人教版數(shù)學九年級上冊同步講義第23課垂徑定理（原卷版）

第23課垂徑定理目標導航目標導航課程標準理解圓的對稱性；掌握垂徑定理及其推論；3．學會運用垂徑定理及其推論解決有關的計算、證明和作圖問題．知識精講知識精講知識點01垂徑定理1.垂徑定理

垂直于弦的直徑這條弦，并且平分弦所對的.

2.推論

平分弦(不是直徑)的直徑，并且平分弦所對的.

要點詮釋：(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即SKIPIF1<0(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識點02垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；弦的經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧..要點詮釋：在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意，就能推出其他結論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）能力拓展能力拓展考法01應用垂徑定理進行計算與證明【典例1】如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則⊙O的半徑是．【即學即練1】如圖所示，⊙O兩弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半徑．【即學即練2】如圖，⊙O直徑AB和弦CD相交于點E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD長．【典例2】已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.【即學即練3】在⊙O中，直徑MN⊥AB，垂足為C，MN=10，AB=8，則MC=_________．考法02垂徑定理的綜合應用【典例3】如圖，某新建公園有一個圓形人工湖，湖中心O處有一座噴泉，小明為測量湖的半徑，在湖邊選擇A、B兩個點，在A處測得∠OAB=45°，在AB延長線上的C處測得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半徑．（結果保留根號）【典例4】不過圓心的直線l交⊙O于C、D兩點，AB是⊙O的直徑，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三個圓中分別畫出滿足上述條件的具有不同位置關系的圖形；(2)請你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結論(OA＝OB除外)(不再標注其他字母，找結論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結論中，不寫推理過程)；(3)請你選擇(1)中的一個圖形，證明(2)所得出的結論．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．下列結論正確的是（）A．經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸 B．直徑是圓的對稱軸C．與圓相交的直線是圓的對稱軸 D．與直徑相交的直線是圓的對稱軸2．下列命題中正確的是（）A．經(jīng)過三個點可以作一個圓 B．長度相等的弧是等弧C．相等的圓心角所對的弧相等 D．弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心3．如圖，已知⊙O的直徑AB⊥CD于點E，則下列結論一定錯誤的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．SKIPIF1<0 D．△OCE≌△ODE4．如圖，在直徑AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半徑OB的中點，則弦CD的長是（）A．3 B．3SKIPIF1<0 C．6 D．6SKIPIF1<05．如圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB于點E，已知CD=4，AE=1，則⊙O的半徑為______．6．已知⊙O中，弦AB=24cm，圓心到AB的距離為5cm，則此圓的半徑等于_______cm.7．如圖，CD為⊙O的直徑，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，則AB=______cm．8．如圖，如AE是⊙O的直徑，半徑OD垂直于弦AB，垂足為C，AB=8cm，CD=2cm，則BE=．9．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于點C，則OC=_____．題組B能力提升練1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，則SKIPIF1<0的度數(shù)為____________．2．如圖，P為⊙O的弦AB上的點，PA=6，PB=2，⊙O的半徑為5，則OP=______．3．如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑OC⊥AB于點D，若AB＝6cm，OD＝4cm，則⊙O的半徑為_____cm．4．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，連接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，則⊙O的半徑為______cm．5．如圖所示，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=10cm，OM：OC=3：5，求弦AB的長．6．如圖，在⊙O中，直徑AB=10，弦CD⊥AB，垂足為E，BE=2，求弦CD的長．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，⊙SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為弦，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交⊙SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求弦SKIPIF1<0的長．2．如圖，四邊形ABCD是矩形，以AD為直徑的⊙O交BC邊于點E、F，AB=4，AD=12.求線段EF的長.3．如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，拱高SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，當洪水泛濫到跨度只有SKIPIF1<0時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，試通過計算說明是否需要采取緊急措施.