正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性

nlnnnlnn正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性真正反映思維過(guò)程的文章，比八股式論文要和諧可親得多，而且對(duì)思維訓(xùn)練更有幫助，可惜，這種文章只能藏在文庫(kù)中。作感言n

1na．a(chǎn)散．a(chǎn)斂．．

aa

發(fā)散收斂alim[nlngnan(lnnlnnln1n

aa

lna

ln

lna

lnn

現(xiàn)在開(kāi)始討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性面寫得很亂的東西有清掉它為它是問(wèn)題的核心，記錄著思維的真實(shí)，保持原樣挺美的。

a

n

（

n

）被稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這個(gè)定義有點(diǎn)狹隘，因?yàn)榧?jí)數(shù)的收斂性不受去掉或增加n有限項(xiàng)的影響只要從某項(xiàng)開(kāi)始面全部項(xiàng)都是

n

就夠看成正項(xiàng)級(jí)數(shù)了數(shù)列

a

寫成函數(shù)形式

f(n)n

可以拓展解決問(wèn)題的視野，比如

f(n

的收斂性和

f(x)

的收斂性，有著極為密切的關(guān)系，假定

fx

na很多時(shí)候，收斂性是相同的，比如單調(diào)的時(shí)候不調(diào)也不怕因級(jí)數(shù)和義積分的收斂都與前面有限部分的情況沒(méi)什么關(guān)系值點(diǎn)是單調(diào)性改變的地方，如果只有有限個(gè)極值點(diǎn)，在右邊足夠遠(yuǎn)的區(qū)間里，函數(shù)必然單調(diào)，而這足夠肯定兩收斂性相同只要有限個(gè)極值點(diǎn)，很多時(shí)候這已經(jīng)夠用了。如果是無(wú)窮個(gè)極值點(diǎn)也是沒(méi)有作為，只存在經(jīng)過(guò)極少值點(diǎn)的函數(shù)過(guò)大值點(diǎn)的函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，對(duì)這兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行類似討論能決絕大部分問(wèn)題當(dāng)，如果這兩個(gè)函數(shù)無(wú)論走多遠(yuǎn)都相距很遠(yuǎn)能我們的幫助就非常有限不過(guò)沒(méi)有必要為此擔(dān)心初等函數(shù)中只要不是周期數(shù)足夠遠(yuǎn)的區(qū)間里可以當(dāng)作是單調(diào)的也就是說(shuō)，上面所說(shuō)的級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性是相同的積分可以求原函數(shù)手比級(jí)數(shù)靈活，借廣義積分研究級(jí)數(shù)收斂性是極為重要的渠道原始的級(jí)數(shù)收斂性非得借助廣義積分不可。比如

-級(jí)數(shù)

n

1n

，其實(shí)就是通項(xiàng)為冪函數(shù)的級(jí)數(shù)，其收斂性完全清楚，另一個(gè)完全清楚的級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)

a

n

實(shí)是通項(xiàng)為指數(shù)函數(shù)的級(jí)數(shù)兩個(gè)最基本的級(jí)數(shù)。n后面演繹的常見(jiàn)判斂方法，都與這兩者有關(guān)。比如，常見(jiàn)的比值盼斂，根值判斂，本質(zhì)上是用等比級(jí)數(shù)作參照的比數(shù)斂或發(fā)散很快判級(jí)數(shù)范圍并不大貝斂是以

-級(jí)數(shù)作參照得出的，由于

-級(jí)數(shù)斂或發(fā)散比等比級(jí)數(shù)要慢，因而可判的級(jí)數(shù)范圍要廣很多。有沒(méi)有比

-級(jí)數(shù)還要遲鈍的級(jí)數(shù)？當(dāng)然有，如

n

1nln

，高斯判斂就是以這個(gè)級(jí)數(shù)作參照的。不過(guò)，無(wú)論哪種極限判別，都有判據(jù)為時(shí)所作為的遺憾。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的方便之處在于級(jí)數(shù)的收斂性等價(jià)于其部分和數(shù)列的有界性準(zhǔn)確說(shuō)是否有上界因其部分和數(shù)列是單調(diào)遞增的由于這個(gè)原因若

n

則

n

的部分和有上界，必可得到

a

的部分和有上界，故收斂是小看大，大的收斂，小的一定收斂。這個(gè)命題的等價(jià)命題是：發(fā)散大看小，小的發(fā)散，大的必然發(fā)散。這種通過(guò)不等式比較兩個(gè)數(shù)列，從而得出收斂性判定，很基礎(chǔ)，但不方便，因?yàn)椴坏仁降姆趴s不是件容易的事情。用極限比較是個(gè)不錯(cuò)的主意為極限雖然是一個(gè)數(shù)這個(gè)數(shù)和數(shù)列某項(xiàng)以后的無(wú)窮項(xiàng)有著很好的大小關(guān)聯(lián)性，而級(jí)數(shù)收斂性則只與某項(xiàng)以后無(wú)窮項(xiàng)有關(guān)。bnnbnnal）據(jù)極限定義，有nn

a,Nbn即

N:(l

baln

)bn如果

l

，由于

的任意性，選取

使得

l

為正沒(méi)有任何問(wèn)題。若

bn

發(fā)散，nl

lnn

n

的左邊不等式說(shuō)明

a

n

，若

bn

收斂，其右邊不等式則說(shuō)明n

a

n

收斂。這個(gè)兩邊夾不等式，確保

a

n

，

bn

收斂性相同。當(dāng)

l

，這個(gè)兩邊夾不n

n

n等式的左邊失靈了，因?yàn)樗许?xiàng)非正，不過(guò)右邊不等式仍然可用，即可以n

bn

收斂判斷

a

n

收斂，但無(wú)法由

bn

發(fā)散判斷

a

n

發(fā)散。n

n

n這個(gè)極限比較判斂，需要知道其中一個(gè)的收斂性，當(dāng)l時(shí)可以肯定另個(gè)有同樣的收斂性，但l時(shí)只可由

bn

收斂判斷

a

n

收斂，或者由

a

n

發(fā)散判斷

bn

發(fā)散。nnl剛顛倒。a有時(shí)候l存在，也不是只要limn

存在，這相當(dāng)于

n

n

0,N:lbaln

)n故

an與nbnb

判定方法完全一樣，但前者有更好的適應(yīng)性。這種事先要知道一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂性的要求還是有點(diǎn)不方便，如何找那個(gè)事先知道的級(jí)數(shù)？能否通過(guò)數(shù)列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后兩項(xiàng)相比什么消息？還是用極限方法：

annn

，由極限定義，得mmmannanmmmannan

a,Nan變成

0,N:(l

an

n

l

a

n這不會(huì)提供任何有效信息，因?yàn)槿魏我贿叾际俏粗?。由極限定義得到

aN:lnan先假設(shè)

l

，適當(dāng)選取

可保

l

，不等式取對(duì)數(shù)：l

n

lnln

再取和：

ln(l

)

(ln

n

)n

ln(l

)n

n

n即

la

m

lna

N

l故

ml

lna

N

a

ml

ln

N取指數(shù)：

a

N

(l

)

m)

m

a

N

(l

)

m)當(dāng)

變化時(shí)，上面不等式兩端都等數(shù)，其級(jí)數(shù)的收斂性完全由公比確定，

a

m

的收斂性完全由兩端的等比級(jí)數(shù)確定任性

0

則可以確保

0

l

。若l，可以確保

l

l

。根l，分得出

a

n

收斂和發(fā)n散。當(dāng)l時(shí)，這個(gè)方法失效，無(wú)從給出判定。當(dāng)l時(shí)，不等式a

N

(l)

a

N

(l)右半部分還是可用的，而這足夠了，選定

l

，可以確定

a

n

收斂。于是有

n

nn，0收斂，若l發(fā)散。l，確定。an在這里

annn

可以替換成

ann

，結(jié)論一樣。不過(guò)適用性更廣。知道這個(gè)

l

的實(shí)質(zhì)是等比數(shù)列的公比是有價(jià)值的。這個(gè)判別方法不過(guò)是用等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)判斷級(jí)數(shù)的收斂性，能判的范圍很有局限性，比如

l

的時(shí)候，就不靈了。mmmmmmmmmmmmmm根值法

limn

n

n

和比值法雖然計(jì)算上有點(diǎn)區(qū)別，但實(shí)質(zhì)仍然是以等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)判斷收斂性而結(jié)論完全一樣過(guò)據(jù)不同表達(dá)式采用不同判別法計(jì)上會(huì)有各自的特點(diǎn)。當(dāng)

annn

時(shí)，咋辦？一般說(shuō)來(lái)，想比不如相減方便，故

annn

可等價(jià)寫成lnn

anan

了后面表述上的一致性更主要用

aln示nnannn

。這樣提問(wèn)，也許能幫我們引向問(wèn)題的解決：我們需要什么樣的一個(gè)函數(shù)

(n)，使得limn

an,)an

，而根據(jù)

l

的范圍，便可給出的斂性判定？還是nn

n

(ln

an,)an

本身尋找答案，其極限定義為

N:|

a(lnn,)an即

N:l

an,nan求解

n)

的反函數(shù)，我們假設(shè)它仍能維持不等式的兩邊夾，于是l

a,)lnnan

,n即

(l

,n)lnn

n

l

,n)取和：

l

,n

(lnlna)nn

l

,)n

n

n即

l

,na

N

ln

m

l

,)n

nlna

N

(lln

N

l)n

nmme

lna

(l

m

lna

(l顯然，

a

n

的收斂性由

e

lna

(l

,

ln

(l

的級(jí)數(shù)收斂性確定討收斂性n常數(shù)

a

N

可以不作考慮，于是，只要討論

e

(l

,

,

(l

,n)

的級(jí)數(shù)收斂性即可。這兩個(gè)級(jí)數(shù)只是

l

l

，我們暫時(shí)抹掉這種差異，用l代這兩者，于是，我們關(guān)注

l,n)

究竟是什么？可以充當(dāng)級(jí)數(shù)收斂性的判定標(biāo)準(zhǔn)？目前我們只能用等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)，能用p-級(jí)數(shù)

n

1n

嗎？也就是e

ln)

1ml

（為了左右一致，將換成l，成）即

e

ln)

1m

m于是

l,n)lnmn考慮到級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設(shè)

l,n)dnm對(duì)求，得到于是

(lm)

lalnnn即

ln

anana|lnanannmannm故

limn

anan

,n

可選為

a1lnl為p級(jí)數(shù)的napnn

值l

l

都可保持大于，ll以保持和l同的范圍，故這兩情況，

a

n

的收斂性n和

-級(jí)數(shù)

nn

的收斂性判定完全相同

l

時(shí)候l

肯定無(wú)法保持為1nlnn，l時(shí)，收，當(dāng)l時(shí)，發(fā)，l，確定。nannn在

alnnnan

的情況下，

alnnan

aan，limlnnan

可換成(n

anan除了用

-級(jí)數(shù)

nn

作標(biāo)準(zhǔn)，還可以用別的嗎？可以，柯西選擇了級(jí)數(shù)

n

1nl即

e

ln)

1

l

m

lnlnm于是

l)lnn考慮到級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設(shè)

(l,n)lnlnmm對(duì)

求導(dǎo)，得到

(l,m)

llnm于是(

ll)lnn)nlnnnn即

n

an)lnan1an1ana|(nlnlnan故

n

(ln

an)an

可選為

lim(lnn

anan

中l(wèi)的參數(shù)l，nlnl

都可保持大于，l

，l

同樣可以保持和

l

同樣的范圍故這兩種情況，

a

n

的n收斂性和級(jí)數(shù)

n

1nl

的收斂性判定完全吻合，可l候，l法持為。lim(nlnn，當(dāng)l時(shí)收，當(dāng)l時(shí)nn

a

n

發(fā)散。在

alnnnan

的情況下，

alnnan

anan

，故

alim(nlnnnn

可換成alim(nn1)lnnnan這是因?yàn)?/p>

alim(nlnnnan

等價(jià)于a(nln)()aal11lnn()alnnlnnannanal1()alnnnlnna(n1)ln(1)ann

an1)lnnanmannmann對(duì)于最初知道的比值判斂法，其實(shí)也可以按照上面的方式尋找到，即用等比級(jí)數(shù)

l

n

作標(biāo)n準(zhǔn)。

)

lnl于是

l,)ln考慮到級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設(shè)

(l)lnl對(duì)

求導(dǎo)，得到

(l,)