數(shù)列-第一輪復(fù)習(xí)

第一輪復(fù)習(xí)數(shù)列【考向指引】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，故而在高考中占有重要地位。從近幾年的高考試題來看，數(shù)列部分的復(fù)習(xí)備課應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：數(shù)列中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題目，應(yīng)切實(shí)注意SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系。探索性問題在數(shù)列中考察較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給予證明。探索性問題對(duì)分析問題解決問題的能力有較高的要求。等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)為必考內(nèi)容，這類考題有容易題、中等題，也有難題。求和問題也是常見的試題類型，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和。將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)，今后在這方面還會(huì)體會(huì)的更突出。數(shù)列與新增內(nèi)容（如程序框圖）等綜合體也應(yīng)引起高度重視。第一講數(shù)列的概念考點(diǎn)解讀數(shù)列的概念按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。各項(xiàng)一次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，．．．，第SKIPIF1<0項(xiàng)，……數(shù)列的一般形式可簡(jiǎn)記為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是數(shù)列的第SKIPIF1<0項(xiàng)。注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成的兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列。定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)。數(shù)列的分類根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列。無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列。按照數(shù)列的每一項(xiàng)的值隨項(xiàng)數(shù)變化的情況分遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看成以自然數(shù)集或者其有限子集為定義域的函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0項(xiàng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。注意：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式。一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的。數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：=1\*GB3①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；=2\*GB3②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng)。數(shù)列的三種表示形式列舉法，通項(xiàng)公式法和圖象法典例根據(jù)有限項(xiàng)抽象數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)：3，5，9，17，……；（2）SKIPIF1<0；（3）0,1,0,1，……；（4）2，-6,12，-20,30，…….由數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和給出的遞推式變形數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式。用累加、累乘法探求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0。求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始及其后面各項(xiàng)均小于SKIPIF1<0？已知遞推關(guān)系求指定項(xiàng)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則m所有可能的取值為。練習(xí)數(shù)列SKIPIF1<0的一個(gè)通項(xiàng)公式是。*已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于。若數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于。若SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=。已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0=。數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式。第二講等差數(shù)列考點(diǎn)解讀等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即SKIPIF1<0，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0通項(xiàng)公式的變形形式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是常數(shù)）計(jì)算公差的幾種基本方法：=1\*GB3①SKIPIF1<0=2\*GB3②SKIPIF1<0=3\*GB3③SKIPIF1<0等差中項(xiàng)：若SKIPIF1<0等等差數(shù)列，那么A叫做SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)。基本性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式1：SKIPIF1<0。公式2：SKIPIF1<0公式3：SKIPIF1<0，當(dāng)公差SKIPIF1<0時(shí)，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式。典例等差數(shù)列求解的基本方法：還原基本量等差數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用已知函數(shù)SKIPIF1<0，等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為2，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。*等差數(shù)列概念的運(yùn)用遞增數(shù)列1，5，7，11，13，17，……包含所有既不能被2整除又不能被3整除的正整數(shù)，求此數(shù)列的第100項(xiàng)。等差數(shù)列應(yīng)用問題在我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)。例如北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成，如圖所示，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊石板，共有9圈。問：第9圈共有多少塊石板？不包括天心石，9圈共有多少塊石板？等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和運(yùn)用設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=。等差數(shù)列的概念的運(yùn)用在小于100的正整數(shù)中共有多少個(gè)數(shù)能被3除余2，并求這些數(shù)的和。等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和的最值問題已知數(shù)列SKIPIF1<0是一個(gè)等差數(shù)列，且SKIPIF1<0。求SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0；求SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0的最大值。等差數(shù)列綜合問題設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；求SKIPIF1<0的取值范圍。練習(xí)已知數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，則此數(shù)列（）A、是等差數(shù)列，SKIPIF1<0B、是等比數(shù)列，SKIPIF1<0C、非等差數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0D、非等比數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0或SKIPIF1<0在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A、-6B、4C、-2D、0設(shè)SKIPIF1<0，且兩數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等差數(shù)列，那么SKIPIF1<0的值是（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)之積為40，則這四個(gè)數(shù)是。在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=。等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求此數(shù)列的通項(xiàng)。一個(gè)等差數(shù)列共SKIPIF1<0項(xiàng)，其和為90，這個(gè)數(shù)列的前10項(xiàng)的和為25，后10項(xiàng)的和為75，則項(xiàng)數(shù)SKIPIF1<0為（）A、14B、16C、18D、20等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=。在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則此數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0的最小值為。一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32:27，求公差SKIPIF1<0。第三講等比數(shù)列考點(diǎn)解讀等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母SKIPIF1<0表示，即：SKIPIF1<0。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0。既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列。等比中項(xiàng)：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項(xiàng)。即SKIPIF1<0。等比數(shù)列的性質(zhì)：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。等比數(shù)列的遞增性：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是遞增數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是遞減數(shù)列。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0典例等比數(shù)列基本公式的運(yùn)用已知等比數(shù)列SKIPIF1<0前三項(xiàng)的和為3，如果將第三項(xiàng)減去9則這三項(xiàng)又分別是一個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)和第七項(xiàng)，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式。構(gòu)造輔助數(shù)列解題數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正值，SKIPIF1<0，對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都成立，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式。等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0求證數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式。等比數(shù)列綜合問題已知SKIPIF1<0，點(diǎn)（SKIPIF1<0）在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，其中SKIPIF1<0證明數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0及數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)。等比數(shù)列基本運(yùn)算在等比數(shù)列SKIPIF1<0中已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值。等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用已知等比數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，求項(xiàng)數(shù)n和公比SKIPIF1<0。SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。等比數(shù)列應(yīng)用問題已知某市2008年底人口數(shù)為100萬，人均住房面積40平方米，如果該市每年人口增長(zhǎng)率為2%，每年平均新建住房面積20萬平方米，試求導(dǎo)2012年底人均住房面積。（精確到1平方米，參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）等比綜合問題已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，公差SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0恰為等比數(shù)列，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。練習(xí)等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0表示前SKIPIF1<0項(xiàng)的積，若SKIPIF1<0，則（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A、數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列B、數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列C、數(shù)列SKIPIF1<0可能是常數(shù)列D、數(shù)列SKIPIF1<0不可能是常數(shù)列等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0成等比，那么該等比數(shù)列公比的值為。已知等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于。設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0的值是。等差數(shù)列SKIPIF1<0公差不為0，且SKIPIF1<0是等比數(shù)列SKIPIF1<0的相鄰三項(xiàng)，若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式。一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，前2n項(xiàng)之和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于。已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于。在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于。各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0的值為？已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，前n項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列。求SKIPIF1<0；求證：SKIPIF1<0成等差數(shù)列。第四講數(shù)列求和問題考點(diǎn)解讀數(shù)列求和是數(shù)列部分的一個(gè)重要內(nèi)容，常見的數(shù)列求和方法有如下幾種：公式求和法直接運(yùn)用等差或等比數(shù)列的求和公式求和，運(yùn)用等比求和公式時(shí)注意對(duì)于公比是否等于1的討論，另外還有兩條公式偶爾也會(huì)用到：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分組求和法將原數(shù)列中的每一項(xiàng)分拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者將原數(shù)列中的多項(xiàng)合并為一項(xiàng)，而將原數(shù)列轉(zhuǎn)化成為多個(gè)或一個(gè)可以求和的數(shù)列。倒序相加求和法錯(cuò)位相減求和法適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和。裂項(xiàng)相消求和法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)均能化為兩項(xiàng)之差，而前面項(xiàng)的減數(shù)恰好與后面項(xiàng)的被減數(shù)相同，一減一加，中間項(xiàng)被消去，那么求原數(shù)列的各項(xiàng)之和就可以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。典例運(yùn)用公式求和設(shè)SKIPIF1<0是一次函數(shù)，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的值。特殊公式和分組求和求和：SKIPIF1<0倒序法求和已知函數(shù)SKIPIF1<0，其圖象經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0。求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值并證明SKIPIF1<0；若數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，記其前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。錯(cuò)位法求和已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0。裂項(xiàng)法求和已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0。求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0。練習(xí)設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（）A、3B、2C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、無法確定求和：SKIPIF1<0=。數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=。設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求此數(shù)列前100項(xiàng)的和SKIPIF1<0。第五講數(shù)列綜合問題考點(diǎn)解讀通常我們所遇到的數(shù)列問題往往不是單純的等差或等比，很多時(shí)候需要將兩個(gè)數(shù)列綜合考慮，比如某些數(shù)列可以既是等差又是等比，又或者某個(gè)等比數(shù)列的某些項(xiàng)可以成為等差數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)往往能夠和其他的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合在一起，比如數(shù)列與函數(shù)、不等式等章節(jié)的結(jié)合，以及周期數(shù)列的有關(guān)問題。典例等差等比的簡(jiǎn)單綜合已知公差大于0的等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0依次成等比數(shù)列，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式。三角形中的等差等比問題已知SKIPIF1<0中，三內(nèi)角SKIPIF1<0的度數(shù)依次成等差數(shù)列，三邊SKIPIF1<0依次成等比數(shù)列。求證：SKIPIF1<0是等邊三角形。存在性問題與分類討論思想是否存在互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使它們同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：=1\*GB3①SKIPIF1<0；=2\*GB3②SKIPIF1<0成等差數(shù)列；=3\*GB3③將SKIPIF1<0適當(dāng)排列后成等比數(shù)列。函數(shù)中的數(shù)列問題設(shè)一次函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)（-1,0），SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上。求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0。數(shù)列與不等式已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象過點(diǎn)SKIPIF1<0（4，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0（5,1）求函數(shù)SKIPIF1<0的解析式；記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0