第十二章 套利定價模型

第十二章套利定價模型I【學(xué)習(xí)要點及目標(biāo)】了解套利定價理論的來源，掌握套利定價理論的假設(shè)條件和線性因子模型。掌握套利組合的定義。掌握精確單因子模型和精確多因子模型。理解極限套利的定義和極限套利情形下APT的證明。了解極限套利與市場均衡的關(guān)系。您【核心概念】套利定價理論線性因子模型因子風(fēng)險因子載荷系數(shù)特異性風(fēng)險套利組合精確因子模型精確單因子模型精確多因子模型因子風(fēng)險溢價極限套利近I【引導(dǎo)案例】宏觀經(jīng)濟變量對投資收益的影響宏觀經(jīng)濟因素作為經(jīng)濟總體狀況的代表，對投資收益的改變有明顯影響。一家公司的股票價格反映的是投資者依據(jù)收益、現(xiàn)金流量等對公司業(yè)績所做的預(yù)期，而公司業(yè)績受整體經(jīng)濟運行狀況的影響。股票價格和整體經(jīng)濟之間存在密切關(guān)系。宏觀經(jīng)濟狀況最終影響到所有的行業(yè)和公司。國內(nèi)宏觀經(jīng)濟因素對上市公司業(yè)績具有重要影響。股票收益取決于投資公司的收益情況，而公司的經(jīng)營狀況又與所處的經(jīng)濟和行業(yè)環(huán)境密切相關(guān)不管公司自身的資產(chǎn)狀況及技術(shù)、管理水平多么優(yōu)良，經(jīng)濟和行業(yè)環(huán)境都會對公司的成功及股票的實際收益率產(chǎn)生重大影響。比如，在2003年年初擁有國內(nèi)鋼鐵公司的股票并持有到2004年年初，2002年年底開始的投資增長使國內(nèi)經(jīng)濟處于快速擴張期，各種生產(chǎn)資料供不應(yīng)求，鋼鐵價格逐級上漲，這家公司的銷售額和收益率都會隨之上漲，這只鋼鐵股票的股價必然上漲，投資收益也會有較大增長。相反，如果是在2004年宏觀調(diào)控之后購入鋼鐵股票，并一直持有至今，因經(jīng)濟過熱得到抑制，鋼鐵價格一路下滑，股票的收益自然會下降?？傊?，沒有哪個公司或行業(yè)能避免受到宏觀經(jīng)濟環(huán)境的影響。因此，在評估證券的未來價值時，應(yīng)首先分析宏觀經(jīng)濟因素。（資料來源：徐鈞.多因素模型在中國股市的應(yīng)用研究[D].濟南：山東大學(xué)博士學(xué)位論文，2006:69）【案例導(dǎo)學(xué)】資產(chǎn)的收益率是各種因素綜合作用的結(jié)果，受到宏觀經(jīng)濟變量諸如GDP的增長、通貨膨脹的水平、市場利率變化水平等因素的影響，并不僅僅只受證券組合內(nèi)部風(fēng)險因素的影響。由此產(chǎn)生了更合理和易于為人們接受的證券收益的多因素模型，這就是本章要講的套利定價模型。第一節(jié)資產(chǎn)收益風(fēng)險的因子模型一、 套利定價理論簡介在資本資產(chǎn)定價模型中，一個風(fēng)險證券相對于市場組合的P系數(shù)，完全刻畫了這只風(fēng)險證券對于投資者所持證券組合風(fēng)險程度的貢獻。資本資產(chǎn)定價模型的成立依賴于對投資者的偏好和證券收益率的嚴(yán)格假設(shè)，這些假設(shè)過于嚴(yán)格，與現(xiàn)實不符。正因為CAPM的局限性促使了APT(套利定價理論模型)的產(chǎn)生和發(fā)展。羅斯(Ross，1976)給出了一個以無套利定價為基礎(chǔ)的多因素資產(chǎn)定價模型，也稱套利定價理論模型(ArbitragePricingTheory，APT)。該模型由一個多因素收益生成函數(shù)推導(dǎo)而來，其理論基礎(chǔ)為一價定律(TheLawofOnePrice)，即兩種風(fēng)險-收益性質(zhì)相同的資產(chǎn)不能按不同價格出售。該模型推導(dǎo)出的資產(chǎn)收益率取決于一系列影響資產(chǎn)收益的因素，而不完全依賴于市場資產(chǎn)組合，而套利活動則保證了市場均衡的實現(xiàn)。同時，APT的假設(shè)相對于CAPM更為寬松、更接近實際，從而較CAPM具有更強的現(xiàn)實解釋能力。二、 套利定價理論的假設(shè)條件【假設(shè)12-1】 資本市場上任意資產(chǎn)的收益率與若干因素線性相關(guān)，風(fēng)險資產(chǎn)，的收益率由K因子模型生成，即r=E(r)+Pf+Pf+?，?+0f+￡i i i11 i22 iKKi頊~ (12-1)=a+2Pf+￡ i=1,2,…,Nk=1式中：ai=E(~)為第i項金融資產(chǎn)的預(yù)期收益率。fk(k'=1,2：…,K)是影響資產(chǎn)收益率的隨機變量(因素)，反映了資產(chǎn)所包含的由K個風(fēng)險因子所描述的風(fēng)險。需要強調(diào)的是，這些風(fēng)險因子對所有資產(chǎn)而言都是共同的，它們反映了系統(tǒng)風(fēng)險，因此，稱為因子風(fēng)險(FactorRisk)。

pik是資產(chǎn)i對因素k的敏感度(或稱為資產(chǎn)i所包含的第k個因子風(fēng)險的大小)，稱為資產(chǎn)i對因素k的因子載荷系數(shù)(FactorLoading)。~是殘差項，描述的是與因子風(fēng)險無關(guān)的剩余風(fēng)險，由第i項金融資產(chǎn)的特殊性質(zhì)所決i定，反映了資產(chǎn)的非系統(tǒng)風(fēng)險，稱為資產(chǎn)i的特異性風(fēng)險(IdiosyncraticRisksorResidual)o對于上述生成函數(shù)，模型假定如下。隨機誤差項與因子風(fēng)險的期望值為零，即E(~)=E(~)=0,Vk,i。任意兩種資產(chǎn)的隨機誤差項之間、各項因子風(fēng)險之間:因子風(fēng)險與隨機誤差項之間相互獨立，即cov(8,8)=cov(f,f)=cov(f,8)=0,Vi豐j,l豐kij lk ki各風(fēng)險資產(chǎn)的非系統(tǒng)風(fēng)險的方差是有界的，即E(~2)22<a2,Vi。ii 一* .、……一、一……一一?因子風(fēng)險平萬的期望值為1，即E(f2)=1,Vk。k假設(shè)12-1是APT的核心假設(shè)。【假設(shè)12-2】所有投資者具有同質(zhì)預(yù)期，即對*、。『￡的預(yù)期完全相同?！炯僭O(shè)12-3】資本市場為完全競爭市場、無摩擦的。*【假設(shè)12-4】投資者為非厭足的，當(dāng)投資者發(fā)現(xiàn)套利機會時，他們會構(gòu)造盡可能多的套利組合來賺錢，直到市場均衡?！炯僭O(shè)12-5】經(jīng)濟中存在的風(fēng)險資產(chǎn)數(shù)量N比因素的數(shù)目K要大得多。與CAPM模型的假設(shè)比較起來，APT沒有對個體風(fēng)險偏好做任何假設(shè)。從以上假設(shè)可以推斷出所有因子載荷系數(shù)相同的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的期望收益率是相同的；否則就會存在第二類套利機會，市場就不會均衡，投資者就會構(gòu)造套利組合來消除這種套利機會，從而使市場達到均衡。這就是APT的核心所在。三、線性因子模型套利定價理論(APT)建立在線性因子模型(或稱線性指數(shù)模型，LinearFactorModel)上,這一模型假設(shè)資產(chǎn)的收益率由若干因素的線性關(guān)系所決定。采用矩陣符號，式(12-1)可以表示為(12-2)r=a+pf+e(12-2)其中fP11P21fP11P21p12P22P1K]P2K"PN1rr)rf:r8rr)rf:r8)J~1J?r，f=f?8r=2:.2，8=.2?Jr"N；"k/足NJ式(12-2)就是線性因子模型的矩陣表示形式。CAPM建立了資產(chǎn)風(fēng)險特別是由市場P值來度量的系統(tǒng)風(fēng)險及其風(fēng)險溢價或期望收益之間的關(guān)系，從這個意義上講，CAPM提供了一個定價模型。這里，希望達到同樣的目的，要建立資產(chǎn)風(fēng)險特別是由因子載荷系數(shù)度量的系統(tǒng)風(fēng)險與其期望收益之間的關(guān)系。也就是說，要找出從｛&.],k=1,2,,N｝到E(~)的映射。Ik i定價的過程實際上就是確/(~)的過程。APT模型給出的E(~)是線性形式，若能證明iiE(~)可以表示成式(12-2)所呈現(xiàn)的線性形式，就可以說明APT理論中線性定價模型的正確性。i線性因子模型式(12-2)與CAPM中的定價公式有明顯的相似之處。它們的出發(fā)點是一樣的，就是把風(fēng)險分解成兩個相加的成分，即系統(tǒng)風(fēng)險和非系統(tǒng)風(fēng)險。然而，它們之間也存在著重要差別。首先，CAPM確定了單一因子風(fēng)險即市場組合收益風(fēng)險，而線性因子模型只是說存在一組因子風(fēng)險卻沒有指明是什么風(fēng)險。其次，CAPM對非系統(tǒng)風(fēng)險的協(xié)方差矩陣沒有限制條件，而線性因子模型則有。第二節(jié) 精確因子模型的套利定價理論一、套利與套利組合套利(Arbitrage)，有時也稱為差價交易。套利就是不承擔(dān)風(fēng)險就能賺取利潤的行為，它利用證券間定價的不一致性進行資金轉(zhuǎn)移，從中獲取利潤。因為根據(jù)定義套利獲取的是無風(fēng)險利潤，所以投資者一旦發(fā)現(xiàn)這種機會就會利用它們賺取無風(fēng)險利潤，隨著投資者套利行為的發(fā)生，這些獲利機會將被消除，使市場達到均衡。現(xiàn)在我們來給出套利組合的正式定義?！径x12-1】 如果一個投資組合xP滿足以下3個條件，即它是一個不需要投資者任何額外資金的組合，即切x=0；i=1套利組合對任何因素的敏感性為0，組合對某一因素k的敏感性恰好是組合中各證券對該因素敏感性的加權(quán)平均，即Pp=2Lx。廣0；i=1套利組合的期望收益率必須為正，即E(r)=￡x.a.〉0。i=1稱符合上述3個假設(shè)條件的證券組合為套利組合。下面舉一個例子來形象地說明套利組合?！纠?2-1】假定投資者擁有3種證券，他所持的每種證券當(dāng)前的市值為3000美元，這樣投資者的投資額為9000美元。這3種證券具有以下的預(yù)期收益率和因子載荷系數(shù)。如表12-1所示，這樣的預(yù)期收益率與因子載荷系數(shù)是否代表一個均衡狀態(tài)？如果不是，證券價格和預(yù)期收益率將怎樣變化來恢復(fù)均衡狀態(tài)。表12-13種證券的預(yù)期收益率和因子載荷系數(shù)資產(chǎn)預(yù)期收益率E(~)/% i 因子載荷系數(shù)P；證券1100.9證券2201.2證券3251.5【解】根據(jù)套利組合的定義，可知一個套利組合(氣,君,％)是下面3個方程的解{X]+X2+X3=00.9氣+1.2X2+1.5X3=00.1x+0.2x+0.25x>0

1 2 3通過計算發(fā)現(xiàn)，滿足這3個條件的解有無數(shù)多個，比如(-0.1，0.2，-0.1)，此時0.1x+0.2x+0.25x=0.005>0因此(-0.1，0.2，-0.1)就是一個套利組合。以此為例，每個投資者都想構(gòu)造套利組合，故都會買入證券2，賣出證券1和證券3。由于每個投資者都采用這樣的策略，這必將會影響證券的價格和收益率，證券2的價格上升收益下降，而證券1和證券3的價格下降收益上升，直到不存在任何套利機會，市場達到均衡。具體來講，該套利組合包括購買1800美元(9000x0.2)證券2，出售900美元(9000x0.1)證券1和900美元(9000x0.1)證券3。該投資組合不需要任何額外資金，沒有任何因素風(fēng)險，卻能帶來正的預(yù)期收益。對套利組合的實際效果，在表12-2中進行了總結(jié)。表12-2套利組合的實際效果原組合套利組合新組合權(quán)重x〔0.333-0.10.2331x.0.3330.20.5332x?0.333-0.10.233性質(zhì)3E(r_) 18333% 05% 18833% pP 1.201.2買賣行為導(dǎo)致套利機會減少最終消失，如果找不到滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，則說明市場均衡。二、精確單因子模型在套利定價理論中，把風(fēng)險分為若干個因子風(fēng)險和特異性風(fēng)險。精確因子模型是指資產(chǎn)的收益僅依賴因子風(fēng)險，而不考慮資產(chǎn)特異性風(fēng)險的套利定價模型，是套利定價理論的一種簡化形式。精確單因子模型不僅不考慮特異性風(fēng)險，而且假設(shè)所有資產(chǎn)的收益僅依賴唯一一種因素。在此假設(shè)下，資產(chǎn)的收益生成函數(shù)為r=以+。fi=1,2,…,N (12-3)首先構(gòu)造一個無風(fēng)險投資組合xp:假設(shè)存在兩項金融資產(chǎn)i和j，且有P.，Pj，P.，0，P了，0。投資組合xp僅包含這兩項金融資產(chǎn)，權(quán)重分別為a和1-a，組合的收益率為r=ar+(1-a)r—a[a.+p,f]+(1—a)[a.+pf]—[a偵+(1—a)a]+[aP+(1—a)P]f要構(gòu)造組合xp為無風(fēng)險投資，'就必須去掉唯一的因子風(fēng)險f，因此選取組合xp中的權(quán)重a的值，使得aP.+(1—a)p.—0i j由此解出a=^匕，從而Pj-Pi?aP—aP七—":這時通過選擇權(quán)重a的值把投資組合中的兩項金融資產(chǎn)的風(fēng)險f互相對沖掉，這樣，就成功構(gòu)造了一個無風(fēng)險投資組合xp。根據(jù)無套利原理，無風(fēng)險投資組合了p的收益率就是無風(fēng)險收益率，即有?aP—aP1—iP—pji三r可以把上面的等式重新寫成 7a—ra—r. ’一八刁疽=節(jié)^三人 (12-4)則人為個體承受單位因子風(fēng)險應(yīng)得的超額收益補償，稱為因子風(fēng)險溢價(FactorRiskPremium)，也就是因子風(fēng)險的風(fēng)險價格。它和具體的金融資產(chǎn)i或j的選擇無關(guān)，只與宏觀因素有關(guān)，這一點可以推廣到所有的單項金融資產(chǎn)i=1,2,...,N。因為對所有的金融資產(chǎn)i=1,2,…,N，都有氣=E(~)。所以，由式(12-4)直接得到E(r)=a=r+。入總結(jié)得出以下定理。 ‘ ‘'‘【定理12-1】 如果資產(chǎn)收益由精確單因子模型式(12-3)描述，那么有E(r)=r+PX (12-5)也就是說，單項金融資產(chǎn)的收益高于無風(fēng)險資產(chǎn)收益的補償(即資產(chǎn)的風(fēng)險溢價)等于它所負載的因子風(fēng)險(由它的因子載荷系數(shù)度量)乘以因子風(fēng)險溢價人。這就是在精確單因子模型下的資產(chǎn)收益的“套利定價理論”。很顯然，精確單因子模型是一個線性模型，自變量是葉，因變量是E(~)，因此在E(~)坐標(biāo)系中為一條直線，如圖12-1所示。 ' ' ；圖12-1精確單因子模型的資產(chǎn)定價線在圖12-1中，對任意證券，因子載荷系數(shù)和期望收益率都應(yīng)該落在這條直線上，如果不落在這條直線上，就必然存在套利機會。證券E就是一個例子，它位于套利定價理論資產(chǎn)定價線之下?？梢赃x取適當(dāng)比例的組合A和C，構(gòu)造一個恰好位于套利定價理論資產(chǎn)定價線上的新組合8，使得Pb=Pe，但組合B的預(yù)期收益率高于組合E，即在B和E之間存在套利機會，投資者會賣空E而購買B。賣空E的結(jié)果是，組合E的價格將下降，進而預(yù)期收益率上升直到它位于套利定價理論資產(chǎn)定價線上為止。同樣，如果組合F位于套利定價理論資產(chǎn)定價線之上，套利的力量會使其預(yù)期收益率下降，直到它落到這條線上為止。三、精確多因子模型精確多因子模型是不考慮特異性風(fēng)險，所有資產(chǎn)的收益僅依賴若干因素的定價模型。在此假設(shè)下，資產(chǎn)的收益生成函數(shù)采用向量和矩陣的記號表示為r=r=a+Bf(12-6)其中Jr2，a=p]a2=:E只1E(Jr2，a=p]a2=:E只1E(?/)la)' ATZlE(j))r=1K12fP11P21pp22...p...p2K...pNK1^f1J，f=f：2)l/)pN2現(xiàn)在來觀察一個套利組合X，滿足：XTI=0，說明在t=0時期用于購置資產(chǎn)組合的貨幣資金量為0。xtp=0，意味著在這個組合中，風(fēng)險已經(jīng)被對沖掉。根據(jù)無套利原理，到t=1時期，任意狀態(tài)下這個零投資、零風(fēng)險組合的收益率必為零，否則就會出現(xiàn)套利機會。采用式(12-6)，這個組合的收益率為xtr=xTa+xtpf=xTa=0綜上所述，對于精確多因子模型，不存在套利機會意味著Vx:xtI=0,xtp=0nxTa=0p11p.21(12-7)令*={x:x11,x1Pk,j=1,2,…,K},Pk指矩陣P=P12P22P1K]...p2K的第k列，不存在套利機會時，由式(12-7)知a±Z，所以a落在由量I,p1,p2,…,pk所組成的線性空間里。這樣就有a=XI+/pk人，把它寫成非向量形式就是a=人+吱p人。因為對所0 k i0 ikkk=1 k=1有的金融資產(chǎn)i=1,2,,N，都有氣=E(~)。所以，直接得到E(~)=氣=?+￡。沃氣。k=1總結(jié)得出以下定理。【定理12-2】給定共有K個因素的精確多因子模型，不存在無風(fēng)險套利機會意味著(12-8)E(~^電+^叩k(12-8)k=1"=1,2,…,K)，是因子k的因子風(fēng)險溢價，它和第k項宏觀經(jīng)濟因素相聯(lián)系。另外，如果存在無風(fēng)險資產(chǎn)，就應(yīng)該有七=[。這就是精確多因子模型的套利定價理論模型。對于精確多因子模型的套利定價理論而言:單項金融資產(chǎn)的收益高于無風(fēng)險資產(chǎn)的收益補償（即資產(chǎn)的風(fēng)險溢價）等于它所負載的因子風(fēng)險（由它的因子載荷系數(shù)度量）乘以因子風(fēng)險溢價的和。作為精確多因子模型的一個例子，可以考慮一個精確雙因子模型?！纠?2-2】假定證券的回報率可由精確雙因子模型產(chǎn)生，4種證券的預(yù)期收益率和因子載荷系數(shù)如表12-3所示。這樣的預(yù)期收益率與因子載荷系數(shù)是否代表一個均衡狀態(tài)？如果不是，證券價格和預(yù)期收益率將怎樣變化來恢復(fù)均衡狀態(tài)。表12-34種證券的預(yù)期回報率和因子載荷系數(shù)資產(chǎn)預(yù)期收益率E（~）/% i 因子載荷系數(shù)Pi1因子載荷系數(shù)Pi2證券1150.92.0證券2213.01.5證券3121.80.7證券482.03.2【解】一個套利組合（氣,X2,%）是下面4個方程的解：廣X]+X2+X3+X4=0I0.9氣+3x2+1.8X3+2X4=02氣+1.5X2+0.7X3+3.2X4=0115x+21x+12x+8x>0通過計算發(fā)現(xiàn)，滿足這4個條件的解有無數(shù)多個，比如（0.1，0.088，-0.108，-0.08），此時15x+21x+12x+8x=1.412>0因此（0.13.088：-0.108，-0.08）就是一個套利組合。以此為例，該套利組合不需要任何額外資金，沒有任何因素風(fēng)險，卻能帶來正的預(yù)期收益。每個投資者都想構(gòu)造這樣的套利組合，故都會買入證券1和證券2，賣出證券3和證券4。由于每個投資者都采用這樣的策略，這必將影響證券的價格和收益率，證券1和證券2的價格上升收益下降，而證券3和證券4的價格下降收益上升，直到不存在任何套利機會，市場達到均衡。即當(dāng)滿足前面3個等式的組合的預(yù)期回報率為0時，市場達到均衡。如果找不到滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時存在非負的常數(shù)入、入、入，使得0 1 2預(yù)期回報率和敏感性之間滿足以下線性關(guān)系：E（~）=X+PX+PX，即精確雙因子模型i0 i11 i22的套利定價模型。第三節(jié)極限套利和套利定價理論一、特異性風(fēng)險與極限套利精確因子模型(第二節(jié))和一般的線性因子模型(第一節(jié))相比較，在精確因子模型中，未考慮特異性風(fēng)險。因此，在存在特異性風(fēng)險的情況下，上述線性的套利定價公式是否適用？在精確因子模型中，可以用K個因子組合來完全復(fù)制其他資產(chǎn)的收益，從而由無套利原理立即可以得到APT給出的定價關(guān)系。但在一般的因子模型中，因子組合只能復(fù)制一個資產(chǎn)的因子風(fēng)險部分，而不能復(fù)制或消除特殊風(fēng)險的部分。一般來說，如果每種資產(chǎn)都有自己的特異性風(fēng)險，則無法通過構(gòu)造無風(fēng)險套利組合的方法來確定套利定價關(guān)系，也就不能給出無套利定價條件。但是，如果因子的個數(shù)遠遠小于資產(chǎn)的個數(shù)，那么可以使用多種資產(chǎn)來構(gòu)造組合以分散每個資產(chǎn)的特異性風(fēng)險。所以，從直覺上講，如果經(jīng)濟中存在的資產(chǎn)種類足夠多，對這些資產(chǎn)做適當(dāng)?shù)姆稚⑼顿Y，所得的資產(chǎn)組合可將各項資產(chǎn)的特異性風(fēng)險降至接近于零的水平。而且，概率論中的大數(shù)定理表明，如果經(jīng)濟中的風(fēng)險資產(chǎn)數(shù)目充分大，且不同資產(chǎn)的特異性風(fēng)險是不相關(guān)的。那么，當(dāng)每種資產(chǎn)上的投資額都很小時，組合投資中各資產(chǎn)的特異性風(fēng)險幾乎為零。這樣，對于充分分散化的投資組合來說，特異性風(fēng)險實際上就不再發(fā)生作用，就可以仿照精確因子模型的做法進行套利定價。這就是 極限套利(LimitingArbitrage)o下面正式給出極限套利的定義?！径x12-2】在一個有n種風(fēng)險資產(chǎn)的經(jīng)濟中，如果一個包含所有風(fēng)險資產(chǎn)的套利組合X(n)，滿足：X(n)TI=0；limx(n)ta(n)t8〉0；nsVar[x(n)tr(n)]t0。其中a(n)=(%a廣,a)t=(E({),E(匕),…,E(F))t是組合x(n)中金融資產(chǎn)的收益率均值向量，r(n)=("{.?.?是組合X(n)中金融資產(chǎn)的n攵益率向量，則稱X(n)是一個極限套利組合(系列)，稱此時存在極限套利機會(LimitingArbitrageOpportunity)。在極限套利的定義中，當(dāng)n越來越大時，組合x(n)就變成一個風(fēng)險充分分散化的投資組合。條件(1)說明組合x(n)零投資；條件(2)說明組合的收益率為正；條件(3)說明組合的收益率幾乎是確定性的。綜合3個條件，說明組合x(n)在零投資的情況下，卻可以獲得確定性的正收益率，這就在極限意義下符合套利的定義。如果存在極限套利機會，則表明個體可以不花費正的投資成本，僅承擔(dān)可以忽略的風(fēng)

險情況下獲得可觀的收益。二、極限套利下的APT下面利用極限套利的定義來證明當(dāng)資產(chǎn)組合中的資產(chǎn)種類無限增加時，對絕大多數(shù)的證券來講，組合中各證券的特異性風(fēng)險將趨近于零，從而得到在考慮特異性風(fēng)險條件下的多因素線性定價公式，即它們的預(yù)期收益率之間近似地存在線性關(guān)系。當(dāng)存在特異性風(fēng)險的時候，精確因子模型不成立，但可以通過極限套利得到以下定理?！径ɡ?2-3】如果風(fēng)險資產(chǎn)收益率由K因子模型給出，即(12-9)r=a+乙0f+s=a+0f+￡i=1,2,…，n,…(12-9)ii ikkiiiik=1其中P=(P,0其中P=(P,0，…,P)，f=(f,f，…,f)T，并且特異性風(fēng)險礦有界。在不存在極限i i1i2 iK 12k i套利機會的情況下，就存在一個與n無關(guān)的常數(shù)A，使得Vn,3X(n),人(n)=(人(n),人(n),???,人(n))t,有￡(a(n)—人(n)—0(n)j(n))2WAi=1其中人(n),人(n)=(*),巡)，…,偵)T是近似的因子風(fēng)險溢價。這個定理說明，對于各項金融資產(chǎn)的預(yù)期收益率而言，2可以找到近似的各個因子的風(fēng)險溢價來進行無套利定價，使總的定價誤差為有限值。也就是說，在這里，利用套利定價理論所得到的近似的定價結(jié)果，使對各項資產(chǎn)的預(yù)期收益率的偏離值很小。如果采用比較精確的數(shù)學(xué)語言來說明，令A(yù)(n)=|a(n)—人(n)—0(n)人(n)| (12-10)i i0i則力(n)就是采用套利定價理論對第i項資產(chǎn)定價的誤差。定理12-3指出，Ve>0，采用i套利定價理論的定價誤差4〃)>s的資產(chǎn)所占比例要小于A/(ns2)。i卜面來證明定理12-3。證明：記a(n)=(a(n),a(n),…，a(n))T，P21012P22…P)1K...02KT。將a(n)投(12-11)(12-12)(12-11)(12-12)影到I和0(n)上，就得到a(n)=XI+0(n)人(n)+A(n)其中A(n)=(A(n),A2n)，…,A：〃))t。因為是正交分解，顯然有

A(n)TI=0A(n)T0(n)=0T。目標(biāo)就是要證明：如果不存在極限套利的機會，則

Q(n)=A(n)TA(n)=E(a(n)-X(n)-0(n)人(n))2在n—8時有界。下面用反證法證明。i=1假設(shè)當(dāng)nT8時，Q(n)—8。考慮套利組合序列X(n)=h(n)A(n)，從式(12-12)可以直接得到h(n)A(n)TI=0h(n)A(n)T0(n)=0 (12-13)其中h(n)是一個與n有關(guān)的待選常數(shù)。式(12-13)的第一式也恰好說明X(n)=hn)A(n)是套利組合(參見關(guān)于套利組合的定義12-1)，由第二式則可知道，這樣的套利組合已經(jīng)不受各個風(fēng)險因素的影響，即這個組合在所有因子風(fēng)險上的載荷都為0。套利組合X(n)的預(yù)期收益率為U(n)=E[X(n)Tr(n)]~ =~~h(n)A(n)TQ(n)(12-14)r(n)=a(n)+0(n)f+￡(n)(12-14)E[e(n)]=0= h(n)A(n)TA(n)=h(n)Q(n)式(12-11)、式(12-13)套利組合X(n)的收益率方差為Q(n)2~ =~~Var[h(n)A(n)TS(n)=(h(n))2Var[A(n)Tg(n)](12-15)r(n)=a(n)+P(n)f+￡(n)(12-15)式(12-11)、式(12-13)=(h(n))2A(n)TZA(n)W(h(n))2Q(n)Q2選擇h(n)=(Q(n))-2/3(n=1,2,…)。這樣，按照反證法的假設(shè)當(dāng)nT8時，就有U(n)=(Q(n))1/3—8(12-16)b(n)2W(Q(n))-1/3Q2—0(12-16)由定義12-2知，式(12-16)說明存在極限套利機會，而這與假設(shè)不符。由此證明了Q(n)有界，定理得到證明。與定理12-3的思想類似，StephenRoss在1976年發(fā)表了下面的定理?！径ɡ?2-4】 不存在極限套利機會，意味著3X,人,人，…,人，使得0 12KE(a-人-pX)2v8i0ii=1其中X=(X,X，…,X)T。證明參考Ross(1976)。記△=a-X-PX為APT中資產(chǎn)i1 2 K ii0i的定價誤差。這個定理意味著對于任意￡〉0，Ai>e的資產(chǎn)數(shù)目是有限的。因此，APT對大多數(shù)資產(chǎn)都成立。 '下面用更加簡單的方法來證明APT。選擇證券組合(％,%，…,七)，使其成本為零，即賣空一些證券，再用所得的收入購買另外一些證券。用數(shù)學(xué)語言表示，就是Ex=0。i=1該證券組合的收益率為E(r)二項a+項Pf+???+￡xPf+￡x5 (12-17)P ii ii11 iiKK iii=1 i=1 i=1 i=1為了得到無風(fēng)險的證券組合，必須消除因子風(fēng)險和非因子風(fēng)險。這就要求證券滿足以下3個條件：所包含的證券數(shù)目n足夠大；所選的每個證券的權(quán)重充分小，土wn；對每個因子風(fēng)險的因子載荷為零，私xPf=0。i=1簡言之，這3個條件就是所選的每個證券的權(quán)重充分小，所包含的證券數(shù)量足夠大，該組合對每個因子風(fēng)險的因子載荷系數(shù)為零。根據(jù)線性因子模型的假設(shè)，特異性風(fēng)險~是獨立的，由大數(shù)定律可知，當(dāng)n越來越大i時，隨機項的加權(quán)之和趨向于零。即通過分散化的投資，不需要任何成本就能消除非因子風(fēng)險，這與CAPM是類似的。因此，可以得到E(r)=?a+?Pf+..?+?PfP ii ii11 iiKKi=1 i=1 i=1又因為證券組合對每個因子風(fēng)險的因子載荷為零。所以，所有因子風(fēng)險也被消除了?？梢缘玫紼(7)=乙aP iii=1構(gòu)造的是無成本的投資組合，沒有成本，也沒有風(fēng)險，如果該組合的收益率不為零，那它就是一個套利組合，這不可能存在于一個均衡的市場中。因此，E(r)=￡xa=0i=1上面的討論可以總結(jié)如下。任取一個向量V(x「x2，…,x)，如果它既正交于單位常向量，即n 「1]又正交于每個因子載荷向量，即(七救…,叩P(七救…,叩P1jp2j那么，它一定正交于期望收益率向量，即以］以2以-n」如果有以上條件，任取一個向量，它既正交于單位常向量，又正交于每個因子載荷向量，那么，它一定正交于期望收益率向量。根據(jù)Farkas引理①期望收益率向量就一定可以表示成單位常向量和因子載荷向量的線性組合，即存在K+1個常數(shù)電,*,???,匕，使得E(~)=a=人+人。h 人p (12-18)ii0 1i1 KiK如果存在無風(fēng)險證券，其收益率為f，則七=r。因此，式(12-18)可以寫成E(r)=r+人&+：??+人pif1i1 KiK以上是對APT的簡單證明。這樣，對于資產(chǎn)數(shù)目遠大于n的經(jīng)濟，大多數(shù)資產(chǎn)期望收益率之間近似成立線性關(guān)系，即E(匕)巧+"E(匕)巧+"1+…+勾Pk(12-19)這一定價關(guān)系就是羅斯(Ross)于1976年提出的套利定價理論(APT)。假設(shè)5j是對第j個因子有單位敏感度但對別的因子的敏感度等于零的證券組合j?(又叫作“基準(zhǔn)因素資產(chǎn)組合”)的期望收益率，則由式(12-19)可得氣=5j-rf。通常把套利定價理論表示為E(r)-r=P(5-r)+???+P(5-r) (12-20)if i11f iKKf【例12-3】考慮一個充分分散化的資產(chǎn)A，資產(chǎn)A受因素1、因素2的影響，這兩個因素對應(yīng)的因素資產(chǎn)收益率的期望值分別為5=8%、5=11%。資產(chǎn)A對兩個因素的敏感度分別為p廣0.6，p廣0.8，無風(fēng)險利率七」4%。根據(jù)套利定價公式，資產(chǎn)的應(yīng)得收益率為多少？但若實際上：E(rA)=14%，會出現(xiàn)什么情況？【解】精確雙因子模型的資產(chǎn)收益公式為F=E(r)+Pf+Pf多因素套利定價公式可以寫為e(r)=r+P(5-r)+f1(5-2r)f1 1f2 2f①設(shè)有矩陣4，向量x和》。方程Ax=b，x^0無解的充要條件是A(T)yN0，b(T)y<0有一個解。y是一個向量(Fang和Puthenpura，1993，p.60)。這個定理常被用來證明Kuhn-Tucker定理。

根據(jù)套利定價公式，資產(chǎn)的應(yīng)得收益率為4%+0.6x(8%-4%)+0.8x(11%-4%)=12%，但若實際上，E仔)=14%，高于應(yīng)得收益，說明其價格被低估，由此有了套利機會。這個套利機會一旦被投資者發(fā)現(xiàn)，他就會找到與資產(chǎn)風(fēng)險相同而且滿足套利定價公式的資產(chǎn)組合A,用于與資產(chǎn)A之間進行套利。事實上，資產(chǎn)組合^只需由無風(fēng)險資產(chǎn)和兩個因素資產(chǎn)構(gòu)造而成，其中因素1、因素2的權(quán)重分別為p1、p2，即0.6、0.8。無風(fēng)險因素的權(quán)重為(1_。］_。2)，即-0.4。明顯資產(chǎn)A與資產(chǎn)A具有相同的風(fēng)險，且E(r)=(1-p-p)r+p5+p5A' 1 2f11 22=r+p(5-r)+p(5-r)

f1 1f2 2f即資產(chǎn)A'的收益率符合套利定價公式。第四節(jié)極限套利與均衡一、極限套利和市場均衡問題套利定價理論(APT)是建立在極限套利的基礎(chǔ)之上的，即當(dāng)不存在極限套利機會的時候，給在市場上交易的金融資產(chǎn)定價。我們知道，不存在套利機會是金融市場均衡的必要條件。那么，不存在極限套利機會是否也是金融市場均衡的必要條件呢？答案是否定的，無極限套利不是一個均衡要求。通過一個例子來說明這點?！纠?2-4】這個例子滿足以下幾項條件。共有N只風(fēng)險資產(chǎn)，它們到期的支付(即變現(xiàn)價值)是v+~.(i=1,2,?..,N)，所有的~i i都是獨立同分布的隨機變量，服從相同的正態(tài)分布，有~?N(0Q2)。i存在一項無風(fēng)險資產(chǎn)，并且假設(shè)r=0。f另外，他的效用假設(shè)經(jīng)濟中只有一位投資者，他的稟賦是一單位的每種風(fēng)險資產(chǎn)。另外，他的效用函數(shù)是常數(shù)絕對風(fēng)險厭惡的，即u(G=-e-w。在，=0時期，金融市場均衡時，所有N只風(fēng)險資產(chǎn)的均衡價格都為p.=p=V-b2(i=1,2,…,N)。此時均衡是存在的。于是，'這N只風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為(12-21)(12-22)~V+口=二+入i=1,2,…,N(12-21)(12-22)PV-b2V-b2于是顯然有?b2E(r)= i=1,2,,Ni V-b2如果用套利定價理論的模型r=a+8f+ea以7+EPk人 (12-23)=1來分析這個問題。比照式(12-21)和式(12-23)，顯然在式(12-23)的模型中，應(yīng)該有Pk=0=「0,0,???,0)T(k=1,2,...,K)，這是因為式(12-21)的資產(chǎn)收益中沒有共同的因子風(fēng)險，N個所以因子載荷系數(shù)都為0，所有的風(fēng)險都是特異性風(fēng)險。并且，因為有無風(fēng)險資產(chǎn)存在，所以七二,=0。這樣，如果采用套利定價理論來定價，就會有E(r)=a=X=0i=1,2,…,N這顯然與式(102-22)相矛盾。說明對于這個例子來說，套利定價理論不適用。套利定價理論在這里不成立是因為此時存在極限套利機會，考慮以下組合：賣出nx(n)p單位的無風(fēng)險資產(chǎn)，投資x(n)p于風(fēng)險資產(chǎn)i(i=1,2,.,n且nWN)，每種證券購買x(n)單位，于是該組合在0時期的凈投資為0，在1時期的支付(變現(xiàn)價值)為X=nx(n)(v-p)+x(n)￡￡ii=1此時，E(x)=nx(n)(v-p)，而Var(x)=nx(n)2a2。選擇x(n=n-2/3，考慮當(dāng)n—00(此時當(dāng)然有N一8)時的極限情況，那么E(x)=n1/3(v-p)—8Var(x)=n-1/3a2—0因此，這是一個極限套利機會。存在極限套利機會的原因是參與者具有常數(shù)絕對風(fēng)險厭惡偏好。當(dāng)n—8，他的財富w=np趨近于無窮而其風(fēng)險厭惡度不變。他對每一風(fēng)險增量要求的風(fēng)險溢價都相同。由例12-4得到重要的理論結(jié)論：存在極限套利機會并不是金融市場均衡的必要條件。換言之，即使市場是均衡的，也可能存在極限套利機會。套利定價理論是建立在極限套利的基礎(chǔ)之上的，所以，即使金融市場處于均衡狀態(tài)，套利定價理論也可能是不適用的。二、CAPM與APT的比較從以上過程可看出CAPM與APT之間具有以下關(guān)系。(1)APT與CAPM最根本的區(qū)別在于：CAPM是典型的收益-風(fēng)險權(quán)衡所主導(dǎo)的市場均衡，APT特別強調(diào)的是無套利均衡原則。收益-風(fēng)險權(quán)衡關(guān)系建立的市場價格均衡和無風(fēng)險套利機會建立的市場價格均衡有著本質(zhì)的區(qū)別：收益-風(fēng)險權(quán)衡關(guān)系所主導(dǎo)的市場價格均衡，一旦價格失衡，就會有許多投資者調(diào)整自己的投資組合來重建市場均衡，但每個投資者只對自己的頭寸做有限范圍的調(diào)整。在CAPM中，每一位投資者都按照自己的收益-風(fēng)險偏好選擇有效組合邊界上的投資組合。如果市場組合中的某一項證券價格失衡，資本市場線就會發(fā)生移動，所有投資者都會吸納價值被低估的證券而拋出價值被高估的證券。所以重建市場均衡的力量來自許多投資者的共同行為。套利則不然，一旦出現(xiàn)套利機會，每一個套利者都會盡可能大地構(gòu)筑頭寸，因此從理論上講，只需少數(shù)幾位(甚至只需一位)套利者就可以重建市場均衡。APT是比CAPM更為一般的資產(chǎn)定價模型。APT是一個多因素模型，它假設(shè)均衡中的資產(chǎn)收益取決于多個不同的外生因素，而CAPM中的資產(chǎn)收益只取決于一個單一的市場組合因素。從這個意義上看，CAPM只是APT的一個特例。CAPM可看作單因素APT的特殊情形?？疾靻我蛩谹PT公式，即E(r)-r=。[E(r)-r]ifFFf式中：｛為因素基準(zhǔn)資產(chǎn)的收益率。當(dāng)系統(tǒng)因素就是市場投資組合的意外收益時，有E(r)=r+P[E(r)-r]式中：匕為市場組合的收益率。ifMf該式與資本資產(chǎn)定價模型(CAPM)具有相同的形式。也就是說，若影響證券收益的共同因素僅有市場因素，且該因素的影響可用市場組合收益的變動來衡量時，CAPM與APT是一致的。CAPM建立在效用理論基礎(chǔ)上，它依賴于對投資者風(fēng)險厭惡程度的假定，CAPM成立的條件是投資者具有均值-方差偏好、資產(chǎn)收益分布呈正態(tài)分布；而APT不需要CAPM賴以成立的那些有關(guān)市場假設(shè)的條件。APT建立在相同的商品以相同的價格出售這一經(jīng)濟原則之上，對投資者的偏好并無明確的前提要求°APT與CAPM一樣，要求所有投資者對資產(chǎn)的期望收益和方差、協(xié)方差的估計一致。CAPM僅考慮來自市場的風(fēng)險，可能會遺漏來自市場外的宏觀經(jīng)濟環(huán)境對證券收益的影響。而多因素APT不僅考慮了市場內(nèi)的風(fēng)險，還考慮了市場外的風(fēng)險，對證券收益的解釋性較強。實際上，即使是來自市場內(nèi)的風(fēng)險，也可能不止一個，有的影響整個市場中的全部證券，有的只影響市場中的部分證券。在CAPM中，證券的價格依賴于市場組合的回報率，需要對其進行估計。CAPM所依賴的市場組合往往難以觀測。而APT假設(shè)證券的預(yù)期收益率是由因子模型產(chǎn)生，需要對因子風(fēng)險溢價進行估計。APT中要求的基準(zhǔn)資產(chǎn)組合不一定是整個市場組合，任何與影響證券收益的系統(tǒng)因素高度相關(guān)的充分分散化的資產(chǎn)組合均可充當(dāng)基準(zhǔn)資產(chǎn)組合。CAPM對所有證券及投資組合均成立，而APT不能排除個別資產(chǎn)違反期望收益率與風(fēng)險敏感度的關(guān)系，這是由于APT的假設(shè)不如CAPM嚴(yán)格所致。CAPM明確指出，證券收益依賴整個市場組合。APT雖然建立在因素模型基礎(chǔ)上，但并沒有明確指出影響證券收益的因素具體有哪些。由于這一原因，盡管在應(yīng)用方面有很大的吸引力，但它仍不能取代CAPM。本章主要介紹了套利定價理論。套利定價理論由一個多因素收益生成函數(shù)推導(dǎo)而來，其理論基礎(chǔ)為一價定律。一價定律就是兩種風(fēng)險■收益性質(zhì)相同的資產(chǎn)必須按同一價格出售。套利定價理論有5個假設(shè)條件，其中第一個線性因子模型的假設(shè)條件是核心假設(shè)。套利定價理論建立在線性因子模型上，線性因子模型假設(shè)資產(chǎn)的收益率由若干因素的線性關(guān)系所決定。APT給出的資產(chǎn)的期望收益率是線性形式°APT的假設(shè)相對于CAPM更為寬松。套利就是不承擔(dān)風(fēng)險就能賺取利潤的行為，它利用證券間定價的不一致性進行資金轉(zhuǎn)移，從中獲取利潤。套利組合就是可以在零投資、零風(fēng)險的情況下，卻可以獲得正收益的組合。在套利定價理論中，把風(fēng)險分為若干個因子風(fēng)險和特異性風(fēng)險。精確因子模型是指資產(chǎn)的收益僅依賴于因子風(fēng)險，而不考慮資產(chǎn)特異性風(fēng)險的套利定價模型，是套利定價理論的一種簡化形式。精確因子模型又可以分為精確單因子模型和精確多因子模型。如果因子的個數(shù)遠遠小于資產(chǎn)的個數(shù)，那么可以使用多種資產(chǎn)來構(gòu)造組合以分散每個資產(chǎn)的特異性風(fēng)險，當(dāng)每種資產(chǎn)上的投資額都很小時，組合投資中各資產(chǎn)的特異性風(fēng)險幾乎為零。這樣，對于充分分散化的投資組合來說，特異性風(fēng)險實際上就不再發(fā)生作用，就可以仿照精確因子模型的做法進行套利定價。這就是極限套利。極限套利情形下APT的主要證明思路為，如果經(jīng)濟中不存在極限套利機會，那么只要經(jīng)濟的規(guī)模足夠大(經(jīng)濟中交易的證券數(shù)量足夠大)，對絕大多數(shù)證券來講，它們的預(yù)期收益率之間就近似地存在著線性的關(guān)系。存在極限套利機會并不是金融市場均衡的必要條件。換言之，即使市場是均衡的，也可能存在極限套利機會。套利定價理論是建立在極限套利的基礎(chǔ)之上的，所以，即使金融市場處于均衡狀態(tài)，套利定價理論也可能是不適用的。實訓(xùn)課堂套利超額收益的分析過程：在多元情形套利定價模型表達式E(r)-r=P(8-r)+…+^0-r),(，=1,2，…,n)if i11f iKKf稱為套利平面，它是n維空間的一個超平面。套利平面表示的是一種綜合平衡的情況，它的建立考慮了多方面因素的互相影響。E(~表示在綜合平衡時第i種證券收益率的理論期望值?？墒?，實際證券交易過程總是處于不平衡狀態(tài)。另一個統(tǒng)計量為r=i￡r，表示第t二1

i種證券收益率在T個觀察時段的實際平均值。如果r>E(~)，則r位于套利平面之上，買進第i種證券可獲得較高的實際收益率。 '1 1以具體例子說明如何使用APT來建立套利證券組合獲得套利機會。設(shè)有3個證券X、Y、Z(即n=3)，有兩個公共因子F1、F2(即k=2)。對證券收益率<、氣、以及81、52各有5次觀測值列于表12-4中，單位都是1%。無風(fēng)險收益率則假定為Y0%；表12-4觀測情況序號rX序號rX1-55.23270.703-9.004-12.47561.00平均11.0rrYZ623.9953.0010.00413.3725.00-1493.12-3771.421058.753237.4483.0025.023.055 1 2-10.00-5.00-5.0038.4825.008.0040.00-1.4450.000.0020.08.0表中正交因子51、表中正交因子51、52滿足正交條件(-10-525兩個公共因子的APT模型為(-5.00)38.484050)8.00=0-1.440.00)E(r)=r+P(5-r)+P(5-r)

ifi11f i22f(資料來源：童恒慶.套利定價理論及實例[J].統(tǒng)計與決策，2008)思考討論題：根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計出*與P診。根據(jù)APT模型計算出證券