2021年4月自學(xué)考試04184線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

全國2021年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題：本大題共5小題，每小題5分，共10分。在每小題列出的備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其選出。1、已知4階行列式的某一行元素及其余子式都為，則（A）A、0 B、C、 D、【解析】在中劃去元素所在的第行和第列后剩下的行和列元素，按原來的相對(duì)順序組成一個(gè)階行列式，記為，即，稱為元素的余子式。所以題目中4階行列式的某一行元素及其余子式都為，即余子式為，可得由行列式的性質(zhì)3推論可得，行列式中有兩行相同，此行列式的值等于零，故.2、設(shè)3階矩陣可逆，則（A）A、 B、C、 D、【解析】伴隨矩陣行列式由逆矩陣公式可得把看成一個(gè)整體則兩邊同時(shí)左乘可得即所以。3、設(shè)向量長度依次為2和3，則向量與的內(nèi)積（D）A、13 B、6C、5 D、－5【解析】根據(jù)向量長度的定義：，則，由向量內(nèi)積的性質(zhì)可得：4、齊次線性方程組僅有零解的充分必要條件是矩陣的（B）A、列向量組線性相關(guān) B、列向量組線性無關(guān)C、行向量組線性相關(guān) D、行向量組線性無關(guān)【解析】設(shè)矩陣齊次線性方程組僅有零解，即相當(dāng)于當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，其中為的列向量組所以的列向量組線性無關(guān)。5、設(shè)矩陣，則與的關(guān)系為（C）A、相似但不合同 B、合同但不相似C、合同且相似 D、不合同也不相似【解析】矩陣的特征值為求矩陣的特征值：解得：由于矩陣與都是對(duì)稱矩陣，且特征值相同，所以矩陣與相似。（教材第184頁）將矩陣化為二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型為可得正慣性指數(shù)為1矩陣的正慣性指數(shù)為1且矩陣與都有相同的秩故矩陣與合同。（對(duì)稱矩陣與合同當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)）二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分。6、設(shè)行列式中元素的代數(shù)余子式為，則_____.解：0【解析】由代數(shù)余子式的公式，（為元素的余子式）可得，所以7、設(shè)3階矩陣滿足，則_____.解：36【解析】由方陣行列式的性質(zhì)2可得：由方陣行列式的性質(zhì)3可得：又因?yàn)榫仃嚨哪娴男辛惺綖樾辛惺降哪妫汗?、設(shè)向量與正交，則數(shù)_____.解：2【解析】由向量正交的定義得即解得9、設(shè)矩陣，則_____.解：【解析】10、設(shè)矩陣，則_____.解：【解析】，由逆矩陣公式可得11、設(shè)是3階非零矩陣，，且，則_____.解：1【解析】滿足，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牧邢蛄拷M都是的解設(shè)，則方程組最多有個(gè)線性無關(guān)的解，所以且，所以，又因?yàn)槭?階非零矩陣，所以12、設(shè)向量組，，，若存在不全為零的常數(shù)，使得，則數(shù)_____.解：32【解析】由題可知向量組線性相關(guān)，根據(jù)個(gè)維列向量線性無關(guān)由此可得線性相關(guān)必有故，解得13、設(shè)3階矩陣的各行元素之和均為0，，齊次線性方程組通解為_____.解：，為任意常數(shù)【解析】由3階矩陣的各行元素之和均為0，可得：，所以向量是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。又由于的基礎(chǔ)解系中的解向量個(gè)數(shù)為故齊次線性方程組通解為，為任意常數(shù)。14、若矩陣滿足，則必有一個(gè)特征值為_____.解：【解析】假設(shè)有一個(gè)特征值為，則必存在某個(gè)維非零列向量滿足：為方程組的非零解，則為階方陣，有為階方陣題目已知，由行列式性質(zhì)得解得15、設(shè)二次型正定，則的取值范圍為_____.解：【解析】由題可得二次型矩陣為正定二次型，即的所有順序主子式，解得：，解得：綜上，有：三、計(jì)算題：本大題共7小題，每小題9分，共63分。16、計(jì)算4階行列式.解：（4分）（9分）【解析】17、己知向量，求（1）；（2）.解：（1）（5分）（2）（9分）【解析】（1）（2）由于18、已知矩陣，矩陣滿足關(guān)系式，求.解：由可得由，故可逆.從而（5分）故（9分）【解析】由可得由，由階矩陣為可逆矩陣，故可逆.兩邊同時(shí)左乘得：由逆矩陣公式可得故19、求向量組，，，的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用所求的極大線性無關(guān)組表出.解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換，（6分）所以向量組的秩為3，為一個(gè)極大線性無關(guān)組，（9分）（答案不惟一）【解析】構(gòu)造矩陣所以向量組的秩為3，為一個(gè)極大線性無關(guān)組，20、設(shè)線性方程組當(dāng)為何值時(shí)，方程組無解？有無窮多解？在有無窮多解時(shí)求出其通解（要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.解：對(duì)增廣矩陣做初等行變換：（4分）（1）當(dāng)時(shí)，，，，方程組無解。（6分）（2）當(dāng)時(shí)，，方程組有無窮多解。故非齊次線性方程組的通解為，為任意常數(shù)（9分）【解析】對(duì)非齊次線性方程組的增廣矩陣做初等行變換：（1）當(dāng)時(shí)，，，，方程組無解。（2）當(dāng)時(shí)，，方程組有無窮多解。即得同解方程組為令得一組特解：導(dǎo)出組的同解方程組：當(dāng)和時(shí)，得一組基礎(chǔ)解系：，故非齊次線性方程組的通解為，為任意常數(shù)。21、求矩陣的特征值與特征向量.解：由得的特征值為，（4分）當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系，對(duì)應(yīng)的全部特征向量，是不全為零的任意常數(shù)。（7分）當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，對(duì)應(yīng)的全部特征向量，為非零任意常數(shù)。（9分）【解析】的特征方程為，即解得：，當(dāng)時(shí)，求解齊次線性方程組即：對(duì)系數(shù)矩陣做初等行變換，有：同解齊次線性方程組為：令和得基礎(chǔ)解系，對(duì)應(yīng)的全部特征向量，是不全為零的任意常數(shù)。當(dāng)時(shí)，求解齊次線性方程組即，同解齊次線性方程組為：令得基礎(chǔ)解系，對(duì)應(yīng)的全部特征向量，為非零任意常數(shù)。22、已知二次型經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，求正交矩陣.解：二次型矩陣，有題設(shè)知，特征值為（4分）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量，單位化得，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量，，正交化、單位化得，（7分）所求正交矩陣為（9分）【解析】所以二次型的矩陣，有特征方程，即：由題已知標(biāo)準(zhǔn)形所以特征值為當(dāng)時(shí)，有對(duì)應(yīng)的特征向量，單位化得，當(dāng)時(shí)，有對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量，，正交