解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)課件_第1頁
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§5解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)1CH1_設(shè)為的解析域內(nèi)任意一點，定理解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，它的階導(dǎo)數(shù)為：其中為函數(shù)的解析域內(nèi)的環(huán)繞正向簡單閉曲線，［證］為內(nèi)環(huán)繞的一條正向簡單閉曲線，我們先證情況，的內(nèi)部仍在的解析域內(nèi)。且的內(nèi)部仍在內(nèi)，且即2CH1_根據(jù)定義由柯西積分公式其中在曲線的內(nèi)部。從而有3CH1_設(shè)為到上的點的最短距離，選取適當(dāng)小的使由于在上連續(xù)，從而在上有界，即存在正數(shù)使得：因此，當(dāng)時，有所以其中為的弧長，令則從而5CH1_同理，我們可以利用及其的推導(dǎo)方法求極限至此，我們已經(jīng)導(dǎo)出：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)。得6CH1_利用歸納法，類似的推導(dǎo)可得：例1計算下列積分1）其中為正向圓周：解原式1）高階導(dǎo)數(shù)公式的作用，不是在于通過積分求導(dǎo)，而是通過求導(dǎo)而求積分。說明：7CH1_3）解由于在上解析，所以9CH1_所以例2求解令則由高階導(dǎo)數(shù)公式知10CH1_

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