各項均為負數(shù)的遞減數(shù)列，隨n的增大，前n項和Sn不斷減?。許n沒有最小值，S1=a1是它的最大值．師：有了以上的結(jié)論，我們課前練習的改良方法也就有了吧．請大家按照a1=32，d=-8將此題重新做一遍．〔學生板書〕生：解法如下：由于a1=32＞0，d=-8＜0，則｛an｝是一個首項為正數(shù)的遞減數(shù)列．因a1=32，d=-8，則an=〔n-1〕d+a1=32+〔-8〕〔n-1〕=40-8n．時，Sn有最大值．因此當n=4或n=5時，Sn有最大值．S4=S5=80是最大值．師：在剛剛的討論中，我們抓住了等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的關(guān)系，運用一次函數(shù)的性質(zhì)解決了等差數(shù)列前n項和的最值問題．同學們可以從中體會函數(shù)思想在解決數(shù)列問題時所起的作用．下面我們來看例1．例1一個首項為正數(shù)的等差數(shù)列｛an｝，滿足S5=S11，請問：這個數(shù)列的前多少項和為最大.生甲：由等差數(shù)列的前n項和公式，S5和S11都可以用a1和d表示，從而可以得到a1與d的一個關(guān)系式．由剛剛得到的結(jié)論，就可求出Sn何時最大．解法如下：解法1：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d．因S5=S11，則S11-S5=a6+a7+a8+a9+a10+a11=0，即〔a1+5d〕+〔a1+6d〕又a1＞0，則d＜0，所以｛an｝是一個首項為正數(shù)的遞減數(shù)列．因此的前8項和最大．師：學生甲的解法直接使用了我們剛剛的結(jié)論，先求出a1與d的關(guān)系，再利用兩個不等式擠出n的取值．大家還有沒有別的解法.生乙：題目給出了S5與S11的關(guān)系，我就直接運用等差數(shù)列前n項關(guān)系，又可從中發(fā)現(xiàn)Sn的取值只隨著n的不同取值而變化，而與其他因素無關(guān)．這樣，就可以把Sn看作是關(guān)于n的函數(shù)，進而可求得其取得最值時n的取值．解法如下：〔學生口述，教師板書〕解法2：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d．列的前8項和最大．師：可以看出，學生乙是用二次函數(shù)求最值的方法來研究數(shù)列的．這種想法很好，但理論依據(jù)并不充足．我們有必要用函數(shù)的觀點對等差數(shù)列的前n項和Sn進展再認識．生：等差數(shù)列｛an｝中，首項為a1，公差為d，當d≠0時，Sn可以表示成關(guān)于n的二次函數(shù)的形式，且常數(shù)項為0．反之，假設(shè)一個數(shù)列前n項和Sn=an2+bn，〔其中a，b均為常數(shù)〕，則Sn-1=a〔n-1〕2+b〔n-1〕，可求得an=Sn-Sn-1=2an+b-a，得an-1=2a〔n-1〕+b-a，從而得出an-an-1=2a〔n≥2，n∈N+〕，又因為a1=S1=a+b，所以｛an｝是以a+b為首項，2a為公差的等差數(shù)列．所以，｛an｝成等差數(shù)列是其前n項和Sn可以寫成關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)形式的充要條件．這樣就可以把對Sn的討論轉(zhuǎn)化為對關(guān)于n的二次函數(shù)的討論了．當d=0時，Sn=na1，當n=1時，Sn有最值．師：解法2確實可行．這樣，我們在解決關(guān)于等差數(shù)列前n項和的問題時就有了兩種不同的解法．比擬這兩種解法，我們可以發(fā)現(xiàn)解法1將Sn的最值問題轉(zhuǎn)化成了an的符號問題，雖然要求對數(shù)列的認識要比擬深刻，但是實際操作卻還是較容易的．因為研究一次函數(shù)畢竟要比研究二次函數(shù)簡單．但是例1中所給的條件是S5=S11，所求的是Sn，應該說，直接用Sn與n的關(guān)系解題是有優(yōu)越性的．但既然Sn可看成是關(guān)于n的二次函數(shù)，我們能否用二次函數(shù)的性質(zhì)將解法進一步簡化呢.生：能，因為Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，從二次函數(shù)的對稱性出發(fā)就師：這種想法輕松自然．它正是抓住了二次函數(shù)的性質(zhì)：在對稱軸上到達最值．可是數(shù)列不同于函數(shù)，其項數(shù)n是定義在自然數(shù)集〔或其子集｛1，2，…，n｝〕上的，所以有兩個問題要加以考慮．首先，假設(shè)對稱軸在直線n=1的左側(cè)，應如何處理.生：如果Sn圖象的對稱軸在直線n=1的左側(cè)，則Sn的值一定是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的，這樣，當n=1時，Sn就取得它的最大〔小〕值，為a1．師：很好．還有第二個問題，假設(shè)對稱軸不是整數(shù)呢.生：取離對稱軸最近的整數(shù)．師：如果題目改為：S5=S10，n該如何取值呢.n=7或8時，Sn最?。畮煟猴@然，這種利用函數(shù)性質(zhì)的做法最簡單，應體會函數(shù)思想在其中的作用．下面我們看例2．例2

數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，且a3+a9=50，a5a7=616，試求數(shù)列｛an｝前n項和Sn的最大值，并指出對應n的取值．請同學們用兩種方法求解，邊解邊比擬兩種方法的優(yōu)劣．生：要求出Sn的最大值．應首先求出a1和d，這需要有兩個關(guān)系式，根據(jù)題目所給的兩個條件，可以很容易把它們求出．進而，就可得到Sn的最大值．解法如下：〔學生甲板書解題過程〕解法1：設(shè)等差數(shù)列公差為d，因a3+a9=50，a5a7=616，則將〔1〕式兩邊平方后，再減去〔2〕式．得d2=9，即d=3或-3．所以當a1=10，d=3時，又a1＞0，d＞0，則｛an｝是一個首項為正數(shù)，公差大于0的遞增數(shù)列，故｛an｝沒有Sn最大值．當a1=40，d=-3時，a1＞0，d＜0，則｛an｝是一個首項為正因此當n=14時，Sn有最大值287．第二種解法用二次函數(shù)求最值的方法求出Sn的最大值的．解法如下：〔請學生乙和學生甲同時板書〕解法2：設(shè)等差數(shù)列｛an｝公差為d．又n是自然數(shù)，距13.8最近的自然數(shù)為14，則當n=14時，Sn有師：總體上看，這兩種方法都是運用函數(shù)思想來研究數(shù)列，具體到*一個問題，還要具體分析，選用恰當?shù)慕夥ǎ痛祟}而言，解法1更簡捷．〔三〕課堂練習師：在解題時，請同學們選擇最簡捷的方法．1．等差數(shù)列｛an｝中，a2+a3=-38，a12=0，求Sn最小值，以及相對應n的取值．〔巡視學生解題狀況，請一位同學板書解題過程〕所以｛an｝為首項為負數(shù)的遞增數(shù)列．故當n=11或12時，Sn有最小值，最小值為S11=S12=-132．2．等差數(shù)列｛an｝中，a1＜0，前n項和為Sn，且S7＞0，S6＜0，請問：n為何值時，Sn最小.〔請同學討論解法，不寫出解題過程〕生：此題從圖象入手是最簡捷的．從題目來看：等差數(shù)列｛an｝中，a1＜0，S7＞0，S6＜0，所以可得出d＞0，Sn關(guān)于n的圖象就應是過原點的一條開口向上的的拋物線上的點，又由S6＜0，S7＞0可知：拋物線與橫軸的另一交點在〔6，7〕內(nèi)．根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，拋物線的對稱軸*=m中的m∈〔3，3.5〕，〔如圖6-1〕．離m最近的自然數(shù)是3．所以，當n=3時，Sn最?。畮煟河煤瘮?shù)思想解數(shù)列問題時，不僅要用到函數(shù)的形式，更重要的是運用函數(shù)的思想方法．在函數(shù)的研究中，數(shù)形結(jié)合的作用舉足輕重．從第二題中，同學們可體會其作用．〔四〕布置作業(yè)1．：數(shù)列｛an｝的通項公式為an=3n-26〔n∈N+〕．求：n為何值時，數(shù)列前n項和Sn最小，并求出這個最小值．〔n=8時，Sn最小，S8=-100〕2．：數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，公差為d，d＜0，且|a3|=|a7|，設(shè)數(shù)列前n項和為Sn·請問：n為何值時Sn最大.〔提示：先由條件判斷出值為0的一項，再用一次函數(shù)方法求解．注意公差d的符號對數(shù)列｛an｝各項大小關(guān)系的影響〕課堂教學設(shè)計說明函數(shù)思想是中學階段學生所接觸到的最重要的數(shù)學思想方法之一．數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，更是與函數(shù)思想密不可分，而現(xiàn)行教材中對于函數(shù)思想在數(shù)列中的應用涉及較少，但這一點對于加深學生對數(shù)列的認識，提高學生分析問題、解決問題的能力是十分重要的．所以，我們選擇了?函數(shù)思想在等差數(shù)列中的應用?做為課題，進展專題研究．由于數(shù)列可以看作是一種函數(shù)這種天然的聯(lián)系并不是所有學生都很熟悉的，于是我們設(shè)計了一道課前練習題，引導學生從最根本最原始的角度認識數(shù)列，讓學生自己發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的通項an與一次函數(shù)之間的聯(lián)系．因此，課前練習題難度很低，這更有利于學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從認識上得到提高．對于能力較強的學生，也可以調(diào)整難度，將問題變得復雜一些．這一節(jié)課中，主要是在函數(shù)思想的指導下研究等差數(shù)列前n和的最值問題，因為在解決這類題目的過程中集中表達了函數(shù)思想的重要作用．在解決這些問題時主要有兩種方法：一是用一次函數(shù)求解，即利用an的單調(diào)性；二是用二次函數(shù)求解，即利用Sn關(guān)于n