人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步講義第24課弧、弦、圓心角、圓周角（原卷版）

第24課弧、弦、圓心角、圓周角目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解圓心角、圓周角的概念；2.理解圓周角定理及其推論，能靈活運(yùn)用圓周角的定理及其推理解決有關(guān)問題；3.掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對(duì)應(yīng)相等，及其它們?cè)诮忸}中的應(yīng)用．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01弧、弦、圓心角的關(guān)系1.圓心角定義

如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣叫做圓心角．

2.定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的相等，所對(duì)的也相等．

3.推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的相等，所對(duì)的也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的相等，所對(duì)的也相等．

要點(diǎn)詮釋：

(1)一個(gè)角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征.

(2)注意定理中不能忽視“”這一前提.知識(shí)點(diǎn)02圓周角1.圓周角定義：

像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在，并且兩邊都與圓的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：

在同圓或等圓中，所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的．

3.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是，90°的圓周角所對(duì)的弦是．

要點(diǎn)詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在中.

4.圓內(nèi)接四邊形：（1）定義:圓內(nèi)接四邊形：，叫圓內(nèi)接四邊形．（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形，外角等于（即它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對(duì)角）．5.弦、弧、圓心角、弦心距的關(guān)系：在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等，(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對(duì)應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對(duì)的弧也分別相等).*如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等.能力拓展能力拓展考法01圓心角、弧、弦之間的關(guān)系及應(yīng)用【典例1】已知：如圖所示，⊙O中弦AB＝CD．求證：AD＝BC．【即學(xué)即練1】如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CM⊥AB，DN⊥AB．求證：．考法02圓周角定理及應(yīng)用【典例2】如圖，OA、OB是⊙O的半徑且OA⊥OB，作OA的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)C、D，連接CB、AB．求證：∠ABC=2∠CBO．【即學(xué)即練2】如圖，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°則弦AB所對(duì)的圓周角是.【典例3】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點(diǎn)，則∠1+∠2=___________.

【即學(xué)即練3】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，則∠D=．【典例4】已知，如圖，⊙O上三點(diǎn)A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，試求⊙O的直徑長(zhǎng).

【即學(xué)即練4】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，則⊙O的半徑為（）．A． B．4C．D．5分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，AC是⊙O的直徑，弦AB//CD，若∠BAC=32°，則∠AOD等于（）A．64° B．48° C．32° D．76°2．如圖，弦AB，CD相交于E點(diǎn)，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，則∠AOD等于（）A．37° B．74° C．54° D．64°3．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BOD=138°，則它的一個(gè)外角∠DCE等于（）A．69° B．42° C．48° D．38°4．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圓O的直徑，BD交AC于點(diǎn)E，連接DC，則∠AEB等于（）A．70°B．110°C．90°D．120°5．如圖所示，∠1，∠2，∠3的大小關(guān)系是（）A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠3＞∠1＞∠2

C．∠2＞∠1＞∠3 D．∠3＞∠2＞∠16．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連接OC、BD，若∠AOC=110°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．35° B．46° C．55° D．70°7．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6，則∠D=度．題組B能力提升練1．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長(zhǎng)為_____．2．如圖所示，在⊙O中，直徑MN＝10，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在PM以及⊙O的半徑OM，OP上，并且∠POM＝45°，則AB的長(zhǎng)為_______．3．如圖,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC為⊙O的直徑,則∠A+∠B+∠C=________度.4．如圖所示，C，D是半圓O上的兩點(diǎn)，AB是圓O的直徑，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E．AB=SKIPIF1<0，BC=SKIPIF1<0，求AD的長(zhǎng)．5．如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為_________．6．如圖，半圓O的直徑AB＝10，有一條定長(zhǎng)為6的動(dòng)弦CD在弧AB上滑動(dòng)（點(diǎn)C、點(diǎn)D分別不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），點(diǎn)E、F在AB上，EC⊥CD，F(xiàn)D⊥CD．（1）求證：EO＝OF；（2）聯(lián)結(jié)OC，如果△ECO中有一個(gè)內(nèi)角等于45°，求線段EF的長(zhǎng)；（3）當(dāng)動(dòng)弦CD在弧AB上滑動(dòng)時(shí)，設(shè)變量CE＝x，四邊形CDFE面積為S，周長(zhǎng)為l，問：S與l是否分別隨著x的變化而變化？試用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)直接寫出它們的函數(shù)解析式及函數(shù)定義域，以說明你的結(jié)論．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O為△ABC的外接圓，D為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，CE⊥AD于E，求證：AE=BD+DE．2．如圖所示，AB是⊙O的直徑，C為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，交AE于點(diǎn)F，連接AC，求證：AF＝CF．3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC長(zhǎng)為SKIPIF1<0，弦AC長(zhǎng)為2，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求AB和AD的長(zhǎng)．4．在等邊△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連結(jié)FG．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長(zhǎng)線過點(diǎn)C時(shí)，連接DG，則線段DG的長(zhǎng)為；②如圖2，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合，GF延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，則SKIPIF1<0＝．5．問題背景：如圖①在四邊形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0探究線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系．小楊同學(xué)探究此問題的思路是：將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0處點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別落在點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0處（如圖②），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0易證點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在同一條直線上，并且SKIPIF1<0是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0，從而得出結(jié)論SKIPIF1<0簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）在圖①中，直接利用小楊得出的結(jié)論，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．（2）利用小楊同學(xué)探究圖②問題提供的思路，解決③圖中的問題．如圖③，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0求證：SKIPIF1<0．拓展延伸：（3）如圖④，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0