2022-2023學(xué)年上海市莘莊中學(xué)等四校聯(lián)考數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖所示的圖形是弧三角形，又叫萊洛三角形，它是分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧得到的封閉圖形.在此圖形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等邊三角形內(nèi)的概率是()A．32π-3 B．34π-232．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則A．140 B．70 C．154 D．773．集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．34．圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．5．在△ABC中，AB=，AC=1，，△ABC的面積為，則（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．或 B．C．或 D．7．一個(gè)球自高為米的地方自由下落，每次著地后回彈高度為原來(lái)的，到球停在地面上為止，球經(jīng)過(guò)的路程總和為（）米A． B． C． D．8．下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．兩條直線(xiàn)都和同一個(gè)平面平行，則這兩條直線(xiàn)平行B．兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)平行C．兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，則這兩條直線(xiàn)平行D．兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)垂直，則這兩條直線(xiàn)平行9．已知兩點(diǎn),,若直線(xiàn)與線(xiàn)段相交,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．10．設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為,則到直線(xiàn)的距離最大值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，二面角等于，、是棱上兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于______．12．已知向量，，且，則的值為_(kāi)_______.13．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，則它的前項(xiàng)和為_(kāi)_____.14．已知平面向量，若，則________15．魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱(chēng)．從外表上看，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來(lái)，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長(zhǎng)為，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為_(kāi)_________．（容器壁的厚度忽略不計(jì)）16．若把寫(xiě)成的形式，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖所示，在直三棱柱中，，，M、N分別為、的中點(diǎn)．求證：平面；求證：平面．18．一盒中裝有12個(gè)球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．19．已知向量，，且，.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)的最小值為，求λ值.20．化簡(jiǎn).21．在正△ABC中，AB＝2，（t∈R）.（1）試用，表示：（2）當(dāng)?取得最小值時(shí)，求t的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

求出以A為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，圓心角為∠BAC的扇形的面積，根據(jù)圖形的性質(zhì)，可知它的3倍減去2倍的等邊三角形ABC【詳解】設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，設(shè)以A為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，圓心角為∠BAC的扇形的面積為S1，則S1=萊洛三角形面積為S，則S=3S在此圖形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等邊三角形內(nèi)的概率為P,P=S【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型.解決本題的關(guān)鍵是正確求出萊洛三角形的面積.考查了運(yùn)算能力.2、D【解析】

利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】，則，所以，元素個(gè)數(shù)為2個(gè)。故選C。4、C【解析】

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫(xiě).【詳解】圓心為，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故選C.5、C【解析】

試題分析：由三角形面積公式得，,所以．顯然三角形為直角三角形，且，所以．考點(diǎn)：解三角形．6、A【解析】

根據(jù)題意，原題等價(jià)于，再討論即可得到結(jié)論．【詳解】由題，故函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于即當(dāng)時(shí)，，,符合題意；當(dāng)，時(shí)，令，滿(mǎn)足解得,綜上的取值范圍是或故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．7、D【解析】

設(shè)球第次到第次著地這一過(guò)程中球經(jīng)過(guò)的路程為米，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由此可得出球經(jīng)過(guò)的路程總和為米.【詳解】設(shè)球第次到第次著地這一過(guò)程中球經(jīng)過(guò)的路程為米，則，由題意可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，球經(jīng)過(guò)的路程總和米.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，涉及到無(wú)窮等比數(shù)列求和問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8、C【解析】

利用空間直線(xiàn)平面位置關(guān)系對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)分析得解.【詳解】A.兩條直線(xiàn)都和同一個(gè)平面平行，則這兩條直線(xiàn)平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)平行或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，則這兩條直線(xiàn)平行，是平行公理，所以該選項(xiàng)正確；D.兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)垂直，則這兩條直線(xiàn)平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)平面的位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

找出直線(xiàn)與PQ相交的兩種臨界情況，求斜率即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)題意，作圖如下：直線(xiàn)與線(xiàn)段PQ相交的臨界情況分別為直線(xiàn)MP和直線(xiàn)MQ，已知，，由圖可知：當(dāng)直線(xiàn)繞著點(diǎn)M向軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，其斜率范圍為：；當(dāng)直線(xiàn)與軸重合時(shí)，沒(méi)有斜率；當(dāng)直線(xiàn)繞著點(diǎn)M從軸至MP旋轉(zhuǎn)時(shí)，其斜率范圍為：綜上所述：，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)斜率的計(jì)算，直線(xiàn)斜率與傾斜角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】

先求出的坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)，則所求距離的最大值就是的長(zhǎng)度.【詳解】由可以得到，故，直線(xiàn)的方程可整理為：，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故選A.【點(diǎn)睛】一般地，若直線(xiàn)和直線(xiàn)相交，那么動(dòng)直線(xiàn)（）必過(guò)定點(diǎn)（該定點(diǎn)為的交點(diǎn)）.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出CD的長(zhǎng)．【詳解】∵A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，其中利用，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，是解答本題的關(guān)鍵．12、【解析】

利用共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示求出的值，可計(jì)算出向量的坐標(biāo)，然后利用向量的模長(zhǎng)公式可求出的值.【詳解】，，且，，解得，，則，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示求參數(shù)，同時(shí)也考查了向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，由此能求出它的前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，由，得，且，解得，它的前項(xiàng)和為.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14、1【解析】

根據(jù)即可得出，解出即可．【詳解】∵；∴；解得，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量坐標(biāo)的概念，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】表面積最小的球形容器可以看成長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、6的長(zhǎng)方體的外接球．設(shè)其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【點(diǎn)睛】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個(gè)正四棱柱的外接球，求其半徑，進(jìn)而求體積．16、【解析】

將角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查弧度與角度的互化，象限角的表示，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】

(1)推導(dǎo)出，從而平面，進(jìn)而，再由，，得是正方形，由此能證明平面．取的中點(diǎn)F，連BF、推導(dǎo)出四邊形BMNF是平行四邊形，從而，由此能證明平面．【詳解】證明：在直三棱柱中，側(cè)面底面ABC，且側(cè)面底面，，即，平面，平面，，，是正方形，，平面取的中點(diǎn)F，連BF、在中，N、F是中點(diǎn)，，，又，，，，故四邊形BMNF是平行四邊形，，而面，平面，平面【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直、線(xiàn)面平行的證明，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．18、(1)取出球?yàn)榧t球或黑球的概率為(2)取出球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為【解析】試題分析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的基本事件是從12個(gè)球中任取一球，滿(mǎn)足條件的事件是取出的球是紅球或黑球，根據(jù)古典概型和互斥事件的概率公式得到結(jié)果；（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的基本事件是從12個(gè)球中任取一球，滿(mǎn)足條件的事件是取出的一球是紅球或黑球或白球，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果試題解析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的基本事件是從12個(gè)球中任取一球共有12種結(jié)果；滿(mǎn)足條件的事件是取出的球是紅球或黑球共有9種結(jié)果，∴概率為．（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的基本事件是從12個(gè)球中任取一球共有12種結(jié)果；滿(mǎn)足條件的事件是取出的一球是紅球或黑球或白球共有11種結(jié)果，∴概率為．即取出的1球是紅球或黑球的概率為；取出的1球是紅球或黑球或白球的概率為．考點(diǎn)：等可能事件的概率19、（1），（2）遞增區(qū)間為，（3）【解析】

（1）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，以及模長(zhǎng)的求解公式，即可求得兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）由（1）可得，整理化簡(jiǎn)后，將其轉(zhuǎn)化為余弦型三角函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間即可；（3）求得的解析式，用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，討論二次函數(shù)的最小值，從而求得參數(shù)的值.【詳解】（1），.（2）令，得的遞增區(qū)間為，.（3）∵，∴..當(dāng)時(shí)，時(shí)，取最小值為－1，這與題設(shè)矛盾.當(dāng)時(shí)，時(shí)，取最小值，因此，，解得.當(dāng)時(shí)，時(shí)，取最小值，由，解得，與題設(shè)矛盾.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，含的二次型函數(shù)的最值問(wèn)題，涉及向量數(shù)量積的運(yùn)算，模長(zhǎng)的求解，以及二次函數(shù)動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題，屬綜合基礎(chǔ)題.20、【解析】

利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到