2021-2022學(xué)年湖南省岳陽市謝江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省岳陽市謝江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（

）A.

B.

C.或

D.

或7參考答案：C2.設(shè)集合，則=（

）參考答案：A略3.設(shè)命題的充要條件，命題，則（

）A．“”為真

B．“”為真

C．p真q假

D．p，q均為假命題參考答案：A略4.函數(shù)是(

)

A．周期為的奇函數(shù)

B．周期為的偶函數(shù)

C．周期為的奇函數(shù)

D．周期為的偶函數(shù)參考答案：D略5.已知的導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間，且偶函數(shù)滿足，則x的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A6.已知函數(shù)（其中無理數(shù)e=2.718…），關(guān)于x的方程有四個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．(2,+∞) C． D．參考答案：C由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，?令得或，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增；令得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.∵∴函數(shù)的圖象如圖所示：令，則的增減性與相同，.∵關(guān)于的方程有四個(gè)不等的實(shí)根∴有四個(gè)不等的實(shí)根，即在和上分別有根.令，則.∴，即∴故選C.

7.已知集合，，那么“”是“”的（

）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）不充分也不必要條件參考答案：B略8.復(fù)數(shù)Z=x+yi（xy∈R）滿足|Z﹣4i|=|Z+2|，則2x+4y的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義，求出復(fù)數(shù)Z滿足的條件，利用基本不等式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵|Z﹣4i|=|Z+2|，∴|x+yi﹣4i|=|x+yi+2|，即=，整理得x+2y=3，則2x+4y≥=，故2x+4y的最小值為，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，利用條件求出Z滿足的條件，結(jié)合基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．9.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且在(－∞,+∞)上是減函數(shù)，，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.(－1,1) B.(－2,0) C.(－2,2) D.(0,2)參考答案：C【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得f（﹣1）的值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得，解可得x的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，若f（1）＝﹣2，則f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，則，又由函數(shù)在上為減函數(shù)，則有，解可得：，即x的取值范圍是（-2，2）；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，得出f（﹣1）=2是關(guān)鍵．10.記實(shí)數(shù)，，…，中的最大數(shù)為，最小數(shù)為，則（

）A．B．C．D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量滿足=

參考答案：；12.設(shè)函數(shù)f（x）=2x﹣cosx，{an}是公差為的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2﹣a1a5=．參考答案：

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由f（x）=2x﹣cosx，又{an}是公差為的等差數(shù)列，可求得f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=10a3，由題意可求得a3，從而進(jìn)行求解．【解答】解：∵f（x）=2x﹣cosx，∴可令g（x）=2x+sinx，∵{an}是公差為的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π∴g（a1﹣）+g（a2﹣）+…+g（a5﹣）=0，則a3=，a1=，a5=∴[f（a3）]2﹣a1a5=π2﹣=，故答案為：13.已知四邊形是邊長為的正方形，若，則的值

為

.參考答案：14.如圖所示,C是半圓弧x2+y2=1(y≥0)上一點(diǎn),連接AC并延長至D,使|CD|=|CB|,則當(dāng)C點(diǎn)在半圓弧上從B點(diǎn)移動(dòng)至A點(diǎn)時(shí),D點(diǎn)的軌跡是_______的一部分，D點(diǎn)所經(jīng)過的路程為.參考答案：圓，解：設(shè)點(diǎn)（其中D點(diǎn)不與A、B兩點(diǎn)重合），連接BD，設(shè)直線BD的傾斜角為，直線AD的傾斜角為。由題意得，。因?yàn)閨CD|=|CB|,所以，則有，即，即由此化簡得（其中D點(diǎn)不與A、B兩點(diǎn)重合）．又因?yàn)镈點(diǎn)在A、B點(diǎn)時(shí)也符合題意，因此點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)（0，1）為圓心，為半徑的半圓，點(diǎn)D所經(jīng)過的路程．15.若向量，，，則

．參考答案：試題分析：由向量，，，則，根據(jù)幾何意義得，故填.考點(diǎn)：1、平面向量的模；2、平面向量數(shù)量積；3、平面向量的幾何意義.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模、平面向量數(shù)量積、平面向量的幾何意義，屬于中檔題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

.參考答案：略17.設(shè)向量是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則___________.參考答案：【知識點(diǎn)】向量的模．F2

解析：因?yàn)橄蛄渴菉A角為60°的兩個(gè)單位向量，所以可得：故答案為：【思路點(diǎn)撥】由已知中，向量是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，根據(jù)公式可以求出向量的模.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量，．

(1)當(dāng)時(shí)，求的值；

(2)設(shè)函數(shù)，已知在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，，，求（）的取值范圍.參考答案：（2）解析：（1）

（2）+由正弦定理得或

因?yàn)?，所?/p>

,,所以

略19.如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在SE上，且SF=2FE．（1）求證：AF⊥平面SBC；（2）在線段上DE上是否存在點(diǎn)G，使二面角G﹣AF﹣E的大小為30°？若存在，求出DG的長；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（1）通過證明AF與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；（2）抓住兩點(diǎn)找到問題的求解方向：一是點(diǎn)G的預(yù)設(shè)位置，二是二面角G﹣AF﹣E的位置，計(jì)算即可．【解答】（1）證明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中點(diǎn)，得．因?yàn)镾A⊥底面ABC，所以SA⊥AE．在Rt△SAE中，，所以．因此AE2=EF?SE，又因?yàn)椤螦EF=∠AES，所以△EFA∽△EAS，則∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE．因?yàn)镾A⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥底面SAE，則BC⊥AF．又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC．（2）結(jié)論：在線段上DE上存在點(diǎn)G使二面角G﹣AF﹣E的大小為30°，此時(shí)DG=．理由如下：假設(shè)滿足條件的點(diǎn)G存在，并設(shè)DG=t．過點(diǎn)G作GM⊥AE交AE于點(diǎn)M，又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．作MN⊥AF交AF于點(diǎn)N，連結(jié)NG，則AF⊥NG．于是∠GNM為二面角G﹣AF﹣E的平面角，即∠GNM=30°，由此可得．

由MN∥EF，得，于是有，．在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，即，解得．于是滿足條件的點(diǎn)G存在，且．20.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣bex（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0處的切線與x﹣y+3=0垂直．（1）若函數(shù)f（x）在[，1]存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若f′（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范圍；（3）在第二問的前提下，證明：﹣＜f′（x1）＜﹣1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上有解，令，故只需，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）令h（x）=f'（x），則h（x）=ax2﹣ex，問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)根，設(shè)φ（x）=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（3）求出f′（x1）=（﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（﹣1），（0＜t＜1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：因?yàn)閒'（x）=ax2﹣bex，所以f'（0）=﹣b=﹣1，所以b=1…（1）由前可知，f'（x）=ax2﹣ex根據(jù)題意：f'（x）＞0在上有解，即ax2﹣ex＞0在上有解…即在上有解，令，故只需所以，所以，當(dāng)時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在上單調(diào)遞減，所以g（x）min=g（1）=e，所以

a＞e…（2）令h（x）=f'（x），則h（x）=ax2﹣ex，所以h'（x）=2ax﹣ex由題可知，h'（x）=0有兩個(gè)根x1，x2，即2ax﹣ex=0有兩個(gè)根x1，x2，又x=0顯然不是該方程的根，所以方程有兩個(gè)根，…設(shè)φ（x）=，則φ′（x）=，當(dāng)x＜0時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增．故要使方程2a=有兩個(gè)根，只需2a＞φ（1）=e，即a＞，所以a的取值范圍是（，+∞），（3）由（2）得：0＜x1＜1＜x2…且由h'（x1）=0，得2ax1﹣=0，所以a=，x1∈（0，1）…所以f′（x1）=h（x1）=a﹣=（﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（﹣1），（0＜t＜1），則r′（t）=et（）＜0，r（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以r（1）＜r（t）＜r（0），即﹣＜f′（x1）＜﹣1．…21.

向量，已知a∥b，且有函數(shù)．