2022-2023學年上海市五十四中高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，則的值為（）A． B． C． D．3．圓的圓心坐標和半徑分別是()A．，2 B．，1 C．，2 D．，14．宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．95．直線的傾斜角不可能為（）A． B． C． D．6．已知非零向量與的夾角為，且，則（）A．1 B．2 C． D．7．一組數(shù)據(jù)0，1，2，3，4的方差是A． B． C．2 D．48．已知，，，若不等式恒成立，則t的最大值為（）A．4 B．6 C．8 D．99．已知點均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．10．從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，則與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是以下事件“①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球”中的()A．①② B．①③C．②③ D．①②③二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式的解集是．12．一艘輪船按照北偏西30°的方向以每小時21海里的速度航行，一個燈塔M原來在輪船的北偏東30°的方向，經(jīng)過40分鐘后，測得燈塔在輪船的北偏東75°的方向，則燈塔和輪船原來的距離是_____海里．13．若，則=_________14．函數(shù)的值域是__________.15．在邊長為2的正△ABC所在平面內，以A為圓心，為半徑畫弧，分別交AB，AC于D，E.若在△ABC內任丟一粒豆子，則豆子落在扇形ADE內的概率是________．16．過點且在坐標軸上的截距相等的直線的一般式方程是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．有一款手機，每部購買費用是5000元，每年網(wǎng)絡費和電話費共需1000元；每部手機第一年不需維修，第二年維修費用為100元，以后每一年的維修費用均比上一年增加100元.設該款手機每部使用年共需維修費用元，總費用元.（總費用購買費用網(wǎng)絡費和電話費維修費用）（1）求函數(shù)、的表達式：（2）這款手機每部使用多少年時，它的年平均費用最少？18．如圖，在邊長為2菱形ABCD中，，且對角線AC與BD交點為O．沿BD將折起，使點A到達點的位置．（1）若，求證：平面ABCD；（2）若，求三棱錐體積．19．在平面直角坐標系xOy中，已知點，，，.（1）①證明：；②證明：存在點P使得.并求出P的坐標；（2）過C點的直線將四邊形ABCD分成周長相等的兩部分，產(chǎn)生的另一個交點為E，求點E的坐標.20．已知以點（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過坐標原點O，且與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求△OAB的面積；（2）設直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點P、Q，若|OP|＝|OQ|，求圓心C到直線l的距離．21．的內角的對邊分別為，.（1）求；（2）若，的面積為，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由正弦定理分別檢驗問題的充分性和必要性，可得答案.【詳解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的充分必要條件，故選C.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，相對不難，注意正弦定理的靈活運用.2、A【解析】，向左平移個單位得到函數(shù)=，故3、B【解析】

將圓的一般方程配成標準方程，由此求得圓心和半徑.【詳解】由，得，所以圓心為，半徑為.【點睛】本小題主要考查圓的一般方程化為標準方程，考查圓心和半徑的求法，屬于基礎題.4、B【解析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【詳解】當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，不滿足進行循環(huán)的條件；故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖，解題的關鍵是讀懂流程圖各個變量的變化情況，屬于基礎題.5、D【解析】

根據(jù)直線方程，分類討論求得直線的斜率的取值范圍，進而根據(jù)傾斜角和斜率的關系，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得當時，直線方程為，此時傾斜角為；當時，直線方程化為，則斜率為：，即，又由，解得或，又由且，所以傾斜角的范圍為，顯然A，B都符合，只有D不符合，故選D.【點睛】本題主要考查了直線方程的應用，以及直線的傾斜角和斜率的關系，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力.6、B【解析】

根據(jù)條件可求出，從而對兩邊平方即可得出，解出即可．【詳解】向量與的夾角為，且；；；；或0（舍去）；．故選：．【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算公式，屬于中檔題.7、C【解析】

先求得平均數(shù)，再根據(jù)方差公式計算?！驹斀狻繑?shù)據(jù)的平均數(shù)為：方差是＝2，選C。【點睛】方差公式，代入計算即可。8、C【解析】

因為不等式恒成立，所以只求得的最小值即可，結合，用“1”的代換求其最小值.【詳解】因為，，，若不等式恒成立，令y=，當且僅當且即時，取等號所以所以故t的最大值為1．故選：C【點睛】本題主要考查不等式恒成立和基本不等式求最值，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.9、A【解析】

設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．由此可計算球半徑．【詳解】如圖，設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【點睛】本題考查球的體積，關鍵是確定球心位置求出球的半徑．10、A【解析】試題分析：結合互斥事件和對立事件的定義，即可得出結論解：根據(jù)題意，結合互斥事件、對立事件的定義可得，事件“兩球都為白球”和事件“兩球都不是白球”；事件“兩球都為白球”和事件“兩球中恰有一白球”；不可能同時發(fā)生，故它們是互斥事件．但這兩個事件不是對立事件，因為他們的和事件不是必然事件．故選A考點：互斥事件與對立事件．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

因為,且拋物線開口方向向上，所以，不等式的解集是.12、【解析】

畫出示意圖，利用正弦定理求解即可.【詳解】如圖所示：為燈塔，為輪船，，則在中有：，且海里，則解得：海里.【點睛】本題考查解三角形的實際應用，難度較易.關鍵是能通過題意將航海問題的示意圖畫出，然后選用正余弦定理去分析問題.13、【解析】

∵，∴∴=1×[+]=1．故答案為：1．14、【解析】

根據(jù)反余弦函數(shù)的性質，可得函數(shù)在單調遞減函數(shù)，代入即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)的性質，可得函數(shù)在單調遞減函數(shù)，又由，所以函數(shù)在的值域為．故答案為：.【點睛】本題主要考查了反余弦函數(shù)的單調性的應用，其中解答中熟記反余弦函數(shù)的性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．15、【解析】

由三角形ABC的邊長為2不難求出三角形ABC的面積，又由扇形的半徑為，也可以求出扇形的面積，代入幾何概型的計算公式即可求出答案．【詳解】由題意知，在△ABC中，BC邊上的高AO正好為，∴圓與邊CB相切，如圖．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【點睛】本題考查面積型幾何概型概率的求法，屬基礎題.16、或【解析】

討論直線過原點和直線不過原點兩種情況，分別計算得到答案.【詳解】當直線過原點時，設，過點，則，即；當直線不過原點時，設，過點，則，即；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.【點睛】本題考查了直線方程，漏解是容易發(fā)生的錯誤.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）這款手機使用年時它的年平均費用最少【解析】

（1）第年的維修費用為，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得；將加上購買費用和年的網(wǎng)絡費和電話費總額即可得到；（2）平均費用，利用基本不等式可求得最小值，根據(jù)取等條件可求得的取值.【詳解】（1）則（2）設每部手機使用年的平均費用為則當，即時，這款手機使用年時它的年平均費用最少【點睛】本題考查構造合適的函數(shù)模型解決實際問題，涉及到函數(shù)最值的求解問題；解決本題中最值問題的關鍵是能夠得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.18、（1）見解析（2）【解析】

(1)證明與即可.(2)法一：證明平面,再過點做垂足為,證明為三棱錐的高再求解即可.法二：通過進行轉化求解即可.法三：通過進行轉化求解即可.【詳解】證明：（1）∵在菱形ABCD中,,,AC與BD交于點O．以BD為折痕,將折起,使點A到達點的位置,∴,又,,∴,∴,∵,∴平面ABCD（2）（法一）：∵,,取的中點,則且,因為且,,所以平面,過點做垂足為,則平面BCD,又∴,解得,∴三棱錐體積．（法二）：因為,,取AC中點E,,,,又（法三）因為且,,所以平面,,所以．【點睛】本題主要考查了線面垂直的證明與錐體體積的求解方法等.需要根據(jù)題意找到合適的底面與高,或者利用割補法求解體積.屬于中檔題.19、（1）①見解析；②見解析，；（2）.【解析】

（1）①利用夾角公式可得；②由條件知點為四邊形外接圓的圓心，根據(jù)，可得，四邊形外接圓的圓心為的中點，然后求出點的坐標；（2）根據(jù)條件可得，然后設的坐標為，根據(jù)，可得的坐標．【詳解】（1）①，，，，，，，，，，；②由知，點為四邊形外接圓的圓心，，，，，四邊形外接圓的圓心為的中點，點的坐標為；（2）由兩點間的距離公式可得，，，，過點的直線將四邊形分成周長相等的兩部分，，設的坐標為，則，，，，點的坐標為．【點睛】本題考查向量的夾角公式、向量相等、向量的運算性質、兩點間的距離公式等，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.20、(1)4(2)【解析】

（1）求得圓的半徑，設出圓的標準方程，由此求得兩點坐標，進而求得三角形的面積.（2）根據(jù)，判斷出，由直線的斜率求得直線的斜率，以此列方程求得，根據(jù)直線和圓相交，圓心到直線的距離小于半徑，確定，同時得到圓心到直線的距離.【詳解】（1）根據(jù)題意，以點（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過坐標原點O，設圓C的半徑為r，則r2＝a2，圓C的方程為（x﹣a）2+（y）2＝a2，令x＝0可得：y＝0或，則B（0，），令y＝0可得：x＝0或2a，則A（2a，0），△OAB的面積S|2a|×||＝4；（2）根據(jù)題意，直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點P、Q，則|CP|＝|CQ|，又由|OP|＝|OQ|，則直線OC與PQ垂直，又由直線l即PQ的方程為y＝﹣2x+4，則KOC，解可得a＝±2，當a＝2時，圓心C的坐標為（2，1），圓心到直線l的距離d，r，r＞d，此時直線l與圓相交，符合題意；當a＝2時，圓心C的坐標為（